1、第3章 电阻电路的一般分析,重点,熟练掌握电路方程的列写方法：支路电流法网孔电流法回路电流法结点电压法,下 页,返 回,线性电路的一般分析方法,(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。,复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。,（2）元件的电压、电流关系特性。,（1）电路的连接关系KCL，KVL定律。,方法的基础,(2) 系统性：计算方法有规律可循。,下 页,上 页,返 回,网络图论 （Network Graph Theory),哥尼斯堡七桥难题,图论是拓扑学的一个分支，是富有趣
2、味和应用极为广泛的一门学科。,下 页,上 页,返 回,欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为仅包含点、线的拓扑结构,莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler）,2007年是瑞士数学家、物理学家兼工程师莱昂哈德欧拉诞辰300周年纪念。,1707年欧拉生于瑞士巴塞尔，13岁入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位，19岁开始发表论文，26岁时担任了彼得堡科学院教授，约30岁时右眼失明，60岁左右完全失明，欧拉1783年76岁在俄国彼得堡去世。在失明后，他仍然以口述形式完成了几本书和400多篇论文。,欧拉被公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一。在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公
3、式和定理，他的工作使得数学更接近于现在的形态。他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。 瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。” 法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。,数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是： 阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。,在几何方面，欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡曾是德国城市，后属苏联。普雷格尔河穿城而过，并绕流河中一座小岛而分成两支，河上建了7座桥。传说当地居民想设计一次散步，从某处出发，经过每座桥回到原地，中
4、间不重复。这就是今天的一笔画问题，但在当时没人能解决。 1736年欧拉发表了图论方面的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七桥难题，他将这个问题变成一个数学模型，用点和线画出网络状图，证明这种走法不存在。对此类问题的讨论研究，事实上引导了图论和拓扑学的发展。相隔一百年后，在1847年基尔霍夫第一次应用图论的原理分析电网，从而把图论引进到工程技术领域。20世纪50年代以来，图论的理论得到了进一步发展，将复杂庞大的工程系统和管理问题用图描述，可以解决很多工程设计和管理决策的最优化问题，例如，完成工程任务的时间最少，距离最短，费用最省等等。图论受到数学、工程技术及经营管理等各方面越来越广泛的重视。,3.
5、1 电路的图,1. 电路的图,一个元件作为一条支路,元件的串联及并联组合作为一条支路,有向图,下 页,上 页,返 回,(1) 图的定义(Graph),G=支路，结点,电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。,a. 图中的结点和支路各自是一个整体。,b. 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。,c. 如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。,下 页,上 页,返 回,当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路的图以及它的结点数、支路数将随之不同。,从图G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点（或回到原出发点）
6、所经过的支路构成路径。,(2) 路径,（3）连通图,图G的任意两结点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。,下 页,上 页,返 回,(3) 子图,若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。,树 (Tree),T是连通图的一个子图满足下列条件：,(1)连通 (2)包含所有结点 (3)不含闭合路径,下 页,上 页,返 回,树支：构成树的支路,连支：属于G而不属于T的支路,2）树支的数目是一定的：,连支数：,不是树,树,特点,1）对应一个图有很多的树,下 页,上 页,返 回,书P55图3-3,回路 (Loop),L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，
7、并满足：(1)连通，(2)每个结点关联2条支路,不是回路,回路,2）基本回路的数目是一定的，为连支数,特点,1）对应一个图有很多的回路,3）对于平面电路，网孔数为基本回路数,下 页,上 页,返 回,平面电路：各条支路除结点外不再交叉。,基本回路(单连支回路),支路数树枝数连支数 结点数1基本回路数,结论,结点、支路和基本回路关系,基本回路具有独占的一条连支，且这一连支不出现在其它基本回路中。,下 页,上 页,返 回,例,图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。,下 页,上 页,返 回,3.2 KCL和KVL的独立方程数,1.KCL的独立方程数,1,4,3,2,结论,n个结点的电路,
