1、第 1 页（共 22 页）2015 年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1 （5 分） （2015 山东）已知集合 A=x|x24x+30，B=x|2x4，则 AB=（ ）A （1，3） B （1，4） C （2，3） D （2，4）2 （5 分） （2015 山东）若复数 z 满足 =i，其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）A1i B1+i C 1i D1+i3 （5 分） （2015 山东）要得到函数 y=sin（4x ）的图象，只需将函数 y=sin4x 的图象（ ）A向左平移 单位 B向右平移 单位C向左平移 单位 D向右平移 单
2、位4 （5 分） （2015 山东）已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC=60 ，则 =（ ）A a2 B a2 C a2 D a25 （5 分） （2015 山东）不等式|x 1|x5|2 的解集是（ ）A （，4） B （ ，1） C （1，4） D （1，5）6 （5 分） （2015 山东）已知 x，y 满足约束条件 ，若 z=ax+y 的最大值为 4，则a=（ ）A3 B2 C 2 D37 （5 分） （2015 山东）在梯形 ABCD 中，ABC= ，ADBC，BC=2AD=2AB=2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A B
3、 C D28 （5 分） （2015 山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3 2） ，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）（附：若随机变量 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（+）=68.26%，P（ 2 +2）=95.44%）A4.56% B13.59% C27.18% D31.74%第 2 页（共 22 页）9 （5 分） （2015 山东）一条光线从点（ 2，3）射出，经 y 轴反射后与圆（x+3）2+（y2 ） 2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A 或 B 或 C 或 D 或10 （5 分） （2015 山东）设函数 f
4、（x）= ，则满足 f（f（a） ）=2 f（a） 的a 的取值范围是（ ）A ，1 B0，1 C ，+） D1，+ ）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11 （5 分） （2015 山东）观察下列各式：C =40；C +C =41；C +C +C =42；C +C +C +C =43；照此规律，当 nN*时，C +C +C +C = 12 （5 分） （2015 山东）若“ x0， ，tanxm”是真命题，则实数 m 的最小值为 13 （5 分） （2015 山东）执行如图程序框图，输出的 T 的值为 第 3 页（共 22 页）14 （5 分） （2015 山东）
5、已知函数 f（x）=a x+b（a0， a1）的定义域和值域都是 1，0，则 a+b= 15 （5 分） （2015 山东）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线与抛物线 C2：x 2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 三、解答题16 （12 分） （2015 山东）设 f（x）=sinxcosxcos 2（x+ ） （）求 f（x）的单调区间；（）在锐角ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ ）=0，a=1，求ABC 面积的最大值17 （12 分） （2015 山东）如图，在三棱
6、台 DEFABC 中， AB=2DE，G，H 分别为AC，BC 的中点（）求证：BD平面 FGH；（）若 CF平面 ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角（锐角）的大小18 （12 分） （2015 山东）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（）求a n的通项公式；（）若数列b n，满足 anbn=log3an，求b n的前 n 项和 Tn19 （12 分） （2015 山东）若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 137，359，567 等） 在某次
7、数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分，若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得1 分，若能被 10 整除，得 1 分（）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX第 4 页（共 22 页）20 （13 分） （2015 山东）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，左、右焦点分别是 F1，F 2，以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以1 为半径的圆相交
8、，且交点在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）设椭圆 E： + =1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q（i）求| |的值；（ii）求ABQ 面积的最大值21 （14 分） （2015 山东）设函数 f（x）=ln（x+1）+a（x 2x） ，其中 aR，（）讨论函数 f（x）极值点的个数，并说明理由；（）若x0，f（x）0 成立，求 a 的取值范围第 5 页（共 22 页）2015 年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1 （5 分
