1、第6节正弦定理和余弦定理及其应用,知识链条完善,考点专项突破,解题规范夯实,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.已知ABC中的三边,如何判断三角形的形状?提示:利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负,从而判断出三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.2.在三角形ABC中,“AB”是“sin Asin B”的什么条件?“AB”是“cos AB”是“sin Asin B”的充要条件,“AB”是“cos Ac2”是“ABC为锐角三角形”的什么条件?提示:“a2+b2c2”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.,知识梳理,1.正弦定理和余弦定理,b2+c2-2bcc
2、os A,c2+a2-2cacos B,a2+b2-2abcos C,sin B,2Rsin B,2Rsin C,3.解三角形在测量中的常见题型(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.(2)有关测量中的几个术语仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫 ,目标视线在水平视线下方时叫 .(如图(1)所示)方位角:一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角,如方位角45,是指北偏东45,即东北方向.坡角:坡面与水平面的夹角.,俯角,仰角,【重要结论】 在ABC中
3、,常有以下结论:(1)A+B+C=.(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.,(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(5)ABabsin Asin Bcos Acos B.,夯基自测,A,C,3.(2016石景山区模拟)已知ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C=51113,则ABC是( )(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)钝角三角形,D,答案:30,答案:,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,正、余弦定理的应用(高频考点),答案:(1)1,考查角度1:利用正、余弦定理解三角形.高考扫描:2013高考新课标全
4、国卷、2015高考新课标全国卷,反思归纳 利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理,有时需结合图形分析求解,有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数.,考查角度2:与三角形面积有关的问题.高考扫描:2013高考新课标全国卷、2014高考新课标全国卷,2015全国卷,(2)若ABC的面积为3,求b的值.,反思归纳,(2)与面积有关的问题,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化.得到两边乘积,再整体代入.,考点二,利用正、余弦定理判定三角形形状,【例3】 在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)s
5、in B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小;,反思归纳,判定三角形形状的两种常用途径:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.,【即时训练】 (1)(2016银川模拟)在ABC中,若sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形形状是()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形,用正、余弦定理解决实际问题,考点三,【例4】 (2015广州七区联考)某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在
6、观察站C北偏东30,灯塔B在观察站C南偏东30处,则两灯塔A,B间的距离为.,答案:700米,反思归纳,利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;(4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.,【即时训练】 如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向,则海轮的速度为海里/分钟.,备选例题,【例3】 如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,解题规范夯实 把典型的问题程序化,利用正、余弦定理解三角形,
