超晶格能带计算--有效质量理论.pdf-道客多多

资源描述

1、超晶格能带计算-有效质量理论一有效质量理论处理缓变局域势，如半导体中的浅能级、半导体量子阱及超晶格的电子能带结构，以及 MOS反型层内的电子能带结构。三类超晶格：第一类：第二类：第三类：当晶体中存在非周期性势场时，薛定谔方程表为： )()()( rErrUHrrr =+ 其中， )(rUr为非周期性势场时。错开型不对称型 GaAs AlGaAs GaSb InAs CdTe Ec1Ec2Ev2Ev Ec Ec EvEvEc Ev1Ec2, Ec1Ev1Ec2Ev2Ev2Ev1Ec1Ec1HgTe EEc2, v2Ev1)(222rVmPHrh+=， )(rVr设完整晶体单电

2、子哈密顿量：为周期性势场布洛赫表象： ),()(),( rkkErkHnnnrrrrr = kknnNknnkrdrr=rrr)()()()()( rrrrnknknkrrrr=n, k 描写完整晶体单电子状态的量子数瓦尼尔表象：适于处理存在局域势影响下的非完整晶体 =BZknRkilnrkeNRralrrrrrrr),(),(2/1依赖于格点lRr=llnnlnlnrdRraRra rrrrr),(),(*=lnlnlnrrRraRra,*)(),(),(rrrrrr- 1 - 有效哈密顿量：在瓦尼尔表象中，以基函数展开 ),(lnRrarr)(rr ： ),()()(,ln

3、lnlnRraRFrrrrr=)(rr 描述非完整晶体的总电子波函数，上述式子求和遍布所有格点， ),(lnRrarr是依赖于格点lRr的波函数，具有局域的性质，描述电子局域化特征；而 F 是求和中系数，具有广域的性质，描述电子共有化特征。代入薛定谔方程： =+=202)(wwceLzLzEzV无应变时：应变情形后述。通过数值求解方法-传递矩阵法和有限差分法，求解有效质量方程和边值条件，从而求得导带能量色散关系和电子总波函数。 2导带与其他带相互作用 -非抛物带模型 Kane模型 - 6 - 三数值求解方法：传递矩阵法和有限差分法 1. 传递矩阵法 z1 z2 zi-1 zi zNz

4、(z0) V0V2V1Vi-1ViVN一任意势 V(z)分成 N-1 等份阶梯开关势 V0， V1，， VN薛定谔方程( 在区域 i 中， zi z =00|l = 1 时，)()(21|1,11,1rxfYYX =+=)()(21|1,11,1ryfYYY =+=)(|0,1rzfYZ =P 态对称性 3 带边波函数原子结构：对于族，当原子组成晶体时发生 SP3轨道杂化，原子之间以共价键相互结合。对于-族，当原子组成晶体时，族和族元素主要以共价键结合，夹杂有一定的离子性，但仍可用 SP3轨道杂化模型，经 SP3轨道杂化后的轨道，仍具有 S 态和 P 态对称性。晶体中的导带和价带，由

5、这些轨道组合而成，导带具有 S 态对称性，价带具有 P 态对称性。导带和价带带边波函数可由球谐函数(代表角向部分)线性组合而成。价带 =+=+=+=+=21-21| |31)(|312121| |31)(|3123-23| )(|2121-23| |32)(|612123| |32)(|612323| )(|21605040302010，ZiYXuZiYXuiYXuZiYXuZiYXuiYXu导带 =iSuiSucc|2010注：波函数的空间部分可以归入| S、| X、 |Y和 |Z中的函数 f(r)中，而不影响结果。 - 10 - 4 Kane 模型仅考虑导带、重空穴带、轻空穴带和自旋-

