1、- 1 -课时提升作业 三四种命题间的相互关系一、选择题(每小题 4分,共 12分)1.命题“若 p,则 q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是 ( )A.若 p,则 q B.若 q,则 pC.若 q,则 p D.若 q,则 p【解题指南】利用命题的等价关系判断.【解析】选 C.“若 p,则 q”的逆否命题是“若 q,则 p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.所以“若 q,则 p”一定是真命题.2.(2016三明高二检测)下列命题中为真命题的是 ( )A.命题“若 x2016,则 x0”的逆命题B.命题“若 xy=0,则 x=0或 y=0”的否命题C.命题“若 x2+x-2=0,则 x=1
2、”D.命题“若 x21,则 x1”的逆否命题【解析】选 B.A.命题“若 x2016,则 x0”的逆命题为命题“若 x0,则 x2016”,显然命题为假;B.命题“若 xy=0,则 x=0或 y=0”的逆命题为“若 x=0或 y=0,则 xy=0”,显然命题为真,则原命题的否命题也为真;C.解 x2+x-2=0得 x=1或 x=-2.所以命题“若 x2+x-2=0,则 x=1”为假;D.x21x-1 或 x1.所以命题“若 x21,则 x1”是假命题,则其逆否命题也为假命题.3.(2016泰安高二检测)已知命题“若 a,b,c成等比数列,则 b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命
3、题的个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 B.若 a,b,c成等比数列,则 b2=ac,为真命题,逆命题:若 b2=ac,则 a,b,c成等比数列,为假命题,否命题:若 a,b,c不成等比数列,则 b2ac,为假命题,逆否命题:若 b2ac,则 a,b,c不成等比数列,为真命题,在它的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的有 1个.【补偿训练】已知命题 p:若 a0,则方程 ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命- 2 -题的个数为 ( )A.3 B.2 C.1 D.0【解析】选 B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.二、填空题
4、(每小题 4分,共 8分)4.在命题“若 m-n,则 m2n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是 .【解析】原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为 3.答案:35.给出下列命题:原命题为真,它的否命题为假;原命题为真,它的逆命题不一定为真;一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;“若 m1,则 mx2-2(m+1)x+m+30的解集为 R”的逆命题.其中真命题是 .(把你认为正确命题的序号都填在横线上)【解析】原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故错误,正确.
5、又因为不等式 mx2-2(m+1)x+m+30的解集为 R,由 m1.m0,=4(+1)24(+3)0,1故正确.答案:三、解答题6.(10分)(教材 P8练习改编)证明:若 a2-4b2-2a+10,则 a2b+1.【证明】 “若 a2-4b2-2a+10,则 a2b+1”的逆否命题为“若 a=2b+1,则 a2-4b2-2a+1=0”.因为 a=2b+1,所以 a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0,所以命题“若 a=2b+1,则 a2-4b2-2a+1=0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
6、【补偿训练】求证:若 p2+q2=2,则 p+q2.【证明】该命题的逆否命题为若 p+q2,则 p2+q22.- 3 -p2+q2= (p+q)2+(p-q)2 (p+q)2.12 12因为 p+q2,所以(p+q) 24,所以 p2+q22,即 p+q2时,p 2+q22 成立.所以由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.即若 p2+q2=2,则 p+q2.一、选择题(每小题 5分,共 10分)1.(2015厦门高二检测)给出命题:已知 a,b为实数,若 a+b=1,则 ab .在它的逆命题、否命题、逆否命14题三个命题中,真命题的个数是 ( )A.3 B.2 C.1 D.0【解题
7、指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选 C.由 ab 得:a+b=1,则有 ab ,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若(a+2 )2 14ab ,则 a+b=1不成立,反例 a=b=0满足 ab 但不满足 a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.14 142.(2016惠州高二检测)已知命题“若函数 f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数,则 m1”,则下列结论正确的是 ( )A.否命题“若函数 f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数,则 m1”是真命题B.逆命题“若 m1
8、,则函数 f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函数”是真命题【解析】选 D.函数 f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数等价于 f(x)=e x-m0 在(0,+)上恒成立,即me x在(0,+)上恒成立,而 ex1,故 m1,所以命题“若函数 f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数,则m1”是真命题,所以其逆否命题“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函数”是真命题.- 4 -【补偿训练】命题
9、“若ABC 有一内角为 ,则ABC 的三内角成等差数列”的逆命题 ( )3A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题【解析】选 D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若ABC 的三内角成等差数列,则ABC 有一内角为 ”3,它是真命题.二、填空题(每小题 5分,共 10分)3.(2016衡阳高二检测)在“a,b 是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式 x2+ax+b0 的解集是非空数集,则 a2-4b0”,给出下列命题:若 a2-4b0,则不等式 x2+ax+b0 的解集是非空数集;若 a2-4b0,则不等式 x2+ax+b
10、0 的解集是空集;若不等式 x2+ax+b0 的解集是空集,则 a2-4b0;若不等式 x2+ax+b0 的解集是非空数集,则 a2-4b0;若 a2-4b0,则不等式 x2+ax+b0 的解集是非空数集;若不等式 x2+ax+b0 的解集是空集,则 a2-4b0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题的命题的序号依次是 (按要求的顺序填写).【解题指南】根据四种命题间的关系确定【解析】 “非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是.答案:4.命题“已知不共线向量 e1,e2,若 e 1+e 2=0,则 =0”的等价命题为 ,是 命题(填“真”或
11、“假”).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.【解析】命题“已知不共线向量 e1,e2,若 e 1+e 2=0,则 =0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若 , 不全为 0,则 e 1+e 20”,是真命题.答案:已知不共线向量 e1,e2,若 , 不全为 0,则 e 1+e 20 真三、解答题- 5 -5.(10分)(2016益阳高二检测)写出命题:“若 +(y+1)2=0,则 x=2且 y=-1”的逆命题,否命题,逆x2否命题,并判断它们的真假.【解析】逆命题:若 x=2且 y=-1,则 +(y+1)2=0,真命题;x2否命题:若 +(y+1)20,则 x2 或 y-1,x2因为逆命题为真,所以否命题为真;逆否命题:若 x2 或 y-1,则 +(y+1)20,x2显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.- 6 -
