1、1课时跟踪检测（十五） 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式层级一 学业水平达标1已知函数 f(x) x3的切线的斜率等于 3，则切线有( )A1 条 B2 条C3 条 D不确定解析：选 B f( x)3 x23，解得 x1.切点有两个，即可得切线有 2 条2曲线 ye x在点 A(0,1)处的切线斜率为( )A1 B2Ce D.1e解析：选 A 由条件得 ye x，根据导数的几何意义，可得 k y| x0 e 01.3已知 f(x)3 x ，则 f(2 )( )53 2A10 B5 x23C5 D10解析：选 D f( x)5 x 3， f(2 )52 23 10，故选 D.2234已
2、知 f(x) x ，若 f(1)2，则 的值等于( )A2 B2C3 D3解析：选 A 若 2，则 f(x) x2， f( x)2 x， f(1)2(1)2 适合条件故应选 A.5. 曲线 y x3在 x1 处切线的倾斜角为( )13A1 B 4C. D. 4 54解析：选 C y x2， y| x1 1，切线的倾斜角 满足 tan 1，0 ， . 46曲线 yln x 在点 M(e,1)处的切线的斜率是_，切线方程为_2解析： y(ln x) ， y| xe .1x 1e切线方程为 y1 (xe)，即 xe y0.1e答案： xe y01e7已知 f(x) a2(a 为常数)， g(x)ln
3、 x，若 2xf( x)1 g( x)1，则x_.解析：因为 f( x)0， g( x) ，1x所以 2xf( x)1 g( x)2 x 1.1x解得 x1 或 x ，因为 x0，所以 x1.12答案：18设坐标平面上的抛物线 C： y x2，过第一象限的点( a， a2)作抛物线 C 的切线 l，则直线 l 与 y 轴的交点 Q 的坐标为_解析：显然点( a， a2)为抛物线 C： y x2上的点， y2 x，直线 l 的方程为y a22 a(x a)令 x0，得 y a2，直线 l 与 y 轴的交点的坐标为(0， a2)答案：(0， a2)9求下列函数的导数：(1)y x8；(2) y4
4、x；(3) ylog 3x；(4)ysin ；(5) ye 2.(x 2)解：(1) y( x8)8 x81 8 x7.(2)y(4 x)4 xln 4.(3)y(log 3x) .1xln 3(4)y(cos x)sin x.(5)y(e 2)0.10已知 P(1,1)， Q(2,4)是曲线 y x2上的两点，(1)求过点 P， Q 的曲线 y x2的切线方程(2)求与直线 PQ 平行的曲线 y x2的切线方程解：(1)因为 y2 x， P(1,1)， Q(2,4)都是曲线 y x2上的点过 P 点的切线的斜率 k1 y| x1 2，过 Q 点的切线的斜率 k2 y| x2 4，3过 P 点
5、的切线方程： y12( x1)，即 2x y10.过 Q 点的切线方程： y44( x2)，即 4x y40.(2)因为 y2 x，直线 PQ 的斜率 k 1，4 12 1切线的斜率 k y| x x02 x01，所以 x0 ，所以切点 M ，12 (12， 14)与 PQ 平行的切线方程为：y x ，即 4x4 y10.14 12层级二 应试能力达标1质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s ，则质点在 t4 时的速度为( )5tA. B.12523 110523C. D.25523 110523解析：选 B s t .当 t4 时，15 45s .15 1544 1105232直
6、线 y x b 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b 的值为( )12A2 Bln 21Cln 21 Dln 2解析：选 C yln x 的导数 y ，1x令 ，得 x2，切点为(2，ln 2)1x 12代入直线 y x b，得 bln 21.123在曲线 f(x) 上切线的倾斜角为 的点的坐标为( )1x 34A(1,1) B(1，1)C(1,1) D(1,1)或(1，1)解析：选 D 因为 f(x) ，所以 f( x) ，因为切线的倾斜角为 ，所以切线1x 1x2 34斜率为1，4即 f( x) 1，所以 x1，1x2则当 x1 时， f(1)1；当 x1 时， f(1)1，则
7、点坐标为(1,1)或(1，1)4设曲线 y xn1 (nN *)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则x1x2xn的值为( )A. B.1n 1n 1C. D1nn 1解析：选 B 对 y xn1 (nN *)求导得 y( n1) xn. 令 x1，得在点(1,1)处的切线的斜率 k n1，在点(1,1)处的切线方程为 y1( n1)( xn1)令 y0，得 xn， x1x2xn ， 故选 B.nn 1 12 23 34 n 1n nn 1 1n 15与直线 2x y40 平行且与曲线 yln x 相切的直线方程是_解析：直线 2x y40 的斜率为 k2，又 y(ln x
8、) ， 2，解得 x .1x 1x 12切点的坐标为 .(12， ln 2)故切线方程为 yln 22 .(x12)即 2x y1ln 20.答案：2 x y1ln 206若曲线 y 在点 P(a， )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，则实数x aa 的值是_解析： y ，切线方程为 y (x a)，令 x0，得 y ，令12x a 12a a2y0，得 x a，由题意知 a2， a4.12 a2答案：47已知曲线方程为 y f(x) x2，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程解：设切点 P 的坐标为( x0， x )20 y x2， y2 x， k f( x0)2 x0，切线
9、方程为 y x 2 x0(x x0)20将点 B(3,5)代入上式，得 5 x 2 x0(3 x0)，20即 x 6 x050，( x01)( x05)0，205 x01 或 x05，切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为 y12( x1)或 y2510( x5)，即 2x y10 或 10x y250.8求证：双曲线 xy a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数证明：设 P(x0， y0)为双曲线 xy a2上任一点 y .(a2x) a2x2过点 P 的切线方程为 y y0 (x x0)a2x20令 x0，得 y ；令 y0，得 x2 x0.2a2x0则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S |2x0|2 a2.12 |2a2x0|即双曲线 xy a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数 2a2.6