9、） （2015 山东）已知集合 A=x|x24x+30，B=x|2x4，则 AB=（ ）A （1，3） B （1，4） C （2，3） D （2，4）【分析】求出集合 A，然后求出两个集合的交集【解答】解：集合 A=x|x24x+30=x|1x3，B=x|2x4，则 AB=x|2x3=（2，3） 故选：C【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力2 （5 分） （2015 山东）若复数 z 满足 =i，其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）A1i B1+i C 1i D1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可【解答】解： =i，则 =i（1i）=1+i ，可得 z=1i故选：A【
10、点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查3 （5 分） （2015 山东）要得到函数 y=sin（4x ）的图象，只需将函数 y=sin4x 的图象（ ）A向左平移 单位 B向右平移 单位C向左平移 单位 D向右平移 单位【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可【解答】解：因为函数 y=sin（4x ）=sin4（x ） ，要得到函数 y=sin（4x ）的图象，只需将函数 y=sin4x 的图象向右平移 单位故选：B【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中 x 的系数是易错点4 （5 分） （2015 山东）已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC=60 ，则 =（ ）
11、第 6 页（共 22 页）A a2 B a2 C a2 D a2【分析】由已知可求 ， ，根据 =（ ） = 代入可求【解答】解：菱形 ABCD 的边长为 a，ABC=60， =a2， =aacos60= ，则 =（ ） = =故选：D【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题5 （5 分） （2015 山东）不等式|x 1|x5|2 的解集是（ ）A （，4） B （ ，1） C （1，4） D （1，5）【分析】运用零点分区间，求出零点为 1，5，讨论当 x1，当 1x5， 当x5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可【解答】解：当 x1，不等式即为 x+1+x
12、52，即42 成立，故 x1；当 1x5，不等式即为 x1+x52，得 x4，故 1x4；当 x5，x1 x+52，即 42 不成立，故 x综上知解集为（，4） 故选 A【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题6 （5 分） （2015 山东）已知 x，y 满足约束条件 ，若 z=ax+y 的最大值为 4，则a=（ ）A3 B2 C 2 D3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 则 A（2，0） ，B（1，1） ，若 z=ax+y 过 A
13、 时取得最大值为 4，则 2a=4，解得 a=2，此时，目标函数为 z=2x+y，第 7 页（共 22 页）即 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 4，满足条件，若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4，则 a+1=4，解得 a=3，此时，目标函数为 z=3x+y，即 y=3x+z，平移直线 y=3x+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 6，不满足条件，故 a=2，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本
14、题的关键7 （5 分） （2015 山东）在梯形 ABCD 中，ABC= ，ADBC，BC=2AD=2AB=2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A B C D2【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为 1，高为 2 的圆柱，挖去一个相同底面高为 1 的倒圆锥，几何体的体积为： = 故选：C第 8 页（共 22 页）【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力画出几何体的直观图是解题的关键8 （5 分） （2015 山东）已知某批零件的长度误
15、差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3 2） ，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）（附：若随机变量 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（+）=68.26%，P（ 2 +2）=95.44%）A4.56% B13.59% C27.18% D31.74%【分析】由题意 P（ 33）=68.26%，P（66）=95.44%，可得 P（36）= （95.44% 68.26%） ，即可得出结论【解答】解：由题意 P（ 33）=68.26%，P（66）=95.44%，所以 P（3 6）= （95.44%68.26%）=13.59%故选：B【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线
16、所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题9 （5 分） （2015 山东）一条光线从点（ 2，3）射出，经 y 轴反射后与圆（x+3）2+（y2 ） 2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A 或 B 或 C 或 D 或【分析】点 A（2， 3）关于 y 轴的对称点为 A（2，3） ，可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x 2） ，利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】解：点 A（2， 3）关于 y 轴的对称点为 A（2，3） ，故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2） ，化为 kxy2k3=0第 9 页（共 22 页）反射光线与圆（x
