1、119.2 一次函数19.2.2 一次函数第 1 课时 一次函数的定义教学目标一、基本目标 【知识与技能】1掌握一次函数解析式的定义2知道一次函数与正比例函数关系3会根据实际问题写出一次函数的表达式【过程与方法】通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法的多样性【情感态度与价值观】培养独立思考、合作探究、培养科学的思维方法二、重难点目标【教学重点】一次函数的概念及列一次函数表达式【教学难点】理解一次函数与正比例函数的关系教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P89P90 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1教材第 90 页“思考” 解：(1) c7 t35(
2、20 t25)(2)G h105.(3)y0.1 x22.(4)y5 x50(0 x10)这些函数关系式与 y6 x15 一样，函数的形式都是自变量 x 的 k 倍与一个常数的和2一般地，形如 y kx b(k、 b 是常数， k0)的函数，叫做一次函数当 b0 时， y kx(k 是常数， k0)，故正比例函数是一种特殊的一次函数因此正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数3一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数，在实际问题中，受实际情2况限制可能取不到全体实数环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】下列函数是一次函数的是( )A y8 x
3、 B y8xC y8 x22 D y 28x【互动探索】(引发学生思考)一次函数的定义是什么？正比例函数是不是一次函数？【分析】A它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B自变量次数不为 1，不是一次函数，错误；C自变量次数不为 1，不是一次函数，错误；D自变量次数不为1，不是一次函数，错误【答案】A【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数解析式 y kx b 的结构特征： k0；自变量的次数为 1；常数项 b 可以为任意实数【例 2】写出下列各题中 y 与 x 的函数关系式，并判断 y 是否是 x 的一次函数或正比例函数(1)某村耕地面积为 106(平方米)，该村人均占有耕地面积 y(平
4、方米)与人数 x(人)之间的函数关系；(2)地面气温为 28 ，如果高度每升高 1 km，气温下降 5 ，气温 x( )与高度y(km)之间的函数关系【互动探索】(引发学生思考)(1)根据人均占有耕地面积 y 等于总面积除以总人数得出即可；(2)根据高度每升高 1 km，气温下降 5 ，得出即可【解答】(1)根据题意，得 y ，不是一次函数106x(2)根据题意，得 285 y x，则 y x ，是一次函数15 285【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题确定一次函数关系式的关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题需要注意的是实例中的函数要考虑自变量的取值范围【例 3】已知一次
5、函数 y kx b 中，当 x3 时， y5；当 x4 时， y9.求 k和 b 的值【互动探索】(引发学生思考)把两组对应值分别代入 y kx b 得到关于 k、 b 的方程组，然后解方程组求出 k 和 b.3【解答】当 x3 时， y5，当 x4 时， y9，Error! 解得Error!【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题就是将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组解答即可活动 2 巩固练习(学生独学)1下列函数关系式： y2 x1； y x； y2 x21； y .其中一次函32x 1数有( B )A1 个 B2 个C3
6、个 D4 个2要使函数 y( m2) xn1 n 是一次函数，应满足( C )A m2， n2 B m2， n2C m2， n2 D m2， n03写出下列各题中 x 与 y 之间的解析式，并判断 y 是否是 x 的一次函数(1)在时速为 70 千米的匀速运动中，路程 y(千米)与时间 x(小时)的关系；(2)居民用电标准是每千瓦时 0.53 元，则电费 y(元)与用电量 x(千瓦时)之间的关系；(3)汽车离开 A 站 4 千米，再以 40 千米/时的平均速度行驶，那么汽车离开 A 站的距离y(千米)与时间 t(小时)之间的关系；(4)某车站规定旅客可以免费携带不超过 20 千克的行李，超过部
7、分每千克收取 1.5 元的行李费用，则旅客需交的行李费 y(元)与携带行李重量 x(千克)之间的关系解：(1) y70 x，是一次函数(2)y0.53 x，是一次函数(3)y440 x，是一次函数(4)y1.5( x20)，是一次函数4已知 y( k1) x|k| k 是一次函数(1)求 k 的值；(2)若点(2， a)在这个一次函数的图象上，求 a 的值解：(1) y 是一次函数，| k|1，解得 k1.又 k10， k1. k1.(2)由(1)知一次函数的解析式为 y2 x1.(2， a)在函数 y2 x1 的图象上，4 a413.活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 4】已知 y( m1)
