1、1课时跟踪检测（十七） 函数的单调性与导数层级一 学业水平达标1下列函数中，在(0，)内为增函数的是( )A ysin x B y xexC y x3 x D yln x x解析：选 B B 中， y( xex)e x xexe x(x1)0 在(0，)上恒成立， y xex在(0，)上为增函数对于 A、C、D 都存在 x0，使 y0 的情况2若函数 y x3 x2 mx1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是( )A. B.(13， ) ( ， 13C. D.13， ) ( ， 13)解析：选 C y3 x22 x m，由条件知 y0 在 R 上恒成立， 412 m0， m .13
2、3函数 y x42 x25 的单调递减区间为( )A(，1)和(0,1) B1,0和1，)C1,1 D(，1和1，)解析：选 A y4 x34 x，令 y0，当 x(1,2)时，( x1)( x2)0， a0.答案：(0，)9已知函数 f(x) x3 ax2 bx，且 f(1)4， f(1)0.13(1)求 a 和 b；(2)试确定函数 f(x)的单调区间解：(1) f(x) x3 ax2 bx，13 f( x) x22 ax b，由Error! 得Error!解得 a1， b3.(2)由(1)得 f(x) x3 x23 x.13f( x) x22 x3( x1)( x3)3由 f( x)0
3、得 x1 或 x0，所以 f(x)在(0，)内是增函数，12x 1x所以有 f(2)0， f(x)为增函数，x(0,2)时， f( x)0， f(x)为增函数只有 C 符合题意，故选 C.43(全国卷)若函数 f(x) kxln x 在区间(1，)内单调递增，则 k 的取值范围是( )A(，2 B(，1 C2，) D1，)解析：选 D 因为 f(x) kxln x，所以 f( x) k .因为 f(x)在区间(1，)1x上单调递增，所以当 x1 时， f( x) k 0 恒成立，即 k 在区间(1，)上恒成1x 1x立因为 x1，所以 0e2f(0)， f(2 016)e2 016f(0)B
4、f(2)e2 016f(0)C f(2)e2f(0)， f(2 016)0.解：(1)根据题意知， f( x) (x0)，a(1 x)x当 a0 时，则当 x(0,1)时， f( x)0，当 x(1，)时， f( x)f(1)即 f(x)2，所以 f(x)20.8已知函数 f(x) (aR， a0)ax aex(1)当 a1 时，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 F(x) f(x)1 没有零点，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1 时， f(x) ， f( x) . x 1ex x 2ex由 f( x)0，得 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，2)
5、 2 (2, )f( x) 0 f(x) 极小值 所以函数 f(x)的极小值为 f(2) ，1e2函数 f(x)无极大值(2) F( x) f( x) .aex (ax a)exe2x a(x 2)ex当 a0，ae2解得 ae 2，所以此时e 20 时， F(x)， F( x)的变化情况如下表：x (，2) 2 (2，)F( x) 0 F(x) 极大值 当 x2 时， F(x) 11，a(x 1)ex当 x2 时，令 F(x) 10，a(x 1)ex即 a(x1)e x0，由于 a(x1)e xa(x1)e 2，令 a(x1)e 20，得 x1 ，即 x1 时，e2a e2aF(x)0，所以 F(x)总存在零点，综上所述，所求实数 a 的取值范围是(e 2,0)7
