1、1习题课(3)一、选择题12014人大附中月考以双曲线 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为x216 y29( )A. y216 x B. y216 xC. y28 x D. y28 x解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质因为双曲线 1 的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为x216 y29y216 x，故选 A.答案：A2若抛物线 y22 px(p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点 F 的距离的关系是( )A成等差数列B既成等差数列又成等比数列C成等比数列D既不成等比数列也不成等差数列解析：设三点为 P1(
2、x1， y1)， P2(x2， y2)， P3(x3， y3)，则 y 2 px1， y 2 px2， y 2 px3，21 2 23因为 2y y y ，所以 x1 x32 x2，2 21 23即| P1F| | P3F| 2 ，p2 p2 (|P2F| p2)所以| P1F| P3F|2| P2F|.答案：A3设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为( )A y24 x B y28 xC y24 x D y28 x解析： y2 ax 的焦点坐标为 ，过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y2
3、 ，令(a4， 0) (x a4)x0 得 y . 4， a264， a8.a2 12 |a|4 |a|2答案：B4设直线 l1： y2 x，直线 l2经过点 P(2,1)，抛物线 C： y24 x，已知 l1、 l2与 C 共2有三个交点，则满足条件的直线 l2的条数为( )A1 B2C3 D4解析：点 P(2,1)在抛物线内部，且直线 l1与抛物线 C 相交于 A， B 两点，过点 P的直线 l2在过点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意满足条件的直线 l2共有 3 条答案：C5过抛物线 y2 ax(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点，若 PF 与 FQ 的长分别为
4、 p、 q，则 等于( )1p 1qA2 a B.12aC4 a D. 4a解析：可采用特殊值法，设 PQ 过焦点 F 且垂直于 x 轴，则| PF| p xp (a4， 0) a4 a4 ，a4 a2|QF| q ， .a2 1p 1q 2a 2a 4a答案：D62014河北省衡水中学期中考试已知抛物线 y x21 上一定点 B(1,0)和两个动点 P， Q，当 BP PQ 时，点 Q 的横坐标的取值范围是( )A. (，3)1，)B. 3,1C. 1，)D. (，31，)解析：本题主要考查直线垂直的条件和直线与抛物线的位置关系设 P(t， t21)，Q(s， s21)， BP PQ， 1，
5、即 t2( s1)t2 1t 1 s2 1 t2 1s tt s10， tR， P， Q 是抛物线上两个不同的点，必须有 ( s1) 24( s1)0，即 s22 s30，解得 s3 或 s1.点 Q 的横坐标的取值范围是(，31，)，故选 D.答案：D二、填空题7抛物线 y ax2的准线方程为 y1，则实数 a 的值是_解析：抛物线 y ax2化为 x2 y，1a3由于其准线方程为 y1，故 a0)且与直线 x 相切的动圆圆心 M 的轨迹方程；p2 p2(2)平面上动点 M 到定点 F(0,3)的距离比 M 到直线 y1 的距离大 2，求动点 M 满足的方程，并画出相应的草图解：(1)根据抛
6、物线的定义知，圆心 M 的轨迹是以点( ，0)为焦点，p2直线 x 为准线的抛物线，p2其方程为 y22 px(p0)(2)因为动点 M 到定点 F(0,3)的距离比点 M 到直线 y1 的距离大 2，所以动点 M 到定点 F(0,3)的距离等于点 M 到直线 y3 的距离，4由抛物线的定义得动点 M 的轨迹是以定点 F(0,3)为焦点，定直线 y3 为准线的抛物线，故动点 M 的轨迹方程为 x212 y，草图如上图所示11已知点 A(0,4)， B(0，2)，动点 P(x， y)满足 y280.PA PB (1)求动点 P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线 y x2 交于 C， D
7、 两点，求证： OC OD(O 为原点)解：(1)由题意可知， ( x,4 y)， ( x，2 y)，PA PB x2(4 y)(2 y) y280， x22 y 为所求动点 P 的轨迹方程(2)由Error! ，整理得 x22 x40， x1 x22， x1x24， kOCkOD y1x1 y2x2 x1 2 x2 2x1x2x1x2 2 x1 x2 4x1x2 4 4 4 41， OC OD.122014江西师大附中期中考试已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，点 P 是抛物线上的一点，且其纵坐标为 4，| PF|4.(1)求抛物线的方程；(2)设点 A(x1， y1)， B(x2
8、， y2)(yi0， i1,2)是抛物线上的两点， APB 的角平分线与 x 轴垂直，求直线 AB 的斜率；(3)在(2)的条件下，若直线 AB 过点(1，1)，求弦 AB 的长解：(1)设 P(x0,4)，因为| PF|4，由抛物线的定义得 x0 4，p2又 422 px0，所以 x0 ，因此 4，8p 8p p2解得 p4，5所以抛物线的方程为 y28 x.(2)由(1)知点 P 的坐标为(2,4)，因为 APB 的角平分线与 x 轴垂直，所以 PA， PB 的倾斜角互补，即 PA， PB 的斜率互为相反数设直线 PA 的斜率为 k，则 PA： y4 k(x2)，由题意知 k0，把 x 2 代入抛物线方程得 y2 y16 0，该方程的解为 4， y1，yk 4k 8k 32k由根与系数之间的关系得 y14 ，即 y1 4.因为 PB 的斜率为 k，所以8k 8ky2 4，8 k所以 kAB 1.y2 y1x2 x1 8y2 y1(3)结合(2)可得 AB： y x，代入抛物线方程得 A(0,0)， B(8，8)，故| AB|8 .26