8、 x2| m| n3.(1)当 m、 n 取何值时， y 是 x 的一次函数？(2)当 m、 n 取何值时， y 是 x 的正比例函数？【互动探索】一次函数与正比例函数的关系是什么？解决此题的关键是什么？【解答】(1)根据一次函数的定义，得 2| m|1，解得 m1.又 m10，即 m1，当 m1， n 为任意实数时，这个函数是一次函数(2)根据正比例函数的定义，得 2| m|1， n30，解得 m1， n3.又 m10，即 m1，当 m1， n3 时，这个函数是正比例函数【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数解析式 y kx b 的结构特征： k0，自变量的次数为 1，常数项 b 可以为
9、任意实数正比例函数解析式 y kx 的结构特征：k0，自变量的次数为 1.环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1一次函数的定义2一次函数与正比例函数的区别和联系3根据实际问题求一次函数解析式练习设计请完成本课时对应训练！第 2 课时 一次函数的图象与性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】1理解一次函数图象特征与解析式的联系2会画出一次函数的图象【过程与方法】1通过对应描点来研究一次函数的图象，经历知识的归纳、探究过程2通过一次函数的图象归纳函数的性质，体会数形结合思想【情感态度与价值观】在探究函数的图象与性质的活动中，通过一系列的探究问题，渗透与人交流合作的意识和探究精神5二、
10、重难点目标【教学重点】一次函数的图象与性质【教学难点】利用一次函数的图象与性质解决问题教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P91P93 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1教材第 91 页“思考” 比较教材上面两个函数 y6 x 与 y6 x5 的图象的相同点与不同点得出：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同函数 y6 x 的图象经过原点，函数y6 x5 的图象与 y 轴交于点(0,5)，即它可以看作由直线 y6 x 向上平移 5 个单位长度而得到2一次函数 y kx b(k、 b 为常数， k0)的图象是一条过点(0， b)且和直线 y kx重合
11、或平行的直线，我们称它是直线 y kx b(k、 b 为常数， k0)3一次函数 y kx b(k0)和正比例函数 y kx(k0)的增减性一致，一次函数图象的位置和函数值 y 的增减性完全由 b 和比例系数 k 的符号决定：当 k0 时， y 随 x 的增大而增大；当 k0 时， y 随 x 的增大而减小 b 决定直线 y kx b 与 y 轴交点的坐标(0， b)，当 b0 时，交点在原点上方；当 b0 时，交点即原点；当 b0 时，交点在原点下方4一次函数图象的画法：(1)两点法：由于一次函数 y kx b 的图象是一条直线，因此作一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以
12、了一般地，一次函数 y kx b 的图象是经过点(0， b)和 的一条直线，当 b0 时，即为正比例函数，其图象是经过原点(0,0)(bk， 0)和点(1， k)的一条直线(2)平移法：一次函数 y kx b(k、 b 是常数， k0)的图象是一条直线，直线y kx b 可以看作是由直线 y kx 平移 b个单位长度而得到(当 b0 时，向上平移；当 b0 时，向下平移)环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】已知正比例函数 y kx(k0)的函数值 y 随 x 的增大而减小，则一次函数y x k 的图象大致是( )6A B C D【互动探索】(引发学生思考)一次函
13、数图象与 k、 b 有什么样的关系？【分析】正比例函数 y kx(k0)的函数值 y 随 x 的增大而减小， k0.一次函数 y x k 的一次项系数大于 0，常数项小于 0，一次函数 y x k 的图象经过第一、三、四象限，且与 y 轴的负半轴相交故选 B【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数 y kx b(k、 b 为常数， k0)的图象是一条直线当 k0 时，图象经过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，图象经过第二、四象限， y 随 x 的增大而减小图象与 y 轴的交点坐标为(0， b)【例 2】在同一平面直角坐标中，作出下列函数的图象(1)y2 x1;