6、轨道分裂带(各自二重简并)四带耦合，忽略所有其他带的影响。 kP微扰法 =+=)()(),()()()(4)(2222ruerrkErHPVcmrVmPHnkrkinknknnkrrrrrrrhrrr将布洛赫函数代入薛定谔方程，化简得到： =+mkkEEruErukVcmPVcmPkmrVmPnnknk2)()()(44)(22222222hrrrrrhhrrhrrhr一般，，忽略 Pkrh 、 |Y和 |Z是 Y11,Y10的组合，具有 P 态的性质， |S具有 S 态的性质；而 l = 0, 1 时的球谐函数均是 H0的本征函数；因此有： =ZEZHYEYHXEXHSESHPPPS|,|

7、,|0000ES, EP是分别对应 l = 0, 1 时的能量本征值。将| X、 |Y、 |Z和 |S线性组合而成零级波函数，如下： iS| ， )(21| iYX，，Z|+ )(21| iYXiS| ，+ )(21| iYX，，Z| )(21| iYX将包含微扰项薛定谔方程的解用零级波函数展开，然后代回薛定谔方程，与非简并微扰方法进行类似地处理，可以求得能量本征值的一级微扰；事实上微扰方法中?，能量本征值的一级微扰是微扰项哈密顿量在零级波函数张开的子空间中表为微扰项哈密顿量矩阵的本征值。因此重要的是写出该。微扰项哈密顿量矩阵元是微扰项哈密顿量被两个零级波函数作内积的值。将微扰项哈密顿

8、量rrhrrh+ PVcmPkm224夹在两个零级波函数作内积，经过数学上较为复杂处理?得到微扰项哈密顿量矩阵： =HHH00- 11 - +=300003/203/23000PPPSEEkPEkPEH(假定 zkk =r) =iSiScc|,(2) 价带：： (?)222)(mkkEhhh=(应为hhmk222h) =+=23-23|)(|212323|)(|21,，iYXiYXhhhhA 重空穴带)2(322)(222222=lhglhmkEPkmkkEhh+=+=2123| |32)(|6121-23| |32)(|61,，ZiYXZiYXlhlhB 轻空穴带： )2()(32)(22

9、2222+=sogsomkEPkmkkEhh+=2121| |31)(|3121-21| |31)(|31,，ZiYXZiYXsosoC 自旋- 轨道分裂带：若以新的函数 c, c, hh, hh, lh, lh, so, so,为基函数，微扰项哈密顿量矩阵是对角化的。出的结：模型中略去了除导带、重空带、轻空穴穴带和自旋- 轨道分裂带之外所有其他带的影响，因而给果并不准确，上述关于重空穴的能量色散关系与实验不符，更进一步考虑其他带对价带结构产生的影响参看 Luttinger-Kohn 模型。最后看一下 Kane 参数=+=mkEEEPkmkEkEggggc2)()3/2(2)(2222

10、22hh- 12 - )3/2(2)()1(2*2+=gggEmEEmmPh因而有，如下考虑：轨道分裂带归为集合 A，除此之外的能带Luttinger-Kohn 模型所考虑，需要求解；微扰方法对能量本征值的进由前述知： 5 Luttinger-Kohn 模型虑多带之间的相互作用。作重空穴带、轻空穴带和自旋 -为集合 B。集合 A 中的能带为B B A 考将归而集合 B 视为对集合 A 中能带的微扰，采用行修正。 Luttinger-Kohn 模型也可拓展为集合 A 包含导带。 )()()( rEg0 lh hh so - ukErHukkrrr= 为方便省略了下指标 n。此处针对价带计算

11、，后面 n 不代表能带指标。 VkcmPkrmPVcmmkrVmPH += rrhrhrrhhr2222222442)(2HPVcmmkH += rrhh2222042+=+=VmcPkmHrVmPHrhrrrrhr2204,)(2 rrhr+= PVcmHkH2204)0(，视 H为微扰。采用 Lwdins 微扰方法：?零级波函数：集合 A-)(0rujr，集合 B-)(0rur集合 A： =u33|10，=+=+=+=+=ZiYXuZiYXuiYXuZiYXuZiYXuiYX|31)(|3121-21|31)(|312121|)(|2123-23|32)(|6121-23|32)(|61

