1、- 1 -课时提升作业 十六抛物线的简单几何性质一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2016吉安高二检测)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB的中点到 y 轴的距离为 ( )A. B.1 C. D.34 54 74【解析】选 C.由抛物线的定义,有|AF|+|BF|= + =xA+xB+p=3,故 xA+xB=3-p= ,故线段(x+2)(x+2) 52AB 的中点到 y 轴的距离为 .54【延伸探究】若将上题改为 F 是抛物线 x2=2y 的焦点,A,B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段 AB 的中
2、点到 x 轴的距离为 .【解析】|AF|+|BF|=6,由抛物线的定义可得|AD|+|BE|=6,又线段 AB 的中点到抛物线准线 y=- 的距离为12(|AD|+|BE|)=3,所以线段 AB 的中点到 x 轴的距离为 .12 52答案:522.(2016温州高二检测)已知抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 1,点 P 为抛物线上一点,且在第一象限,PA l,垂足为 A,|PF|=2,则直线 AF 的倾斜角为 ( )A. B. C. D.45 23 34 56- 2 -【解题指南】可先画出图形,得出 F ,由抛物线的定义可以得出|PA|=2,从而可以得出 P 点的横坐标,(32,0)代
3、入抛物线方程便可求出 P 点的纵坐标,这样即可得出 A 点的坐标,从而求出直线 AF 的斜率,根据斜率便可得出直线 AF 的倾斜角.【解析】选 D.如图,由抛物线方程得 F ;|PF|=|PA|=2,所以 P 点的横坐标为 2- = ;所以 y2=6 ,P(32,0) 3212 12在第一象限,所以 P 点的纵坐标为 ;所以 A 点的坐标 ;所以 AF 的斜率为 =- ;3 (-32, 3)0 332(32) 33所以 AF 的倾斜角为 .563.已知直线 l 经过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F,且与抛物线交于 P,Q 两点,由 P,Q 分别向准线引垂线PK,QS,垂足分别为 K,S,
4、如果|PF|=a,|QF|=b,M 为 KS 的中点,则|MF|的值为 ( )A.a+b B. (a+b)12C.ab D. a【解析】选 D.如图,根据抛物线的定义,有|PF|=|PK|,|QF|=|QS|,易知KFS 为直角三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长.在直角梯形 PKSQ 中,容易求得|KS|=2 .a故|FM|= |KS|= .12 a4.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则ABP 的面积为 ( )A.18 B.24 C.36 D.48【解析】选 C.如图所示,- 3 -
5、设抛物线方程为 y2=2px(p0).因为当 x= 时,|y|=p,p2所以 p= = =6.|2 122又 P 到 AB 的距离始终为 p,所以 SABP = 126=36.125.(2015浙江高考)如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则BCF 与ACF 的面积之比是 ( )A. B.|1|1 |21|21C. D.|+1|+1 |2+1|2+1【解析】选 A. = = = = = .S1212|x|B|1|1- 4 -二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.设抛物线 y2=mx 的准
6、线与直线 x=1 的距离为 3,则抛物线的方程为 .【解析】当 m0 时,准线方程为 x=- =-2,所以 m=8,m4此时抛物线方程为 y2=8x;当 m0)上,且一直角边的方程是 y=2x,斜边长是 5,求此抛物线的方程.【解析】如图,设直角三角形为 AOB,直角顶点为 O,AO 边的方程为 y=2x,则 OB 边的方程为 y=- x.12由 得 A 点坐标为 .y=2,2=2, (p2,)由 得 B 点坐标为 (8p,-4p).y=12,2=2,因为|AB|=5,所以 =5.(p28)2(+4)2因为 p0,解得 p= ,21313所以所求抛物线方程为 y2= x.4131310.(20
7、16淮安高二检测)如图,已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(2,0)的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线 AF,BF 分别与抛物线交于点 M,N.- 6 -(1)求 y1y2的值.(2)记直线 MN 的斜率为 k1,直线 AB 的斜率为 k2,证明: 为定值.k12【解题指南】(1)设出直线 AB 的方程,把直线方程代入抛物线方程中整理化简,然后根据一元二次方程根与系数的关系可求.(2)表示出斜率,根据根与系数的关系代入化简可求得定值.【解析】(1)依题意,设 AB 的方程为 x=my+2,代入 y2=4x,得 y2-4my-8=0,从而 y1y2=-8.