14、 (2) y x3；(3)y2 x; (4)y5 x.【互动探索】(引发学生思考)可以类比画正比例函数图象的方法画一次函数的图象，即用“两点法”画一次函数的图象【解答】用两点法画函数图象(1)一次函数 y2 x1 的图象过点(1,1)，(0，1)；(2)一次函数 y x3 的图象过点(0,3)，(3,0)；(3)正比例函数 y2 x 的图象过点(1，2)，(0,0)；(4)正比例函数 y5 x 的图象过点(0,0)，(1,5)如图所示【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了一次函数的作图，解题关键是分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可【例 3】已知函数 y(2 m2)
15、 x m1.7(1)当 m 为何值时，图象过原点？(2)已知 y 随 x 增大而增大，求 m 的取值范围；(3)函数图象与 y 轴交点在 x 轴上方，求 m 的取值范围；(4)函数图象过第一、二、四象限，求 m 的取值范围【互动探索】(引发学生思考)(1)根据函数图象过原点可知， m10，求出 m 的值即可；(2)根据 y 随 x 增大而增大，可知 2m20，求出 m 的取值范围即可；(3)由于函数图象与 y 轴交点在 x 轴上方，故 m10，进而可得出 m 的取值范围；(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于 m 的不等式组，求出 m 的取值范围【解答】(1)函数图象过原点， m10，即 m
16、1.(2) y 随 x 增大而增大，2 m20，解得 m1.(3)函数图象与 y 轴交点在 x 轴上方， m10，解得 m1.(4)函数图象过第一、二、四象限，Error! 解得1 m1.【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数 y kx b(k0)中，当 k0， b0 时，函数图象过第一、二、四象限活动 2 巩固练习(学生独学)1若实数满足 a b c0，且 a b c，则函数 y cx a 的图象可能是( C )A B C D2对于函数 y2 x2，下列结论：当 x1 时， y0；它的图象经过第一、二、三象限；它的图象必经过点(2,2)； y 的值随 x 的增大而增大其中正确结论的个数是
17、( A )A1 B2 C3 D43已知一次函数 y( k1) x b 的图象与 x 轴的负半轴相交，且函数值 y 随自变量 x的增大而增大，则 k， b 的取值情况为( A )A k1， b0 B k1， b0C k1， b0 D k1， b04已知一次函数 y2 x6.8(1)画出该函数的图象；(2)判断点(4,3)是否在此函数的图象上；(3)观察画出的图象，说一说当 x 为何值时 y0.解：(1)一次函数 y2 x6 与坐标轴的交点为(0，6)，(3,0)，函数图象如图所示：(2)当 x4 时， y8623，该点不在函数的图象上(3)由图可知，当 x3 时， y0.5在平面直角坐标系 xO
18、y 中，直线 y x 向下平移 2 个单位后和直线 y kx b(k0)重合，直线 y kx b(k0)与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B.(1)请直接写出直线 y kx b(k0)的表达式和点 B 的坐标；(2)求 AOB 的面积解：(1)直线 y x 向下平移 2 个单位后和直线 y kx b(k0)重合，直线 AB 的表达式为 y x2，点 B 的坐标是(0，2)(2)当 y0 时， x2，点 A 的坐标为(2,0)， OA2.又 OB2， S AOB OAOB2.12活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 4】一次函数 y2 x4 的图象如图，图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交
19、于点 B.(1)求 A、 B 两点坐标；(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积【互动探索】(1) x 轴上所有的点的纵坐标均为 0， y 轴上所有的点的横坐标均为 0；(2)利用(1)中所求的点 A、 B 的坐标可以求得 OA、 OB 的长度然后根据三角形的面积公式可以求得 OAB 的面积9【解答】(1)对于 y2 x4，令 y0，得2 x40， x2.一次函数 y2 x4 的图象与 x 轴交于点 A(2,0)令 x0，得 y4，一次函数 y2 x4 的图象与 y 轴交于点 B(0,4)(2)由(1)中知 OA2， OB4， S AOB OAOB 244，12 12图象与坐标轴所围成的三角形
20、的面积是 4.【互动总结】(学生总结，老师点评)求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与 x 轴、 y 轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可求面积环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)一次函数Error!练习设计请完成本课时对应训练！第 3 课时 用待定系数法求一次函数解析式教学目标一、基本目标 【知识与技能】1学会用待定系数法确定一次函数的解析式2了解两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数3掌握在不同问题情境下，函数关系式的确定【过程与方法】1经历待定系数法应用过程，提高研究数学问题的技能2能根据函数的图象确定一次函数的表达式，体会数
