1、一、数与式的运算第一节 乘法公式、因式分解重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法难点：公式的灵活运用，因式分解教学过程：一、乘法公式引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式， （从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？ acbcbacb2)(22（从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如 ，?)(3能用学过的公式推导吗？（平方立方）322323)()( bababa 那 呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从式看出结果？将 中的?)(3 3)(bab 换成b 即可。 （ ）这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换Rb符号的记
2、忆，和差 从3223)(aa代换的角度看问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ） （ ） 3ba由可知，)()3()( 222233 bababa 立方差呢？中的 b 代换成b 得出： 23ba符号的记忆，系数的区别例 1：化简 )1)()(1(22xxx法 1：平方差立方差法 2：立方和立方差（2）已知 求证：,02x xx68)()(33注意观察结构特征，及整体的把握二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等）（1）十字相乘法试分解因式： )2(1232xx要将二次三项式 x2 + px
3、 + q 因式分解，就需要找到两个数 a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数 p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).用十字交叉线表示: 1 a1 ba + b （交叉相乘后相加）若二次项的系数不为 1 呢？ ，如：)0(2acx372x如何处理二次项的系数？类似分解：1 32 1-6 + -1 = -7)12(372xx整理：对于二次三项式 ax2+bx+c（a0） ，如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积，即 a=a1a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c=c1c
4、2，把 a1，a 2，c 1，c 2排列如下：a1 +c1a2 +c2 a1c2 + a2c1 = a1c2 + a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c 的一次项系数 b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1与 a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a 1x+c1） （a 2x+c2） 。 按行写分解后的因式十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项系数为负时，如何简化例 2：因式分解：（1） （2） （3）5762x22865yx)3)(yx（2）分组分解法
5、分解 ，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法及十ynmx字相乘法两种方法适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，叫分组分解法如何适当分组是关键（尝试，结构） ，分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，或；利用公式练习：因式分解（1） （2）xx3923 24)1(yx（3） （试根法，竖式相除）4x归纳：如何选择适当的方法作业：将下列各式分解因式（1） ； （2） ； （3） ；（4）652x65x652x652x（5） ； （6） ；（7）3a23yy baba2（8） ；（9）46 ax)1(2【公式 1】 cabcbcba2)(22证明： 2)()()(acab
6、cc222等式成立【例 3】计算： 22)31(x解：原式= x913282 )2(312)()()3422 xx xx说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式 2】 (立方和公式)322)(baba证明: 33223( babb 说明:请同学用文字语言表述公式 2.【例 4】计算： （2a+b） （4a 2-2ab+b2）=8 a 3+b3【公式 3】 (立方差公式)32)(bab1计算（1） （3x+2y） （9x 2-6xy+4y2）=（2） （2x-3 ） （4x 2+6xy+9）=（3） =)91641(3m（4） （a+b） （a 2-ab+b2） （ a-b）
7、 （a 2+ab+b2）=2利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n3=（2）27m 3- n3=8（3）x 3-125=（4） m6-n6=【公式 4】 3322()abab【公式 5】 3【例 5】计算：（1） （2）)416)(2m )410251)( 2nmnm（3） （4）162aa2 yxyx解：（1）原式= 33（2）原式= 38125)(51( nmn（3）原式= 64)(4422 aaa（4）原式= 222 )() yxyyxyx 6363说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构（2）为了更好地使用乘法公式，记住 1
8、、2、3、4、20 的平方数和1、2、3、4、10 的立方数，是非常有好处的【例 6】已知 ，求 的值0x3x解： 2310xx31x原式= 18)3()()( 2222 说明：本题若先从方程 中解出 的值后，再代入代数式求值，则计算较30烦琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举【例 7】已知 ，求 的值0cba11()()()abccab解： ,原式= bacb33()()accaabcbab 3)()(223 ，把代入得原式=ca说明：注意字母的整体代换技巧的应用二） 、根式式
