1、1第 2 课时 导数的运算法则学习目标 1.了解求导法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数知识点一 函数和、差的导数已知 f(x) x， g(x) .1x思考 1 f(x)， g(x)的导数分别是什么？答案 f( x)1， g( x) .1x2思考 2 若 h(x) f(x) g(x)， I(x) f(x) g(x)，那么 h( x)， I( x)分别与 f( x)，g( x)有什么关系？答案 y( x x) 1x x (x 1x) x ， xx x x 1 . y x 1x x x h( x) 1 .lim x 0 y x li
2、m x 01 1x x x 1x2同理， I( x)1 .1x2梳理 和、差的导数f(x)g(x) f( x)g( x)特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算(2)c(x) cf( x)(3)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程知识点二 函数积、商的导数1函数积的导数f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)22函数商的导数 (g(x)0)f xg x f x g x f x g xg x 21 f( x)2 x，则 f(x) x2.( )2 f(x) ，则 f( x) .( )1ex 1 exex
3、 13函数 f(x)sin( x)的导数为 f( x)cos x( )类型一 利用导数四则运算法则求导例 1 求下列函数的导数(1)y ；(2) y ；2x3 3x x 1xx x2 1x2 3(3)y( x1)( x3)( x5)；(4) y xsinx .2cosx考点 导数的运算法则题点 导数乘除法则的混合运用解 (1) y32x1 x1 32， y132 x2 5.(2)方法一 y x2 1 x2 3 x2 1 x2 3 x2 3 2 .2x x2 3 2x x2 1 x2 3 2 4x x2 3 2方法二 y 1 ，x2 1x2 3 x2 3 2x2 3 2x2 3y (12x2 3
4、) ( 2x2 3) 2 x2 3 2 x2 3 x2 3 2 .4x x2 3 2(3)方法一 y( x1)( x3)( x5)( x1)( x3)( x5)( x1)( x3)( x1)( x3)( x5)( x1)( x3)(2 x4)( x5)( x1)( x3)3 x218 x23.3方法二 y( x1)( x3)( x5)( x24 x3)( x5) x39 x223 x15， y( x39 x223 x15)3 x218 x23.(4)y( xsinx) (2cosx) xsin x x(sinx)2 cosx 2 cosx cosx 2sin x xcosx .2sinxcos
5、2x反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导跟踪训练 1 求下列函数的导数(1)y x2log 3x；(2) ycos xlnx；(3) y .exsinx考点 导数的运算法则题点 导数乘除法则的混合运用解 (1) y( x2log 3x)( x2)(log 3x)2 x .1xln3(2)y(cos
6、xlnx)(cos x)ln xcos x(lnx)sin xlnx .cosxx(3)y (exsinx) ex sinx ex sinx sin2x .exsinx excosxsin2x ex sinx cosxsin2x类型二 导数运算法则的综合应用命 题 角 度 1 利 用 导 数 求 函 数 解 析 式例 2 (1)已知函数 f(x) 2 xf(1)，试比较 f(e)与 f(1)的大小关系；lnxx4(2)设 f(x)( ax b)sinx( cx d)cosx，试确定常数 a， b， c， d，使得 f( x) xcosx.考点 导数的应用题点 导数的应用解 (1)由题意得 f(
7、 x) 2 f(1)，1 lnxx2令 x1，得 f(1) 2 f(1)，即 f(1)1.1 ln11所以 f(x) 2 x，得 f(e) 2e 2e，lnxx lnee 1ef(1)2，由 f(e) f(1) 2e20)在 x x0处的导数为 0，那么 x0等于( )x2 a2xA aB aC aD a2考点 导数的运算法则题点 导数除法法则及运算答案 B解析 y1 ， 0|xy1 0， x0 a.a2x2 a2x203已知物体的运动方程为 s t2 (t 是时间， s 是位移)，则物体在时刻 t2 时的速度为3t( )A. B.194 1749C. D.154 134考点 导数的应用题点
8、导数的应用答案 D解析 s2 t ， s| t2 4 .3t2 34 1344若曲线 f(x) xsinx1 在 x 处的切线与直线 ax2 y10 互相垂直，则实数 a 等 2于( )A2B1C1D2考点 导数的应用题点 导数的应用答案 D解析 f( x)sin x xcosx，由题意知 f 1，( 2) ( a2) a2.5若函数 f(x) 在 x x0处的导数值与函数值互为相反数，则 x0的值等于( )exxA0 B1C. D不存在12考点 导数的应用题点 导数的应用答案 C解析 f( x) ，xex exx2由题意知 f( x0) f(x0)0，即 0，解得 x0 .x0ex0 ex0