12、2123|)(|21226050403020，满足：)()0()()0(00ruErukHjjjrrr=- 13 - 用集合 A、B 中的基函数展开所要求解的函数： +=BAjjjkrukarukaru)()()()()(00rrrrru 0代表集合 B 中的基函数。式中 uj 0代表集合 A 中的基函数，微扰方法得到?，本征方程： 0)()( =kaEUjAjjjAjjr +=+=BjjjjjjBjjjjjjAjjEEHHHEEHHHU, 0, 0 = )|3)(|3)(2-2|),(6060ZiYXrfru ，+=+=+=(1111)(|31)(|31)(2121|),()()(|2)

13、(2-2|),()(|32)(|61)(21-23|),()(|32)113)()(|2)(60505050404040303030201010rfrfZiYXrfrurfiYXrfrurfZiYXrfrurfZiYXrfiYXrf，rrrr =12323|),(10ru ，r= (|6)(22|),(2020rfru ，=133r- 15 - 式中， | 及 | 为自旋态， iYX| 及 Z| 表示 P 态( l = 1)球谐函数 )的三个分量，、 f 在前述中，(角度部分 f10(r)、 f20(r)、60表示函数的径向部分，(r) 具有各向同性； iYX| 和中含有一个各向同性函数 f

14、(r)，f10(r)、 f20(r)、 f60(r)均可归入 f(r)中而不对能量本征值的计算结果产生影响，而波函数的计算需在最后结果中进行归一化，因此也不产生影响；如此，在计算中可以省略 f10(r)、 f20(r)、、 f60(r)。需要计算的是：能量本征值及包络函数Z|)(rFjr。对于超晶格，电子及空穴在 z 方向上受到限制，而 xy 方向仍自由，只需求对 z 方向进行求解。则有效质量方程： )()()()( zEFzFzUziH =+是只用算符 zi /)/( ziH 代替 kz之后的 Lutting-Kohn 哈密顿量矩阵， F(z)仍是一个 16 的列矩阵，F(z)= F1(

15、z), F2(z), F3(z), F4(z), F5(z), F6(z)T。总波函数： =6)()(kiruertrrrr=10)(jjjzFyyxxtekekk +=，yxx=reye +式中略去了自旋指标。对于考虑应变的超晶格计算，需要修改 uttL ing-Kohn 哈密顿量矩阵，即含应变的 Lutting-Kohn 哈密顿量矩阵。的考虑 (1) 形变在均一弹性形变下，其中一原子7 关于应变在一固体中有如图所示坐标系。zzyy 由位置( x, y, z)变为( x, y, z)： xxr +=r， zzyyxxr +=r， (x, y, z两者的变换关系： +=+=+=)()(

16、)(zyxzzyxyzyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxx(*) )是坐标系 o-xyz 中的坐标。定义了形变，是无纲量且值=+=+/2,-3/23|/2,-1/23|1/2 /2,3|3/2 /2,3|00QPSR0SQPRRQP-S0R-SQPH式中各项 P, Q, R, S 均已包含应变分量。 0=kr时，0= SRQPkkkk；且考虑晶格失配，0=SR；因此， 000000000000)0(+=QPQPQPQPkHr本征方程， 0)0( = EIkHDetr容易求解得带边位置： )/21()/1(2)0(11121112CCbCCaQPkEvHH+=r)/21()/1(2)0(

17、11121112CCbCCaQPkEvLH+=+=r上述重空穴带和轻空穴带的能量本征值可通过带边波函数区分( 后叙) 。综上，定义： )/1(2)(1112CCaaaEzzyyxxvchy=+ )/21(2)2(21112CCbbEzzyyxxsh+=+ )/21(2/1112CCbEsh+= ac和 av分别是导带和价带形变势，取成 ac = 2a/3, av = - a/3(更较为确切的数据可查询材料参数) 。因此，在应变作用下体材料导带带边和价带带边的移动量分别为： 3/2)/1(21112 hyccECCaE = =+= 3/)/21()/1(211121112 hyvvECCbCC