17、+3） 2+（y2） 2=1 相切，圆心（3，2 ）到直线的距离 d= =1，化为 24k2+50k+24=0，k= 或 故选：D【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题10 （5 分） （2015 山东）设函数 f（x）= ，则满足 f（f（a） ）=2 f（a） 的a 的取值范围是（ ）A ，1 B0，1 C ，+） D1，+ ）【分析】令 f（a）=t ，则 f（t）=2 t，讨论 t1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论 t1 时，以及 a1，a1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围【解答】解
18、：令 f（a）=t ，则 f（t）=2 t，当 t1 时，3t1=2 t，由 g（t）=3t12 t 的导数为 g（t）=3 2tln2，在 t1 时，g（t）0，g（t ）在（，1）递增，即有 g（t）g（1）=0，则方程 3t1=2t 无解；当 t1 时，2 t=2t 成立，由 f（a） 1，即 3a11，解得 a ，且 a1；或 a1，2 a1 解得 a0，即为 a1综上可得 a 的范围是 a 故选 C【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11 （5 分） （2015 山
19、东）观察下列各式：C =40；第 10 页（共 22 页）C +C =41；C +C +C =42；C +C +C +C =43；照此规律，当 nN*时，C +C +C +C = 4 n1 【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果【解答】解：因为 C =40；C +C =41；C +C +C =42；C +C +C +C =43；照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当 nN*时，C +C +C +C =4n1；故答案为：4 n1【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键12 （5 分） （2015 山东）若“ x0， ，tanxm”是
20、真命题，则实数 m 的最小值为 1 【分析】求出正切函数的最大值，即可得到 m 的范围【解答】解：“x0， ，tanxm ”是真命题，可得 tanx1，所以，m1，实数 m 的最小值为：1故答案为：1【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力13 （5 分） （2015 山东）执行如图程序框图，输出的 T 的值为 第 11 页（共 22 页）【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n，T 的值，当 n=3 时不满足条件n3，退出循环，输出 T 的值为 【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，T=1满足条件 n3，T=1+ xdx，n=2满足条件 n3，T=1+
21、 xdx+ x2dx=1+ = ，n=3不满足条件 n3，退出循环，输出 T 的值为 故答案为：【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查14 （5 分） （2015 山东）已知函数 f（x）=a x+b（a0， a1）的定义域和值域都是 1，0，则 a+b= 【分析】对 a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案【解答】解：当 a1 时，函数 f（x）=a x+b 在定义域上是增函数，所以 ，解得 b=1， =0 不符合题意舍去；当 0a1 时，函数 f（x）=a x+b 在定义域上是减函数，所以 ，第 12 页（共 22 页）解得
22、 b=2，a= ，综上 a+b= ，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题15 （5 分） （2015 山东）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线与抛物线 C2：x 2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 【分析】求出 A 的坐标，可得 = ，利用OAB 的垂心为 C2 的焦点，可得（ ）= 1，由此可求 C1 的离心率【解答】解：双曲线 C1： =1（a0，b0）的渐近线方程为 y= x，与抛物线 C2：x 2=2py 联立，可得 x=0 或 x= ，取 A（ ，
23、） ，设垂心 H（0， ） ，则 kAH= = ，OAB 的垂心为 C2 的焦点， （ ）= 1，5a 2=4b2，5a 2=4（c 2a2）e= = 故答案为： 第 13 页（共 22 页）【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定 A 的坐标是关键三、解答题16 （12 分） （2015 山东）设 f（x）=sinxcosxcos 2（x+ ） （）求 f（x）的单调区间；（）在锐角ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ ）=0，a=1，求ABC 面积的最大值【分析】 （）由三角函数恒等变换化简解析式可得 f（x）=sin2x ，由2k 2x2k ，k
24、 Z 可解得 f（x）的单调递增区间，由 2k 2x2k，kZ 可解得单调递减区间（）由 f（ ）=sinA =0，可得 sinA，cosA，由余弦定理可得：bc ，且当 b=c时等号成立，从而可求 bcsinA ，从而得解【解答】解：（）由题意可知，f（x）= sin2x= sin2x=sin2x由 2k 2x2k ，k Z 可解得：k xk ，kZ；由 2k 2x2k ，k Z 可解得：k xk ，kZ；所以 f（x）的单调递增区间是 k ，k ， （kZ） ；单调递减区间是：k，k ， （kZ） ；（）由 f（ ）=sinA =0，可得 sinA= ，由题意知 A 为锐角，所以 cosA
25、= ，由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，可得：1+ bc=b2+c22bc ，即 bc ，且当 b=c 时等号成立因此 S= bcsinA ，第 14 页（共 22 页）所以ABC 面积的最大值为 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查17 （12 分） （2015 山东）如图，在三棱台 DEFABC 中， AB=2DE，G，H 分别为AC，BC 的中点（）求证：BD平面 FGH；（）若 CF平面 ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角（锐角）的大小【分析】 （）根据 AB=2DE