8、 独立的KCL方程为n-1个。,下 页,上 页,返 回,2.KVL的独立方程数,KVL的独立方程数=基本回路数=b(n1),结论,n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程数为：,下 页,上 页,返 回,3.3 支路电流法 (branch current method ),对于有n个结点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。,以各支路电流为未知量列写电路方 程分析电路的方法。,1. 支路电流法,2. 独立方程的列写,（1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程,（2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程
9、,下 页,上 页,返 回,例,1,3,2,有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程:,取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列KVL写方程:,结合元件特性消去支路电压得：,回路1,回路2,回路3,下 页,上 页,返 回,支路电流法的一般步骤：,(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；,(2) 选定(n1)个结点，列写其KCL方程；,(3) 选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程；(元件特性代入),(4) 求解上述方程，得到b个支路电流；,(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。,支路电流法的特点：,支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不
10、多的情况下使用。,下 页,上 页,返 回,例1.,结点a：I1I2+I3=0,(1) n1=1个KCL方程：,求各支路电流及电压源各自发出的功率。,解,(2) b( n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3= 6,U=US,7I111I2=70-6=64,下 页,上 页,返 回,例2.,结点a：I1I2+I3=0,(1) n1=1个KCL方程：,列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）,解1.,(2) b( n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3= U,7I111I2=70-U,增补方程：I2=6A,+ U _,由于I2已知，故只列写两个方程,结点a：I1+I3=6,避开电流源支路取回
11、路：,7I17I3=70,下 页,上 页,返 回,例3.,结点a：I1I2+I3=0,列写支路电流方程.(电路中含有受控源）,解,11I2+7I3= 5U,7I111I2=70-5U,增补方程：U=7I3,有受控源的电路，方程列写分两步：,(1) 先将受控源看作独立源列方程； (2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。,下 页,上 页,返 回,如果将支路电流用支路电压表示，然后代入KCL方程，连同支路电压的KVL方程，可得到以支路电压为变量的b个方程，这就是支路电压法。,3.4、5 网孔电流法和回路电流法 (mesh current method) (loop cu
12、rrent method),基本思想,为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路（网孔）电流。各支路电流可用回路（网孔）电流的线性组合表示。来求得电路的解。,1.回路电流法,以基本回路中的回路电流为未知量 列写电路方程分析电路的方法。当 取网孔电流为未知量时，称网孔法,独立回路为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：,下 页,上 页,返 回,回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：,列写的方程,与支路电流法相比，方程数减少n-1个。,回路1：R1 im1+R2(im1- im2)-
13、uS1+uS2=0,回路2：R2(im2- im1)+ R3 im2 -uS2=0,整理得：,(R1+ R2) im1-R2im2=uS1-uS2,- R2im1+ (R2 +R3) im2 =uS2,2. 方程的列写,下 页,上 页,返 回,R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。,观察可以看出如下规律：,R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。,自电阻总为正。,R12= R21= R2 回路1、回路2之间的互电阻。,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,um1= uS1-uS2 回路1中所有电压源电压的代数和。,um2
14、= uS2 回路2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。,下 页,上 页,返 回,由此得标准形式的方程：,对于具有 m=b-(n-1) 个回路的电路，有:,其中:,Rjk:互电阻,+ : 流过互阻的两个回路电流方向相同,- : 流过互阻的两个回路电流方向相反,0 : 无关，即两个网孔之间无公共支路或有公共支路但电阻为零,Rkk:自电阻(为正),下 页,上 页,返 回,例1.,用回路电流法求解电流 i.,解1,独立回路有三个，选网孔为独立回路：,（1）不含受控源的线性网络Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （2）当网孔电流均取顺（或逆时针方向时，
15、Rjk均为负。,表明,下 页,上 页,返 回,解2,只让一个回路电流经过R5支路,特点,（1）减少计算量,（2）互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻,下 页,上 页,返 回,回路法（网孔法）的一般步骤：,(1) 选定l(m)=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,(2) 对l (m)个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,(3) 求解上述方程，得到l (m)个回路电流；,(5) 其它分析。,(4) 求各支路电流(用回路电流表示)；,下 页,上 页,返 回,3.理想电流源支路的处理,引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。,例,电流源看作电压源列方程,增补方程：