18、aE负号对应重空穴带，正号对应轻空穴带。应变引起体材料的带隙变化为： =hyvcEEE其中，正号对应 HH，负号以对应 LH。设材料无应变时带隙为 Eg，在应变的作用下，导带、重空穴带和轻空穴带均发生移动，重空穴带和轻空穴带带边( ) 简并解除，出现应变后体材料带隙为： 0=kr +=hyggEEE2/3(C-HH) =hyggEEE2/1(C-LH) - 24 - (2) 导带结构的计算导带的计算采用前述的单带模型，但要考虑应变的影响。色散关系： +=,2)()1(2)0()(zzyyxxcenakkmEkEhr注意几点： a. 计算中以体材料导带边为能量零点 b. 导带带边等能量为球面

19、，有效质量各向同性 c. 计算的是量子阱结构，电子只在 z 方向受到限制考虑到这几点，导带的有效哈密顿量为： )/1(222)(111222222CCadzdmmkziEceet+=hh， 222yxtkkk +=代入有效质量方程： )(2)()/1(2)(2221112222zGmkEzGCCaZVdzdmetcee=+hh值得注意的是阱材料和垒材料中的应变量不同，这里计算中设垒材料 = 0。将导带有效质量方程重写为： )(2)()(222222zGmkEzGZVdzdmetee=+hh而将超晶格势改写为： =cceECCazV)/1(2)(1112势阱中势垒中波函数： =SzGe

20、ruzGerttkiski|)()()()(0rrrrryyxxtekekk +=r，yxeyex +=r利用传递矩阵法或有限差分法进行求解，分别求得单量子结构的带边能量( 0=tkr)，用于决定带边跃迁能量，以及能量色散关系和总电子波函数)(tkEr)(rr ，用于光增益谱的计算。 (能量色散关系中，若电子在 xy 平面的各向同性，可设 ky=0) (计算结果中，电子波函数要归一化) (3) 价带结构的计算 A 44 Luttinger-Kohn 哈密顿量矩阵的块对角化价带的计算需要求解 4 维的本征方程： )()()()( zEFzFzVziHh=+对方程进行幺正变换： )()()()

21、( zUEFzUFUzVziHUh=+使得 Luttinger-Kohn 哈密顿量矩阵块对角化： =LUHHH00在一些情形下，如无外加偏场时，上下三角矩阵的能量本征值是简并的，因此只需计算 22 Luttinger-Kohn哈密顿量矩阵的有效质量方程。 - 25 - 取如下幺正变换矩阵： =00000000*U)42(exp21 +=RSi，)42(exp21 +=RSiP, Q 为实数， R, S 为复数； R, S分别为 R, S 的辐角： SRiieSSeRR= ,由 R, S 表达式： 2/)(3)(3)2/(32)2/(222232yyxxyxxyyxRbkkmdkkmtan+=h

22、hzxxzyzzySdkkmdkkmtan+=32)2/(32)2/(3232hhS与 kz有关，在量子阱计算中需谨慎使用此幺正变换。当应力沿100, 001, 110 方向时， xz=yz=0， S与 kz无关。对于晶格失配情形： =0)/(2/)(111200yzxzxyzzyyxxCCaaa =S， )/(tan1xykk=使用轴向近似条件( 后叙) ，仅对 R 项取近似32 ，则： 22)()2/3(yxkikkmRR = h， 2/)(32 += 得到， 2=R。从而， )2343(exp21 = i，)42(exp21 = i综上，对于晶格失配引起的应变，经过幺正变换后，新的 Lu