26、便可得到 BC=2EF，从而可以得出四边形 EFHB 为平行四边形，从而得到 BEHF，便有 BE平面 FGH，再证明 DE平面 FGH，从而得到平面BDE平面 FGH，从而 BD平面 FGH；（）连接 HE，根据条件能够说明 HC，HG，HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标连接 BG，可说明 为平面 ACFD 的一条法向量，设平面 FGH 的法向量为 ，根据 即可求出法向量 ，设平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角为 ，根据 cos= 即可求出平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角的大小【解答】解：（）证明：根据已知条件，
27、DFAC，EFBC ，DEAB；DEFABC ，又 AB=2DE，BC=2EF=2BH，四边形 EFHB 为平行四边形；BEHF，HF平面 FGH，BE 平面 FGH；BE平面 FGH；同样，因为 GH 为ABC 中位线，GHAB；又 DEAB；DEGH ；DE平面 FGH，DEBE=E；平面 BDE平面 FGH，BD平面 BDE；BD平面 FGH；（）连接 HE，则 HECF；CF 平面 ABC；HE平面 ABC，并且 HGHC；第 15 页（共 22 页）HC，HG，HE 三直线两两垂直，分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 HC=1，则：H（0，0，0） ，G
28、（0，1，0） ，F（1，0，1） ，B（ 1，0，0） ；连接 BG，根据已知条件 BA=BC，G 为 AC 中点；BGAC ；又 CF 平面 ABC，BG平面 ABC；BGCF，AC CF=C；BG平面 ACFD；向量 为平面 ACFD 的法向量；设平面 FGH 的法向量为 ，则：，取 z=1，则： ；设平面 FGH 和平面 ACFD 所成的锐二面角为 ，则：cos=|cos |=；平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角为 60【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量
29、求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义18 （12 分） （2015 山东）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（）求a n的通项公式；（）若数列b n，满足 anbn=log3an，求b n的前 n 项和 Tn【分析】 （）利用 2Sn=3n+3，可求得 a1=3；当 n1 时，2S n1=3n1+3，两式相减2an=2Sn2Sn1，可求得 an=3n1，从而可得a n的通项公式；第 16 页（共 22 页）（）依题意，a nbn=log3an，可得 b1= ，当 n1 时，b n=31nlog33n1
30、=（n 1）3 1n，于是可求得 T1=b1= ；当 n1 时，T n=b1+b2+bn= +（13 1+232+（n1）3 1n） ，利用错位相减法可求得b n的前 n 项和 Tn【解答】解：（）因为 2Sn=3n+3，所以 2a1=31+3=6，故 a1=3，当 n1 时，2S n1=3n1+3，此时，2a n=2Sn2Sn1=3n3n1=23n1，即 an=3n1，所以 an= （）因为 anbn=log3an，所以 b1= ，当 n1 时，b n=31nlog33n1=（n1）3 1n，所以 T1=b1= ；当 n1 时，T n=b1+b2+bn= +（13 1+232+（n 1）3
31、1n） ，所以 3Tn=1+（13 0+231+332+（n1）3 2n） ，两式相减得：2T n= +（3 0+31+32+32n（n 1）3 1n）= + （n 1）3 1n= ，所以 Tn= ，经检验，n=1 时也适合，综上可得 Tn= 【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法” 求和，考查分析、运算能力，属于中档题19 （12 分） （2015 山东）若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 137，359，567 等） 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随
32、机抽取 1 个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分，若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得1 分，若能被 10 整除，得 1 分（）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX【分析】 （）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ；第 17 页（共 22 页）（）随机变量 X 的取值为： 0，1，1 分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望【解答】解：（）根据定义个位数字是 5 的“三位递增数 ”有：125，135，145，235，245
33、，345；（）由题意知，全部“三位递增数”的个数为 ，随机变量 X 的取值为：0，1，1，当 X=0 时，可以选择除去 5 以外的剩下 8 个数字中选择 3 个进行组合，即 ；当 X=1 时，首先选择 5，由于不能被 10 整除，因此不能选择数字 2，4，6，8，可以从1，3，7，9 中选择两个数字和 5 进行组合，即 ；当 X=1 时，有两种组合方式，第一种方案：首先选 5，然后从 2，4，6，8 中选择 2 个数字和 5 进行组合，即 ；第二种方案：首先选 5，然后从 2，4，6，8 中选择 1 个数字，再从 1，3，7，9 中选择 1 个数字，最后把 3 个数字进行组合，即 则 P（X=
