1、13.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用知识点一 半角公式思考 1 我们知道二倍角公式中， “倍角是相对的” ，那么对余弦的二倍角公式，若用 2 替换 ，结果怎样？答案 结果是 cos 2cos 2 112sin 2 cos 2 sin 2 . 2 2 2 2思考 2 根据上述结果，试用 sin ，cos 表示 sin ，cos ，tan . 2 2 2答案 cos 2 ，cos
2、 ， 2 1 cos2 2 1 cos2同理 sin ，tan 2 1 cos2 2sin 2cos 2 .1 cos1 cos思考 3 利用 tan 和二倍角公式又能得到 tan 与 sin ，cos 怎样的关系？sincos 2答案 tan ， 2sin 2cos 2sin 22cos 2cos 22cos 2 sin1 costan . 2sin 2cos 2sin 22sin 2cos 22sin 2 1 cossin梳理sin ， 2 1 cos 22cos ， 2 1 cos 2tan 2 1 cos 1 cos sin 1 cos .1 cos sin 知识点二 辅助角公式思考
3、1 asinx bcosx 化简的步骤有哪些？答案 (1)提常数，提出 得到a2 b2.a2 b2(aa2 b2 sinx ba2 b2cosx)(2)定角度，确定一个角 满足：cos ，sin aa2 b2 ba2 b2.(或 sin aa2 b2， cos ba2 b2)一般 为特殊角 ，则得到 (cos sinxsin cosx)(或( 4， 3等 ) a2 b2(sin sinxcos cosx)a2 b2(3)化简、逆用公式得 asinx bcosx sin(x )(或a2 b2asinx bcosx cos(x )a2 b2思考 2 在上述化简过程中，如何确定 所在的象限？答案 所
4、在的象限由 a 和 b 的符号确定梳理 辅助角公式：asinx bcosx sin(x ).a2 b2 (其 中 tan ba)1若 k， kZ，则 tan 恒成立( ) 2 sin 1 cos 1 cos sin 2若函数 f(x) A1sin(x 1)， g(x) A2sin(x 2)(其中 A10， A20， 0)，则h(x) f(x) g(x)的周期与 f(x)和 g(x)的一致( )3辅助角公式 asinx bcosx sin(x )，其中 所在的象限由 a， b 的符号决a2 b2定， 与点( a， b)同象限( )4sin x cosx2sin .( )3 (x 6)3提示 si
5、n x cosx23 (12sinx 32cosx)2sin .(x 3)类型一 应用半角公式求值例 1 已知 sin ， 3，求 cos 和 tan .45 52 2 2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用半角公式化简求值解 sin ，且 3，cos 45 52 1 sin2 .35由 cos 2cos 2 1，得 cos2 . 2 2 1 cos2 15 ，cos .54 2 32 2 1 cos2 55tan 2. 2 sin1 cos反思与感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半
6、角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan ，其优点是计 2 sin 1 cos 1 cos sin 算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2 ，cos 2 计算 2 1 cos 2 2 1 cos 2(4)下结论：结合(2)求值跟踪训练 1 已知 sin ，30，cos 0，cos . 2 (0， 2) 2 2 1 cos2 632已知 2 4，且 sin ，cos 0，则 tan 的值等于( )35 2A3B3C D.13 13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点
7、 利用半角公式化简求值答案 A解析 由题意知 为第三象限角，cos ，1 925 45所以 tan 3.故选 A. 2 sin1 cos 351 4583化简 的结果为( )2sin21 cos2 cos2cos2Atan Btan2 C1D2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用半角公式化简求值答案 B解析 原式 tan2 .2sin22cos2 cos2cos24函数 f(x)sin xcos x， x 的最小值为_0， 2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用辅助角公式化简求值答案 1解析 f(x) sin ， x .2 (x 4) 0， 2 x ， 4 4 4 f(x)
8、min sin 1.2 ( 4)5已知在 ABC 中，sin Acos2 sin Ccos2 sinB，求证：sin Asin C2sin B.C A 32考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 由 sin Acos2 sin Ccos2 sin B，C A 32得 sin A sin C sin B，1 cos C2 1 cos A2 32即 sin Asin Csin AcosCsin CcosA3sin B，sin Asin Csin( A C)3sin B，sin Asin Csin( B)3sin B，即 sin Asin Csin B3sin B，sin Asin C2s
9、in B.1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2辅助角公式 asinx bcosx sin(x )，其中 满足： 与点( a， b)同象a2 b29限；tan .ba(或 sin ba2 b2， cos aa2 b2)3研究形如 f(x) asinx bcosx 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一些特殊的系数 a， b 应熟练掌握，例如 sinxcosx sin
10、；2 (x 4)sinx cosx2sin 等.3 (x 3)一、选择题1已知 cos ， ，则 sin 等于( )15 (32， 2 ) 2A. B C. D.105 105 265 255考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用半角公式化简求值答案 A解析 ， ，(32， 2 ) 2 (34， )sin . 2 1 cos2 1052已知 180 360，则 cos 的值等于( ) 2A B.1 cos2 1 cos2C D.1 cos2 1 cos2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用半角公式化简求值答案 C3设 a cos6 sin6， b2sin13cos13， c