16、,下 页,上 页,返 回,选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路, 该回路电流即 IS 。,例,为已知电流，实际减少了一方程,下 页,上 页,返 回,与电阻并联的电流源，可做电源等效变换,4.受控电源支路的处理,对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。,下 页,上 页,返 回,例,im2,受控电压源看作独立电压源列方程,增补方程：,下 页,上 页,返 回,例,列回路电流方程,解1,选网孔为独立回路,U2,U3,增补方程：,下 页,上 页,返 回,解2,回路2选大回路(M形),增补方程：,下 页,上 页,返 回,例,求电路中电压U，电
17、流I和电压源产生的功率。,解,下 页,上 页,返 回,3.6 结点电压法 (node voltage method),选结点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,基本思想：,以结点电压为未知量列写电路方程分析 电路的方法。适用于结点较少的电路。,1.结点电压法,列写的方程,结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为：,与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。,下 页,上 页,返 回,任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即是结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。
18、,(uA-uB)+uB-uA=0,KVL自动满足,说明,2. 方程的列写,(1) 选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压,下 页,上 页,返 回,(2) 列KCL方程：, iR出= iS入,i1+i2=iS1+iS2,-i2+i4+i3=0,把支路电流用结点电压表示：,-i3+i5=iS2,下 页,上 页,返 回,整理，得：,令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5,上式简记为：,G11un1+G12un2 G13un3 = iSn1,G21un1+G22un2 G23un3 = iSn2,G31un1+G32un2 G33un3 = iSn3,标准形式的结点电压方程,等效电流
19、源,下 页,上 页,返 回,其中,G11=G1+G2 结点1的自电导，等于接在结点1上所有支路的电导之和。,G22=G2+G3+G4 结点2的自电导，等于接在结点2上所有支路的电导之和。,G12= G21 =-G2 结点1与结点2之间的互电导，等于接在结点1与结点2之间的所有支路的电导之和，为负值。,自电导总为正，互电导总为负。,G33=G3+G5 结点3的自电导，等于接在结点3上所有支路的电导之和。,G23= G32 =-G3 结点2与结点3之间的互电导，等于接在结点2与结点3之间的所有支路的电导之和，为负值。,下 页,上 页,返 回,iSn2=-iS2uS/R5 流入结点2的电流源电流的代
20、数和。,iSn1=iS1+iS2 流入结点1的电流源电流的代数和。,流入结点取正号，流出取负号。,由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用结点电压表示：,下 页,上 页,返 回,一般情况,其中,Gii 自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。,iSni 流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij = Gji互电导，等于接在结点i与结点j之间的所支路的电导之和，总为负。,下 页,上 页,返 回,结点法的一般步骤：,(1) 选定参考结点，标定n-1个独
21、立结点；,(2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3) 求解上述方程，得到n-1个结点电压；,(5) 其它分析。,(4) 求各支路电流(用结点电压表示)；,下 页,上 页,返 回,试列写电路的结点电压方程。,(G1+G2+GS)Un1-G1Un2GsUn3=USGS,-G1Un1+(G1 +G3 + G4)Un2-G4Un3 =0,GSUn1-G4Un2+(G4+G5+GS)Un3 =USGS,例,3. 无伴电压源支路的处理,（1）以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系,下 页,上 页,返 回,(G1+G2)Un1-G1Un2 =I,-G1Un1+(G1
22、 +G3 + G4)Un2-G4Un3 =0,-G4Un2+(G4+G5)Un3 =I,Un1-Un3 = US,看成电流源,增补方程,（2） 选择合适的参考点,Un1= US,-G1Un1+(G1+G3+G4)Un2- G3Un3 =0,-G2Un1-G3Un2+(G2+G3+G5)Un3=0,下 页,上 页,返 回,4.受控电源支路的处理,对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。,先把受控源当作独立源列方程；,(2) 用结点电压表示控制量。,列写电路的结点电压方程。,例,下 页,上 页,返 回,设参考点，把受控源当作独立源列方程；,(2) 用结点电压表示控制量。,列写电路的结点电压方程。,例,解,下 页,上 页,返 回,例,列写电路的结点电压方程。,注：与电流源串接的电阻不参与列方程,增补方程：,U = Un3,下 页,上 页,返 回,例,求U和I 。,解1,应用结点法。,解得：,下 页,上 页,返 回,解2,应用回路法。,解得：,上 页,返 回,支路电流法、回路（网孔）电流法和结点电压法的比较：（1）方程数的比较,（2）对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易；,（3）回路法与结点法易于编程。目前用计算机分析网络（电网、电路设计等）采用结点法较多。,