9、子 叫做二次根式，其性质如下：(0)(1) (2) 2a2|a(3) (4) (0,)bb(0,)bb【例 8】化简下列各式：(1) (2) 22(3)(31)22(1)() (1)xx解：(1) 原式= |3*(2) 原式= (1)2)3 (2)|1|2| 1xxx 说明：请注意性质 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对|a字母的取值分类讨论【例 9】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数) ：(1) 83(2) (3) (4) 321ab328xx解：(1) = 84623(2) 原式= 2()(3)63(3) 原式=2abab(4) 原式= 22232xxxx说明：(1
10、)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如 )或被开方数有分母 (如 )这时可将其化为 形式(如322xab可化为 ) ，转化为 “分母中有根式” 的情况化简时，要把分母中的根式化为有理2x式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如 化为 ，其中323(2)与 叫做互为有理化因式)23有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化
11、因式。如 与 ； 与 互为有理化因式。aybxybxa分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。【例 10】计算：(1) (2) 2(1)()()ababab解：(1) 原式= 22(1)()21baabab(2) 原式= 1()()2()()abab说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算【例 11】设 ，求 的值23,xy3xy解：2()74, 14,32 xy原式= 222()()3(3)70xyxyxy说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几
12、步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量1二次根式 成立的条件是( )2aA B C D 是任意实00a0aa数2若 ，则 的值是( )3x296|6|xA B C D3计算：(1) (2) 2(4)yz 2(1)()2abab(3) (4) 3)(baba 44化简(下列 的取值范围均使根式有意义 )：(1) (2) 38 1a(3) (4) ab 22315化简：(1) (2) 2191035mm2 (0)xyxy6若 ，则 的值为( )：2xy3xy练 习A B C D353553537设 ，求代数式 的值1,2xy22xy8已知 ，求代数式110,9,0abc的值22bca9设 ，求
13、的值51x421x10化简或计算：(1) (2) 3(184)2 221(5)3(3) 2xyxy答案：1 C 2 A3 (1) (2) 2916824xyzxyzy223541abab(3) (4) 23ab 31644 () 2ab5 6 D 7 2mxy 1368 3 9 10354,xy（三） 、分式当分式 的分子、分母中至少有一个是分式时， 就叫做繁分式，繁分式的化简常用ABAB以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质【例 1】化简 1x解法一：原式= 222 (1)1(1)1xxxxx 解法一：原式= 22()1(1)(1)1xxxx 说明：解法一的运算方法是
14、从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质 进行化简一般根据题目特点综合使用两种方AmB法【例 2】化简2239617xx解：原式=22161(3)(3)2(3)(3)9)()xxxxx 212()3()()x说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式四） 、多项式除以多项式做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐） ，要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式 商式
15、+余式【例 1】 计算 )3()(24xx解： 9302242xxxx)()()3(224计算练 习1 )32()71303(2xxx2 ()23已知 145,19 2334 xxBxxA求： 2B答案：1 323)2()7130(3 xxxx2 1()23 xBA二、因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等一）、公式法【例 1】用立方和或立方
16、差公式分解下列各多项式：(1) (2) 38x 30.1257b分析： (1)中， ，(2) 中 230.15,()解：(1) 332()4xx(2) 3 20.157.(.)0.53()bbb2(3)(02159说明：(1) 在运用立方和(差) 公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则 ；(2) 在运用立方和(差) 公式分解因式时，338(2)ab()nab一定要看准因式中各项的符号【例 2】分解因式：(1) (2) 3481b76ab分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是 或 6ab32()a23()a解：(1) 4 22
17、817()39)bbbab(2) 76633()()ababa2222) )()(二)、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提mabn取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1分组后能提取公因式【例 3】把 分解因式2105axybx分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 的降幂排列，x然后从两组分别提出公因式 与 ，这时另一个因式正好都是 ，这样可以继续提5y取公因式解： 21052(5)()()2axybxa
18、ybxab说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试【例 4】把 分解因式22()()cdcd分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解： 2222()()abcabcabcdb)dd()()ccc说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用2分组后能直接运用公式【例 5】把 分解因式2xya分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，