23、ttinger-Kohn 哈密顿量矩阵为： QPRRQPQPRRQPHHHLU+=+0000000000其中，，PPPk+=QQQk+= ，kkSiRR =)(222212zyxkkkkmP +=h，)2(222222zyxkkkkmQ +=hyxyxkkkikkmR3222232)(32 +=h，zyxkkikkmS )(3232=h)/1(21112CCaPv= ， =+= )/21(1112CCbQ- 26 - 0=R， 0=S变换后新的基函数为： =2/3,2/3|2/3,2/3|1| += 2/1,2/3|2/1,2/3|2|* +=2/1,2/3|2/1,2/3|3| +=2/3

24、,2/3|2/3,2/3|4| )2343(exp21 = i，)42(exp21 = i， (轴向近似下) )/(tan1xykk=以上可以看出|1 和 |4是 |3/2, 3/2的线性组合，仍是重空穴态；而|2 和 |3是 |3/2, 1/2的线性组合，仍是轻空穴态。 B 利用传递矩阵法进行计算传递矩阵法首要的是写出量子阱结构中不同区域的总空穴波函数形式，从而得到传递矩阵的具体形式。我们可以沿着这么一条思路来考虑：空穴在体材料中运动时表现为各向同性，而空穴在量子阱内运动的时候，受到 z 方向的限制作用，因此量子阱结构中总空穴波函数可以由体材料中的空穴波函数修改得到。首先看含应变的体材料中

25、总空穴波函数。以下计算中只对以|1 和 |2为基的上三角矩阵 HU进行讨论。 a. 含应变体材料中的总空穴波函数 )/1(21112CCaQPRRQPQPRRQPHvkkkkkkU+=+=+以下计算中省略下指标 k，而指无应变分量，应变分量均显式表出，写成： )/1(21112CCaQPRRQPHvU+=+上式中 2av(1-C12/C11) 对体材料来说只是引入了一个能量常数，可以在计算中略去而在最后结果中考虑；而对于量子阱，其值在势阱和势垒中不同，和导带处理一样，可将之归入价带超晶格势中。另外，对于价带定义能量坐标向上为正方向，即定义成： EE = 。考虑了这两点后，写出体材料能量本征方程

26、： 021=+FFEQPRREQP易解之得：重空穴带：2/12)(+= RRQPE +=+REQPFFHHHH)(21或+ )(QPER轻空穴带：2/12)(+= RRQPE +=)(21QPERFFLHLH或+REQP)( 波函数： Luttinger-Kohn 模型中，波函数是组合： =610)()()(jjjrurFrrrr在这里，不考虑自旋- 轨道分裂带，因而只包含 4 个基函数，又经过块对角化后上下三角矩阵解耦合，因而- 27 - 基函数只有 2 个： |1和 |2。 += 2|)(1|)()(21rFrFrrrr rkieFrFrrr=11)( ，rkieFrFrrr=22)(

28、EE易解得： =E ， VerrkiHH=1|)(rrr For Heavy Hole =E ， VerrkiLH=2|)(rrr For Light Hole V/1 为归一化常数。区分轻、重空穴的能量色散关系，只需在 0kr时观察各自能量本征值是否趋于上述值。分两种情形： 0 时，重空穴带： 2/12)(+= RRQPE 轻空穴带： 2/12)(+= RRQPE 注意在应用上述能量值时需计及省略的项 )/1(21112CCav 。至此，我们已求得含应变体材料中的总空穴波函数。 b. 应变单量子阱结构的求解量子阱结构的有效质量方程： 0)()()()()()(21=+zFzFzVE

29、QPRRzVEQPhh取量子阱生长方向为 z 方向，矩阵中波矢 kz须以微分算子 -i/z 代替。2 av(1-C12/C11) 项已归入超晶格势- 28 - Vh(z)中。价带超晶格势为： =vvhECCazV)/1(2)(1112势阱中势垒中其中，势垒中无应变，势阱中应变引起带边移动量-2 av(1-C12/C11)， Ev是价带带阶， Ev=(1-)Eg=(1-)(Egb- Egw)，注意以上式子中的符号，能量参考点取为无应变体材料价带顶，因而超晶格势中的带阶应为负值，但在有效质量方程中改变了 Vh(z)的符号，因而上述符号是一致的，并不影响计算结果。量子阱中轻、重空穴的运动在