8、(2)设 M(x3,y3),N(x4,y4),= = = ,k12y3434x1212y34234244 y21422412y1+23+4设直线 AM 的方程为 x=ny+1,代入 y2=4x 消去 x 得:y 2-4ny-4=0,所以 y1y3=-4,同理 y2y4=-4, = = = ,k12y1+23+4y1+241+42y124由(1)y 1y2=-8,所以 =2 为定值.k12一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.(2016成都高二检测)设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为抛物线上不同的三点,点 F 是ABC 的重心,O 为坐标原点,OFA,OFB,OFC 的
9、面积分别为 S1,S2,S3,则 + + = ( )S21S22S23A.9 B.6 C.3 D.2【解析】选 C.设 A,B,C 三点的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),(x3,y3),因为抛物线 y2=4x 的焦点 F 的坐标为(1,0),- 7 -所以 S1= |y1|,S2= |y2|,S3= |y3|,12 12 12所以 + + = ( + + )=x1+x2+x3,S21S22S2314y21y22y23因为点 F 是ABC 的重心,所以 x1+x2+x3=3,所以 + + =3.S21S22S232.抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是
10、( )A. B. C. D.343 75 85【解析】选 A.设抛物线 y=-x2上一点为(m,-m 2),该点到直线 4x+3y-8=0 的距离为 ,当|4328|5m= 时,取得最小值为 .23 43【一题多解】选 A.设与 4x+3y-8=0 平行的直线 l 的方程为 4x+3y+m=0,由 消去 y 得,3x 2-4x-m=0,y=2,4+3+=0,由 =0 得,16+12m=0,解得 m=- .43所以 l 的方程为 4x+3y- =0.43因此抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值是 d= = .|-8(43)|42+32 43二、填空题(每小题 5 分
11、,共 10 分)3.已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是 .【解题指南】将 P 到 y 轴的距离,转化为点 P 到焦点的距离,当 A,P,F 共线时,|PA|+|PM|最小.【解析】由 y2=4x,得 p=2,所以 F(1,0),- 8 -如图,|PM|=|PF|-p2=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1|AF|-1= -1=3 -1.(41)2+(60)2 5答案:3 -154.(2016南昌高二检测)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛
12、物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|MN|= .【解析】因为抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F(0,1),点 A 坐标为(2,0),所以抛物线的准线方程为 l:y=-1,直线AF 的斜率为 k= =- .过 M 作 MP l 于 P,根据抛物线的定义得 |FM|=|PM|.0120 12因为 RtMPN 中,tanMNP=-k= ,12所以 = ,|12可得|PN|=2|PM|,得|MN|= = |PM|.|2+|2 5所以 = ,可得|FM|MN|=|PM|MN|=1 .|15 5答案:1 5三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)5.(2016长春高二检测)点 M
13、(m,4)(m0)为抛物线 x2=2py(p0)上一点,F 为其焦点,已知|FM|=5.(1)求 m 与 p 的值.(2)以 M 点为切点作抛物线的切线,交 y 轴于点 N,求FMN 的面积.- 9 -【解析】(1)由抛物线定义知,|FM|= +4=5,所以 p=2.所以抛物线的方徎为 x2=4y,p2又由 M(m,4)在抛物线上,所以 m=4.故 p=2,m=4.(2)设过 M 点的切线方程为 y-4=k(x-4),代入抛物线方程消去 y 得,x 2-4kx+16k-16=0,其判别式 =16k 2-64(k-1)=0,所以 k=2,切线方程为 y=2x-4,切线与 y 轴的交点为 N(0,
14、-4),抛物线的焦点 F(0,1),所以 SFMN = |FN|m= 54=10.12 126.(2016福州高二检测)如图,抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N.(1)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|.(2)若|AF| 2=|AM|AN|,求圆 C 的半径.【解析】(1)抛物线 y2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1.由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2),所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CO|= .5所以|MN|=
15、2 =2 =2.|22 54(2)设 C ,则圆 C 的方程为 +(y-y0)2= + ,即 x2- x+y2-2y0y=0.由 x=-1,得 y2-(y204,0) (x204)2 y4016y20 y2022y0y+1+ =0,y202设 M(-1,y1),N(-1,y2),则- 10 -=4204(1+202)=22040,12=202+1. 由|AF| 2=|AM|AN|,得|y 1y2|=4,所以 +1=4,解得 y0= ,此时 0.y202 6所以圆心 C 的坐标为 或 ,(32, 6) (32, 6)从而|CO| 2= ,|CO|= ,即圆 C 的半径为 .334 332 332- 11 -
