1、大 连 市 第 二 十 三 届 高 等 数 学 竞 赛 试 卷答 案 （B）学 校姓 名 一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，总计 10 分）1. = e2 .nn1lim2. = 1/2 .30tasilixx3. = 1 .4. = 1 .20coslimxxtd5. 若 则21li,xab()4,5).a二、 （本题 10 分）设 求 .),0(1sin)(3xxf )(xf解 当 时， 为一初等函数，这时0xxf1sin)(3（6 分）;1cossin3)(223xxf当 时，由于0（8 分）),0(silm)(li30ffxx 所以 在 处不连续，由此可知 在 处不可导。
2、 （10 分）fx阅卷人得 分阅卷人得 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分分 数二、 三、 （本题 8 分）求函数 的间断点，并判断类型. 221()xf解： 为间断点。 （3 分）0,1x当 时，由于200lim()li1,|xxxf而200li()li,1|xxf所以 是跳跃间断点。 （5 分）当 时，1由于211lim()li1,|xx xf所以 是可去间断点。 （7 分）当 时，而 1li(),xf所以 是无穷间断点。 （8 分）考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1 页阅卷人得 分学 校姓 名四、 （本题 10 分）曲线 上哪
3、一点处的法线在 轴上的截距最小？)0(316xyy解 设 在 处的法线方程为 ，6x),( )(xXkY因为 ，所以 ，法线方程为 ， （4 分）52y 521k215y整理后为 ，64543xXxxXY法线在 轴上的截距为 。 （6 分）y3b求此函数的极值：令 ，解得 （舍去）;（8 分）0 1,21,2)1(,046xb故 为极小值。由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点 处的法线在 轴上)1( 31,y截距最小。 （10 分）阅卷人得 分五、 （本题 6 分）求 的 阶导数.xy44cosinn解 xxy 22244 si)co(sincosin（2 分）,4cos1341i2x（
4、3 分）)2()in(0y（4 分） 2cos4x所以 （6 分）).(1)( nyn六、 （本题 10 分）讨论方程 （其中 ）有几个实根？axln0解：设 ，则 ，故 为 的驻点（2 分） 。),0(,ln)(xaxf xf1)(1)(xf当 时， ，当 时， ，所以 为最大值。 （4 分）a110)(af当 时，即 ,即 时，由于0)(flea， )(lim)(ixfxfx所以当 时，此时方程有两个根。 （8 分）ea1当 时，即 时，此时方程有一个根。 （9 分）0)(f当 时，即 时，方程无根. （10 分）ae共 四 页 第 2 页阅卷人得 分阅卷人得 分学 校姓 名七、 （本大题
5、共 3 小题，每小题 6 分，总计 18 分）（1） .tandx解 （2 分） dxxdxcosinincos21cosi（4 分）cos1 ()2insixd （6 分）(l|csi|).xxC（2） sin(l).d解： （2 分）dxxx1)cos(ln)sin(l（4 分）xxxd)si(l)c(l)si(l 1n所以 （5 分）.onn)sin(l2Cdx故 （6 分）)cs(l)i(lx阅卷人得 分（3） 42.1sindxe解 由于 ， （2 分）aa xfxf0)()(而 （4 分）xeef xxxx 222 sin1sin1isin)( 所以 4040242 2coi1i
6、ddex（6 分）.8sin1240x八、 （本题 10 分）设 在 上连续，且 ，证明：)(xf,ba0)(bfaf.|)(|21| xdxf证 ),()()(xfafxdtfxa（3 分）bbx两式相减，得， （5 分）bxxadtftff )()()(2所以 （7 分）d|（9 分） babxxa dtftftf |)(|)(|)(|即 （10 分）.|21|a共 四 页 第 3 页阅卷人得 分九、（本题 8分）已知函数 具有二阶导数，且 ， ，证明：()fx0()limxf(1)0f存在点 ，使得 .(0,1)0证明：由 ， 得 ， ， （ 2 分 ）1)(limxf)(f)(f函数
7、在0，1 连续， （0，1）可导， ，由罗尔定理，至少存在 使)(xf 01f )1,0(x。 （ 6 分 ）0函数 在 连续， 可导， ，由罗尔定理，至少存在)(xf0,),(0x)()0xff使 （ 10 分 ）1,0f十、（本题 10分）设 为连续函数，且满足 ，求)(xf xdtfef02)()(.)(xf解 将上式两边对 x 求导，得 ， （2 分）xdtfexf02)()(再对上式求导，得 ，即 。 （4 分）4)(2f xe由已知条件，可知 。 （6 分）0,1f因此所求函数 满足下列初值问题)(xy，2|,1|400xxye其通解为 （8 分） 。xeCY254sinco根据初值条件，得 。,12阅卷人得 分阅卷人得 分从而所求的函数为 （10 分）xexf 254sinco51)(共 四 页 第 4 页