30、z 方向受到限制，因而 xy 方向其波函数仍表现为平面波形式，而在 z 方向波函数是正反两列平面波的叠加；由于轻、重空穴的相互耦合，重( 轻) 空穴波函数中将掺入轻( 重) 空穴态成份，因此总的重( 轻) 空穴波函数应是四列平面波的叠加( 即重空穴本身的正反两列平面波，以及轻空穴的正反两列平面波) 。形式地写出量子阱总空穴波函数： )()()()()(21rrrFrFrLHHHrrrrr +=+= )(21)(21)(21)(210000zzikLHLHLHzzikLHLHLHzzikHHHHHHzzikHHHHHHkiLHzLHzHHzHHzteFFBeFFAeFFBeFFAerr其中，是

31、将中 kz的替换成- kz 。注意量子阱不同区域中的波函数不同，而以边界条件联系各波函数。上式中的HHF1 HHF1)(rr 并未指明为总重空穴波函数还是轻空穴波函数，需视其中的能量本征值 E 而定( 因为价带计算中，对于一定值的 kx，轻、重空穴能量本征值是一起解得的，需作轻、重空穴能量本征值的区分( 利用带边时的能量本征值来区分)， E 对应的是重空穴能量本征值，则求得的 )(rr 为总重空穴波函数。 B B A z2 z3 z (z1) j = 1 2 3 设 z1=z2两种情形： z 单量子阱结构的带边能量( kx=ky=0)： kx=ky=0 时重空穴带和轻空穴带解耦合： 0)()

32、()()(00)()(21=+zFzFzVEQPzVEQPhh显式表出： 0)()()()2(200)()2(2212221222212=+zFzFzVEzmzVEzmhhhh在第 j 区域中可形式写出总空穴波函数： )()()()()(21rrrFrFrLHjHHjjrrrrr +=- 29 - +=1001)()()()()()()()(jLHjzjLHjzjHHjzjHHjzzzikLHjzzikLHjzzikHHjzzikHHjeBeAeBeA 对重空穴和轻空穴带进行分别求解： =+=+=)0)( )()0)( )(1)()(22)()(1)()()()(zFeBeAzFzFeBeAz

33、FjLHzzikLHjzzikLHjjLHjHHzzikHHjzzikHHjjHHjLHjzjLHjzjHHjzjHHjz+=)(2)(22)(2)(2)(2)(zVEmkzVEmkhLHLHzhHHHHzhh +=21)(21)(22mmmmLHHH总空穴波函数： =2|)()(1|)()(2L1zFrzFrHLHHHHHrr将包络函数代入边条件： zFmFHHHH12121)2(2, h以及zFmFLHLH+22122)2(2, h分别得到传递矩阵： +=)()(1)(,11)(,100111121jjHHzjjjHHzjzzikzzikHHjHHjHHjHHjHHjeePPPPT， +=

34、)()(1)(,11)(,100111121jjLHzjjjLHzjzzikzzikLHjLHjLHjLHjLHjeePPPPT)(,)(1)(,1)(HHzjHHjHHzjHHjHHjkmkmP=，)(,)(1)(,1)(LHzjLHjLHzjLHjLHjkmkmP=11HHjHHjHHjHHjHHjBATBA， =11LHjLHjLHjLHjLHjBATBAz 单量子阱结构的能量色散关系( kx 0, ky = 0)：轴向近似： 2232222)()2/3(32)(32yxyxyxikkmkkikkmR += hh0)()()()()()(21=+zFzFzVEQPRRzVEQPhh将上式各项中的 kz以微分算子 -i/z 代替， )(222212zkmPx=h)2(222222zkmQx+=h- 30 -

展开阅读全文