9、x20 ex0x0 126若函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x) x22 f(2) x m，则( )A f(0)f(5) D f(0) f(5)考点 导数的应用10题点 导数的应用答案 C解析 f(x) x22 f(2) x m， f( x)2 x2 f(2)， f(2)222 f(2)， f(2)4. f(x) x28 x m， f(0) m， f(5)2540 m15 m. f(0)f(5)7在下面的四个图象中，其中一个图象是函数 f(x) x3 ax2( a21) x1( a0)的导函13数 y f( x)的图象，则 f(1)等于( )A. B C. D 或13 13 73 13
10、53考点 导数的应用题点 导数的应用答案 B解析 f( x) x22 ax( a21)，导函数 f( x)的图象开口向上又 a0， f( x)不是偶函数，其图象不关于 y 轴对称，故其图象必为.由图象特征知 f(0)0，且对称轴 a0，11 a1，则 f(1) 11 ，故选 B.13 13二、填空题8设 f(5)5， f(5)3， g(5)4， g(5)1，若 h(x) ，则 h(5)f x 2g x_.考点 导数的运算法则题点 导数除法法则及运算答案 516解析 f(5)5， f(5)3， g(5)4， g(5)1，又 h( x) ，f x g x f x 2g xg x 2 h(5)f 5
11、 g 5 f 5 2g 5g 5 2 .34 5 2 142 5169已知函数 f(x) f cosxsin x，则 f 的值为_( 4) ( 4)考点 导数的应用题点 导数的应用答案 1解析 f( x) f sinxcos x，( 4) f f ，( 4) ( 4) 22 22得 f 1.( 4) 2 f(x)( 1)cos xsin x，2 f 1.( 4)10曲线 y xex2 x1 在点(0,1)处的切线方程为_考点 导数的应用题点 导数的应用答案 3 x y10解析 ye x xex2， k y| x0 e 0023，所以切线方程为 y13( x0)，即3x y10.1211已知 f
12、(x) x(x1)( x2)( x3)( x4)( x5)6，则 f(0)_.考点 导数的运算法则题点 导数乘法法则及运算答案 120解析 因为 f(x) x(x1)( x2)( x3)( x4)( x5)6，所以 f( x)( x1)( x2)( x3)( x4)( x5) x(x1)( x2)( x3)( x4)( x5)，所以 f(0)12345120.三、解答题12若曲线 y x2 axln x 存在垂直于 y 轴的切线，求实数 a 的取值范围考点 导数的应用题点 导数的应用解 y x2 axln x， y2 x a ，1x由题意可知存在实数 x0 使得 2x a 0，1x即 a2 x
13、 成立，1x a2 x 2 (当且仅当 2x ，即 x 时等号成立)1x 2 1x 22 a 的取值范围是2 ，)213已知函数 f(x) ax2 bx3( a0)，其导函数 f( x)2 x8.(1)求 a， b 的值；(2)设函数 g(x)e xsinx f(x)，求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程考点 导数的应用题点 导数的应用解 (1)因为 f(x) ax2 bx3( a0)，所以 f( x)2 ax b，又 f( x)2 x8，所以 a1， b8.(2)由(1)可知 g(x)e xsinx x28 x3，所以 g( x)e xsinxe xcosx2 x8，所以 g(0)e 0s
14、in0e 0cos02087，13又 g(0)3，所以曲线 g(x)在 x0 处的切线方程为 y37( x0)，即 7x y30.四、探究与拓展14已知点 P 在曲线 y 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是4ex 1_考点 导数的应用题点 导数的应用答案 34， )解析 y ，4ex ex 1 2 4exe2x 2ex 1设 te x(0，)，则 y ，4tt2 2t 1 4t 1t 2 t 2(当且仅当 t1 时，等号成立)，1t y1,0)， .34， )15设函数 f(x) ax ，曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为 7x4 y120.bx(1)求
15、 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 y x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值考点 导数的应用题点 导数的应用解 (1)由 7x4 y120，得 y x3.74当 x2 时， y ， f(2) ，12 12又 f( x) a ， f(2) ，bx2 74由得Error!解得Error!故 f(x) x .3x(2)设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y1 知，曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程为3x214y y0 (x x0)，(13x20)即 y (x x0)(x03x0) (1 3x20)令 x0，得 y ，6x0从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 .(0， 6x0)令 y x，得 y x2 x0，从而得切线与直线 y x 的交点坐标为(2 x0,2x0)所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形面积为 |2x0|6.12| 6x0|故曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.15