19、但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是 ；把第三、四项作为另一组，在提出公因式 后，另一个因式a也是 .xy解： 2()()()axyxyaxy【例 6】把 分解因式2248xyz分析：先将系数 2 提出后，得到 ，其中前三项作为一组，它是一24xyz个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式解： 222248()xyz()()(xyzz说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式三)、十字相乘法1 型的因式分解2()xpqx这类
20、式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和 22() ()()()xpqxpxqxpqxpxq因此， ()运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式【例 7】把下列各式因式分解：(1) (2) 26x236x解：(1) (1),()67271()1)(xxx(2) 3649,321(4)9xx说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同【例 8】把下列各式因式分解：(1) (2) 254x215x解：(1) (3)8,52()8(3)8xxx
21、(2) 15()3,522()3(5)3xxx说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同【例 9】把下列各式因式分解：(1) (2) 226xy22()8()1xx分析：(1) 把 看成 的二次三项式，这时常数项是 ，一次项系数xy 26y是 ，把 分解成 与 的积，而 ，正好是一次项系数y2323(2)y(2) 由换元思想，只要把 整体看作一个字母 ，可不必写出，只当作分解xa二次三项式 281a解：(1) 2266(3)2xyxyxy(2) 2()()1)x32()xx2一般二次三项式 型的因式分解abc大家知道， 2121121
22、2()()()xcaxcaxc反过来，就得到： 2 ()我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成1c1212,ac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于12ac121a的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中xbb2axbc12()()xca位于上一行， 位于下一行1,ac2,ac这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解【例 10】把下列各式因式分解：(1) (2) 215x22568xy解：(1) 215(32
23、)41xx324 1(2) 2268()5)yy5y说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先” 凑”绝对值，然后调整，添加正、负号四)、其它因式分解的方法1配方法【例 11】分解因式 261x解： 2 2261316(3)5x x(35)()(8)xx说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验2拆、添项法【例 12】分解因式 324x分析：此多项
24、式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0 了，可考虑通过添项或拆项解决解： 32324(1)(3)xx2(1) (1)3(1)xxx2 2)(xx说明：本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将 拆成 ，将多项式分23x24x成两组 和 32()x2x一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3
25、) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法( 如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 327a38m3278x2把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 34xy3nxy232()yy3把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 22672245mn4把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 54310axax2126nnab 2()9x(4) (5) 2286y7()5()5把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 23ax32841xx256xy(4) (5) (6) 41yy434
26、abab631(7) 2()()xx6已知 ，求代数式 的值,23ab227证明：当 为大于 2 的整数时， 能被 120 整除n534n8已知 ，求证： 0c3230acba答案：1 2 22(3)9),(4),(3469),amxx2 2(nxyxxyy2432(11)x3 ， ，()1()35)n4 ； ； ；8ax(2nab2(3)(3)xx(2)5),y7(1b练 习5 ；2()3,(1),(3)52)xyaxxy(1)(2),xy233by6 837 54(2)1()2nnn8 3232()acbaabc第二节 二次函数及其最值重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值
27、问题难点：给定区间的最值问题教学过程：一、韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）二次方程 什么时候有根（判别式 0 时） ，此时由求根公式得，)0(2acbxa ，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方程，x4直接从方程中看出两根和（积）与系数的关系吗， abcbacbx 24221 a421反过来，若 满足 ，那么 一定是21,xcxb2121, 21,x的两根，即韦达定理的逆定理也成立。)0(2acbax作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系（2）已知两数，构造出以两数为根的一元二次方程（系数为 1）：)(2121xx例 1： 是方程 的两根，不解方程，求下列代数式的值；,
28、 053 2x|21x321x二、二次函数的三种形式(1) 一般式： )0(2acbxy(2) 顶点式： ，其中顶点坐标为（h，k）)(h练：求下列函数的最值。 （1） （2） （3）542xy 8632xy432xy除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与 x 轴的交点，得出另一种表示方法；函数 的图像与 x 轴公共点的横坐标就是方程 的根，)0(2acbxy 02cbxa那它根的情况由谁决定 ， （判别式） ，当方程有两根 时，由韦达定理可知21,，axx2121,所以 ，)()()( 21212122 xaxxacxbcby 这是二次函数的交点式。（3）交点式： )0()(21ay根
