1、1整合提升知识网络典例精讲数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法.它可用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题.在高考中，用数学归纳法证明与数列、函数有关的不等式是热点问题，特别是数列中的归纳猜想证明是对观察、分析、归纳、论证能力有一定要求的，这也是它成为高考热点的主要原因.【例 1】设 nN *且 n2，求证:1+ n1321 恒成立.证明:n=2 时，左边=1+ 2=右边，原不等式成立；设 n=k(k2)时原不等式成立，即 1+ k131 .当 n=k+1 时，有 1+ 112kk )1(1kk 1kkk即 n=k+1 时原不等式成立.由，可知
2、对于任何 nN *（n2）原不等式成立.【例 2】设 a1,a2,a3,anR 且 0a1+a2+an+1-n(n2,nN *).证明:n=2 时，（1-a 1）(1-a 2)0,a 1a2a1+a2+1-(1+1)成立.设 n=k(n2)时原不等式成立，即 a1a2aka1+a2+ak+1-k 成立，则 a1a2ak+ak+1-1a1+a2+ak+ak+1+1-(k+1)成立.要证明 n=k+1 时原不等式成立，2即 a1a2akak+1a1+a2+ak+1+1-(k+1)成立,只需证明不等式a1a2akak+1a1a2ak+ak+1-1(*)成立.要证明不等式（*）成立，只需证明(a1a2
3、ak-1)(ak+1-1)0.又00 成立.不等式(*)也成立，即 n=k+1 时原不等式成立.由可知对于任何 nN *（n2）原不等式成立.温馨提示当“假设不等式”直接向“目标不等式”过渡有困难时，可以先找一个介于“假设不等式”和“目标不等式”之间的“中途不等式”.通过对“中途不等式”的证明，实现由“假设不等式”到“目标不等式”的平稳过渡.而这个“中途不等式”仅起到桥梁作用.本例关键是尽快由“假设不等式”得到一个右边和“目标不等式”完全一样的不等式后，由不等式的传递性寻找到要证明的“中途不等式”.【例 3】求证：(n+1)(n+2)+(n+3)（n+n）=2 n135(2n-1).证明:用数
4、学归纳法.当 n=1 时，显然成立.根据归纳法假设，当 n=k 时，命题成立，即(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=2k135(2k-1).要证明 n=k+1 时，命题也成立，即(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=2k+11352(k+1)-1.要用来证明，事实上，对等式两边乘以 1)2(k,就凑好了等式的左边.接下来，对2 k135 )2(1k恒等变形，可得式右边.因此，对任意nN *，原不等式成立.【例 4】已知函数 y=f(x)的定义域为 R，对任意不相等的实数 x1,x2，都有|f(x 1)-f(x2)|an.思路分析:用数学归纳法证明从“n=k 到
5、n=k+1”时，关键是“一凑假设，二凑结论”.证明:很明显,n=1 时，a 1ak.这样命题(1)、 （2）获证.【例 5】设 a,b(0,+)且 ba1=1，求证：对于任何 nN *,有(a+b) n-an-bn2 2n-2n+1成立.证明:n=1 时，原不等式显然成立；设 n=k 时原不等式成立，即（a+b） k-ak-bk2 2k-2k+1,则 n=k+1 时， （a+b） k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b) k-ak-bk+ab k+akb(a+b)(2 2k-2k+1)+abk+akb,由 1= ba1 2,可得 ab4,a+b ab24.ab k+akb2 211)4
6、(kk=2k+2.(a+b) k+1-ak+1-bk+1(a+b)(2 2k-2k+1)+abk+akb4(2 2k-2k+1)+2k+2=22(k+1)-2(k+1)+1,即 n=k+1 时原不等式成立.由可知对于任何 nN *原不等式成立.温馨提示得到（a+b） (a+b) k-ak-bk是过渡成功的一半.问题化归为求关于 a,b 的二元函数在条件 ba1=1下的最小值问题后，若注意到原不等式“=”成立的条件为 a=b=2,则容易想到上述过程.【例 6】正项数列x n中，对于任何 nN *，x n2x n-xn+1恒成立.求证：对于任何 nN *,xn0 解得 0x11，原不等式成立.设 n=k 时原不等式成立，即 0xk 成立，由于 xk+1x k-xk2恒成立.（1）0x k 时，x k+1x k-xk2xk 成立.(2) xk 1时，x k+1x k(1-xk) 1(1- )= 1k.由（1）,（2）可知 n=k+1 时原不等式成立.由可知对于任何 nN *,xn 成立.4