11、，则有( )12 32 1 cos502A cba B abc10C acb D bca考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 asin30cos6cos30sin6sin(306)sin24， b2sin13cos13sin26， csin25， ysin x 在 上是单调递增的，0， 90 acb.4(2017安徽芜湖高一期末考试)已知等腰三角形的顶角的余弦值为 ，则它的底角的余725弦值为( )A. B. C. D.34 35 12 45考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 三角恒等变换与三角形的综合应用答案 B解析 设等腰三角形的顶
12、角为 ，底角为 ，则 cos .725又 ，所以 cos cos sin ，故选 B. 2 2 ( 2 2) 2 1 7252 355在 ABC 中，若 sinAsinBcos 2 ，则 ABC 是( )CA等边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D直角三角形考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 三角恒等变换与三角形的综合应用答案 B解析 sin AsinB (1cos C)，12即 2sinAsinB1cos C，2sin AsinB1cos AcosBsin AsinB，故得 cos(A B)1，又 A B(，)， A B0，即 A B，则 ABC 是等腰三角形116已知 sin ，co
13、s ，则 tan 等于( )m 3m 5 4 2mm 5( 2 ) 2A B513C5 或 D 或 513 13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用半角公式化简求值答案 B解析 由 sin2 cos 2 1，得 2 21，(m 3m 5) (4 2mm 5)解得 m0 或 8，当 m0 时，sin 0，不符合 . 2 m0 舍去，故 m8，sin ，cos ，513 1213tan 5. 2 1 cos sin 1 12135137如果|cos | ， 3，则 sin 的值是( )15 52 2A B. C D.105 105 155 155考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 辅
14、助角公式与三角函数的综合应用答案 C解析 3，|cos | ，52 15cos 0，cos .15 ，sin 0.54 232 2sin 2 ， 2 1 cos2 35sin . 2 155二、填空题128已知 ，sin2 ，则 sin _.(0， 2) 12 ( 4)考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析 因为 12sin 2 cos sin2 ，( 4) (2 2)所以 sin2 ，( 4) 34因为 ，(0， 2)所以 ， 4 ( 4， 34)所以 sin .( 4) 329已知 sin ，则 cos2 _.( 6 ) 23 ( 6 2)
15、考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用降幂公式化简求值答案 56解析 因为 cos sin( 3 ) 2 ( 3 )sin .( 6 ) 23所以 cos2 .( 6 2) 1 cos( 3 )2 1 232 5610已知 sin sin ， 0，则 cos _.( 3) 435 2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 33 410解析 由已知得 sin cos cos sin sin 3 3 sin cos sin ，32 32 3 ( 6) 43513sin .( 6) 45又 ，cos ， 3 6 6 ( 6) 35cos cos .(
16、6) 6 35 32 ( 45) 12 33 41011sin 220sin80sin40的值为_考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 34解析 原式sin 220sin(6020)sin(6020)sin 220(sin60cos20cos60sin20)(sin60cos20cos60sin20)sin 220sin 260cos220cos 260sin220sin 220 cos220 sin22034 14 sin220 cos220 .34 34 34三、解答题12求证：tan tan .3x2 x2 2sinxcosx cos2x考点 三
17、角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 左边tan tan 3x2 x2sin 3x2cos 3x2sin x2cos x2 sin 3x2cos x2 cos 3x2sin x2cos 3x2cos x2sin(3x2 x2)cos 3x2cos x2 sin xcos 3x2cos x22sin xcos(3x2 x2) cos(3x2 x2) 右边2sin xcos x cos 2x原等式得证13已知 cos2 ， ，725 214(1)求 tan 的值；(2)求 的值2cos2 2 sin2sin( 4)考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值解 (
18、1)因为 cos2 ，所以 ，725 cos2 sin2cos2 sin2 725所以 ，解得 tan ，1 tan21 tan2 725 34因为 ，所以 tan . 2 34(2)因为 ，tan ， 2 34所以 sin ，cos ，35 45所以 4.2cos2 2 sin2sin( 4) 1 cos sincos sin1 45 35 45 35四、探究与拓展14如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数” 给出下列函数： f(x)2sin xcosx1； f(x)2sin ；(x 4) f(x)sin x cosx；3 f(x) sin2x1.2其中是“同簇函数
19、”的有( )A BC D考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 式化简后为 f(x)sin2 x1，式化简后为 f(x)2sin ，中振幅不同，(x 3)平移后不能重合振幅、周期相同，平移后可以重合1515证明：sin10sin30sin50sin70 .116考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 原式sin 10sin 30sin 50sin 70 cos 20cos 40cos 80122sin 20cos 20cos 40cos 804sin 20 sin 40cos 40cos 804sin 20 sin 80cos 808sin 20 右边，116 sin 160sin 20 116所以原等式得证16