29、据题目所给条件，适当选择三种形式。例 2：分别求下列一元二次函数的解析式。 （P4344）（1） 已知二次函数的图象过点（3，0） ， （1，0） ，且顶点到 x 轴的距离等于 2；（2） 已知二次函数的对称轴为 x1，最大值为 15，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的立方和为 17；三、二次函数在给定范围内的最值问题例 3、已知函数 ，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大32xy值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值:(1) ; (2) ; (3) ; (4)2x130动范围问题（选讲）例 4、已知 为大于1 的常数） ，求函数 的最大值 M 和最小值
30、ax( 2xym。 （P50）数形结合，根据对称轴与取值范围内图象的相对位置进行分类讨论，把握好为什么要分类讨论、如何进行分类讨论。 （要讲到位）作业：1、 已知某二次函数的图象的顶点为 A（2，18） ，它与 x 轴两个交点之间的距离为 6，求此二次函数的解析式。2、 如图，用长为 18m 的篱笆（虚线部分） ，两面靠墙围成矩形的苗圃。（1）设矩形的一边为 x（m） ，面积为 y（ ） ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量2x 的取值范围；（2）当 x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少三、一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法
31、及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元二次方程根的判 别式、根与系数的关系进行阐述一）、一元二次方程的根的判断式一元二次方程 ，用配方法将其变形为：20 ()axbca224()bx(1) 当 时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根 ：0ac24bacx(2) 当 时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：240bac 1,2bxa(3) 当 时，右端是负数因此，方程没有实数根 由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把2c叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为：24bac20 ()axb
32、ca【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) (2) (3) 2310x2491y25(3)60x解：(1) ， 原方程有两个不相等的实数根()4(2) 原方程可化为： 20y， 原方程有两个相等的实数根2(1)9(3) 原方程可化为： 2561x， 原方程没有实数根2(6)440说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式【例 2】已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的x230xkk范围：(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根解： 2()4312k(1) ； (2) ；1014
33、03k(3) ； (4) 32k2k【例 3】已知实数 、 满足 ，试求 、 的值xy21xyxy解：可以把所给方程看作为关于 的方程，整理得： 22()10x由于 是实数，所以上述方程有实数根，因此：，22()4(1)30yyy代入原方程得： xx综上知： 1,0y二）、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程 的两个根为：2 ()axbca2244,cbacx所以： ，2212bax222212 244()4)cbacbacca 定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么：20 ()ax12,x1212,bcxa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定
34、理称为”韦达定理” 【例 4】若 是方程 的两个根，试求下列各式的值：12,x207x(1) ； (2) ； (3) ； (4) 21x12x12(5)x12|x分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这里，可以利用韦达定理来解答解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212,07xx(1) 221112()()()48xx(2) 212107(3) 212(5)5()075(2)1972xxx(4) 121 12|()4405说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：， ，221112()xxx122x221112()()4xx， ，212112|(
35、)42121()x等等韦达定理体现了整体思想332()xx*【例 5】一元二次方程 0a有两个实根，一个比 3 大，一个比 3 小，求 a的取值范围。解一：由 )3(021x解得： 3a解二：设 )f4，则如图所示，只须 0)(f，解得 3a*【例 6】 已知一元二次方程 65)9(22axax一个根小于 0，另一根大于2，求 的取值范围。解：如图，设 )()(22f则只须 0)2(f，解之得 381a 38axy2xy=2【例 7】已知关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出 的x221()04kxk值(1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 满足 12,x12|x分析：(1) 由
36、韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是 ，二是 ，012x所以要分类讨论解：(1) 方程两实根的积为 5 22121()4()03,42kkkx所以，当 时，方程两实根的积为 5k(2) 由 得知：12|当 时， ，所以方程有两相等实数根，故 ；0x12x 302k当 时， ，由于112011k，故 不合题意，舍去32k综上可得， 时，方程的两实根 满足 12,x12|x说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0【例 8】已知 是一元二次方程 的两个实数根12,x240kx(1) 是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值