34、0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=1 ）= = ，X 0 1 1PEX=0 +（1 ） +1 = 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键20 （13 分） （2015 山东）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，左、右焦点分别是 F1，F 2，以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）设椭圆 E： + =1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于
35、点 Q（i）求| |的值；第 18 页（共 22 页）（ii）求ABQ 面积的最大值【分析】 （）运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，计算即可得到 b，进而得到椭圆C 的方程；（）求得椭圆 E 的方程， （i ）设 P（x 0，y 0） ，| |=，求得 Q 的坐标，分别代入椭圆C，E 的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程，由判别式大于 0，可得 t 的范围，结合二次函数的最值，又ABQ 的面积为 3S，即可得到
36、所求的最大值【解答】解：（）由题意可知，PF 1+PF2=2a=4，可得 a=2，又 = ，a 2c2=b2，可得 b=1，即有椭圆 C 的方程为 +y2=1；（）由（）知椭圆 E 的方程为 + =1，（i）设 P（x 0，y 0） ，| |=，由题意可知，Q（x 0，y 0） ，由于 +y02=1，又 + =1，即 （ +y02）=1，所以 =2，即| |=2；（ii）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m216=0，由0，可得 m24+16k 2，则有 x1+x2= ，x 1x2= ，所以|
37、x 1x2|= ，由直线 y=kx+m 与 y 轴交于（ 0，m ） ，则AOB 的面积为 S= |m|x1x2|= |m|=2 ，设 =t，则 S=2 ，将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程，可得（ 1+4k2）x 2+8kmx+4m24=0，由0 可得 m21+4k 2，由可得 0t1，则 S=2 在（0，1递增，即有 t=1 取得最大值，第 19 页（共 22 页）即有 S ，即 m2=1+4k2，取得最大值 2 ，由（i）知，ABQ 的面积为 3S，即ABQ 面积的最大值为 6 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公
38、式和二次函数的最值，属于中档题21 （14 分） （2015 山东）设函数 f（x）=ln（x+1）+a（x 2x） ，其中 aR，（）讨论函数 f（x）极值点的个数，并说明理由；（）若x0，f（x）0 成立，求 a 的取值范围【分析】 （I）函数 f（x）=ln （x+1）+a（x 2x） ，其中 aR，x （1，+） = 令 g（x）=2ax 2+axa+1对 a 与分类讨论可得：（1）当 a=0 时，此时 f（x）0，即可得出函数的单调性与极值的情况（2）当 a0 时，=a （9a 8） 当 时，0，当 a 时，0，即可得出函数的单调性与极值的情况（3）当 a0 时，0即可得出函数的单调
39、性与极值的情况（II）由（I）可知：（ 1）当 0a 时，可得函数 f（x）在（0，+）上单调性，即可判断出（2）当 a1 时，由 g（0）0，可得 x20，函数 f（x）在（0，+）上单调性，即可判断出（3）当 1a 时，由 g（0）0，可得 x20，利用 x（0，x 2）时函数 f（x）单调性，即可判断出；（4）当 a0 时，设 h（x）=xln （x+1） ，x（0，+） ，研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数 f（x）=ln （x+1）+a（x 2x） ，其中 aR，x （1，+） = 令 g（x）=2ax 2+axa+1（1）当 a=0 时，g（x）=1，此时 f（x）0，
40、函数 f（x）在（1，+）上单调递增，无极值点（2）当 a0 时，=a 28a（1a）=a（9a 8） 第 20 页（共 22 页）当 时，0，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）在（1，+）上单调递增，无极值点当 a 时， 0，设方程 2ax2+axa+1=0 的两个实数根分别为 x1，x 2，x 1x 2x 1+x2= ， ， 由 g（1 ）0，可得 1x 1 当 x（1，x 1）时，g（x）0，f （x）0，函数 f（ x）单调递增；当 x（x 1，x 2）时，g（x） 0，f（x）0，函数 f（x）单调递减；当 x（x 2，+）时，g（x）0，f （x）0，函数 f（x）单调递增因此
41、函数 f（x）有两个极值点（3）当 a0 时，0由 g（ 1）=1 0，可得 x1 1x 2当 x（1，x 2）时，g（x）0，f （x）0，函数 f（ x）单调递增；当 x（x 2，+）时，g（x）0，f （x）0，函数 f（x）单调递减因此函数 f（x）有一个极值点综上所述：当 a0 时，函数 f（x）有一个极值点；当 0a 时，函数 f（x）无极值点；当 a 时，函数 f（x）有两个极值点（II）由（I）可知：（1）当 0a 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增f（0）=0 ，x（0，+）时，f（x）0，符合题意（2）当 a1 时，由 g（0）0，可得 x20，函数 f（x）在（0，
42、+）上单调递增又 f（0）=0 ，x（0，+）时，f（x）0，符合题意（3）当 1a 时，由 g（0）0，可得 x20，x（0，x 2）时，函数 f（x）单调递减又 f（0）=0 ，x（0，x 2）时，f（x）0，不符合题意，舍去；（4）当 a0 时，设 h（x）=xln （x+1） ，x（0，+） ，h（x）= 0h（x）在（0，+）上单调递增因此 x（0，+）时，h（x）h（0）=0 ，即 ln（x+1）x，第 21 页（共 22 页）可得：f（x）x+a（x 2x）=ax 2+（1 a）x，当 x 时，ax2+（1a）x0，此时 f（x）0，不合题意，舍去综上所述，a 的取值范围为0，1【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题第 22 页（共 22 页）参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；吕静；双曲线；maths；刘长柏；w3239003；翔宇老师；wkl197822；wfy814 ；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2016 年 8 月 29 日