37、；k12123()() k若不存在，请您说明理由(2) 求使 的值为整数的实数 的整数值12xk解：(1) 假设存在实数 ，使 成立k12123()()xx 一元二次方程 的两个实数根40k ，20()(1)6k k又 是一元二次方程 的两个实数根12,x240kx 124xk 2 2121211211()()()5()9xxxxx，但 9394kk0不存在实数 ，使 成立12123()()xx(2) 121212441x k 要使其值是整数，只需 能被 4 整除，故 ，注意到 ，k,20k要使 的值为整数的实数 的整数值为 12x,35说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推
38、导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在(2) 本题综合性较强，要学会对 为整数的分析方法41k1一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( )2(1)10kxkA B C Dk,k且2k2,1k且2若 是方程 的两个根，则 的值为( )12,x2630x12xA B C D923已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于 的x方程 的根，则 等于( )22(1)30xmxmA B C D53且53且4若实数 ，且 满足 ，则 的值为ab,228,80ab1ba( )A B C D20且2且练 习5若方程 的两根之差为 1，则 的值是
39、 _ 2(1)30xkk6设 是方程 的两实根， 是关于 的方程12,pxq2,xx的两实根，则 = _ ， = _ 20xqq7对于二次三项式 ，小明得出如下结论：无论 取什么实数，其值都不可2136xx能等于 10，您是否同意他的看法？请您说明理由8一元二次方程 02)(72 mx两根 1、 2满足 210x求 m取值范围。9已知关于 的一元二次方程 x2(41)(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值12,x12xm10已知关于 的方程 x()04k(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？k(2) 若该方程的两根是一个矩形相邻
40、两边的长，当矩形的对角线长是 时，求 的5k值11已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 x2(1)(3)10kxkx12,x(1) 求 的取值范围；k(2) 是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不k存在，请您说明理由12若 是关于 的方程 的两个实数根，且 都大于12,xx22(1)0kx12,x1(1) 求实数 的取值范围；k(2) 若 ，求 的值12x答案：1 B 2 A 3A 4A 5 9 或 6 31,3pq7正确8由0)2(1ff可得 1m或 43 9 21(1)650 ()2m10 3 k11 (2) 不存在1()2且12(1) ； (2) 4k7
41、k四、一元高次方程的解法含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于 2 的整式方程叫做一元高次方程。一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。【例 1】解方程 （1）x 3+3x2-4x=0 （2）x 4-13x2+36=0解：（1）原方程可化为 x（x-1） （x+4）=0 ,1,0x,13（2）原方程可化为（x 2-9） （x 2-4）=0 ；（x+3） （x-3） （x+2） （x-2）=0，,31,234解方程（1）x 3+5x2-6x=0（2） （x 2-3x） 2-2（x 2-3x）-8=0答案：（1
42、） （2）,61,0,13x,1x,2,13x4五、三元一次方程组的解法举例1）三元一次方程组的概念：三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是 1，并且一共有三个方程。注：（1）“未知项” 与“ 未知数 ”不同。（2）每个方程不一定都含有三个未知数。它的一般形式是 练 习未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。2）解三元一次方程组的基本思想方法是：【例 1】 解方程组分析：方程只含 x，z，因此，可以由， 消去 y，再得到一个只含 x，z 的方程，与方程 组成一个二元一次方程组解： 3，得 11x10z35 （4） 与
43、组成方程组解这个方程组，得把 x5，z2 代入 ，得 253y29， 【例 2】 解方程组分析：三个方程中，z 的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消 z。解： +，得 5x+6y=17 +2，得， 5x+9y=23 与组成方程组 解这个方程组，得 把 x=1，y=2 代入 得：21+22-z=3， z=3 另解： +-，得 3y=6，y=2把 y=2 分别代入和，得 解这个方程组，得： 注： 此题确定先消去 z 后，就要根据三个方程消两次 z（其中一个方程要用两次），切忌消一次 z，再消一次其他未知数，这样得不到一个二元一次方程组，达不到消元的目的。此题的 “另解”是先同时消去两个未知数
44、，直接求出一个未知数的值，然后把所求得的未知数的值代入方程组中的两个方程组中，得到一个二元一次方程组，再求出另两个未知数的值。这种解法是一种特殊解法，只有认真观察，才能做出。1. 解下列三元一次方程组1） 2） 3） 练 习2已知 ，且 x+y+z=24，求 x、y、z 的值。3代数式 ax2+bx+c 在 x 为 1，-1，2 时，它的值分别是-6，-8，-11，求：a，b，c 的值； 当 x=-4 时，求代数的值。*4已知 2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且 xyz0求： 的值。*5已知 且 xyz0，求 x：y：z *6用 100 元恰好买了三种笔共 100 支，其中金笔每支 10 元，铂金笔每支 3 元，圆珠笔每支 05 元，试问三种笔各买了多少支？答案： 1.(1) (2) (3) 438xyz306abc842xyz2. x=6,y=8,z=10 3.a=-2,b=1,c=-5;-414. 815. :3:24xyz6金笔 5 支 铂金笔 5 支 圆珠笔 90 支六、简单的二元二次方程组的解法举例（1）二元二次方程及二元二次方程组观察方程 ，此方程的特点：含有两个