21、形结合思想在一次函数中的应用【情感态度与价值观】能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学的知识运用于实际，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用二、重难点目标【教学重点】用待定系数法确定一次函数解析式【教学难点】10在不同问题情境下，确定一次函数关系式教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P93P95 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法2用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：(1)设一次函数解析式为 y kx b；(2)把满足条件的两个点( x1，
22、y1)，( x2， y2)代入解析式，得到关于待定系数的方程组；(3)解方程组，求出 k、 b 的值；(4)将求出的待定系数的值代回所设的函数解析式，即可得到所求函数的解析式；3教材第 95 页“思考” 解：由上面的函数解析式能解决以下问题，由函数图象不能求出具体数值(1)当 x1.5， y51.57.5，即需付款 7.5 元(2)当 x3 时 ， y43214，即需付款 14 元环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】已知一次函数图象经过点 A(3,5)和点 B(4，9)(1)求此一次函数的解析式；(2)若点 C(m,2)是该函数图象上一点，求 C 点坐标【互动探
23、索】(引发学生思考)已知函数图象上两点如何求一次函数的解析式？点在函数图象上应满足什么条件？【解答】(1)设一次函数的解析式为 y kx b(k、 b 是常数，且 k0)，则Error! Error! 一次函数的解析式为 y2 x1.(2)点 C(m,2)在直线 y2 x1 上，22 m1， m ，32点 C 的坐标为 .(32， 2)11【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求函数解析式的一般步骤：(1)设表达式；(2)代入点的坐标求参数值；(3)写出函数表达式【例 2】如图，一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别相交于 A， B 两点，如果 A 点的坐标为(2,0)，且 OA OB
24、，试求一次函数的解析式【互动探索】(引发学生思考)已知 A(2,0)，且 OA OB点 B 的坐标运用待定系数法求解【解答】 OA OB，点 A 的坐标为(2,0)，点 B 的坐标为(0，2)设直线 AB 的解析式为 y kx b(k0)，则Error! 解得Error!一次函数的解析式为 y x2.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题先求出点 B 的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式活动 2 巩固练习(学生独学)1如图，直线 AB 对应的函数表达式是( C )A y x2 B y x332 32C y x2 D y x223
25、 232若点 A(2，3)、 B(4,3)、 C(5， a)在同一条直线上，则 a 的值是( B )A6 或6 B6C6 D6 和 33已知一次函数的图象经过 A(2，3)， B(1,3)两点(1)求这个一次函数的解析式；(2)试判断点 P(1,1)是否在这个一次函数的图象上；(3)求此函数图象与 x 轴、 y 轴围成的三角形的面积解：(1)设一次函数的表达式为 y kx b，12则 Error!解得Error!函数解析式为 y2 x1.(2)将点 P(1,1)代入函数解析式，121，点 P 不在这个一次函数的图象上(3)当 x0 时， y1，当 y0 时， x ，12此函数图象与 x 轴、
26、y 轴围成的三角形的面积为 1 .12 | 12| 14活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】如图， A、 B 是分别在 x 轴上位于原点左右两侧的点，点 P(2， m)在第一象限内，直线 PA 交 y 轴于点 C(0,2)，直线 PB 交 y 轴于点 D， S AOP12.(1)求点 A 的坐标及 m 的值；(2)求直线 AP 的解析式；(3)若 S BOP S DOP，求直线 BD 的解析式【互动探索】(1)由 S POA S AOC S COP，根据三角形面积公式得 OA10，然后再利用S AOP12 求出 m；(2)已知 A 点和 C 点坐标，可利用待定系数法确定直线 AP 的解析式
27、；(3)由S BOP S DOP得 PB PD，即点 P 为 BD 的中点，则可确定 B， D 两点坐标，然后利用待定系数法确定直线 BD 的解析式【解答】(1) S POA S AOC S COP， OA2 2212，12 12 OA10， A 点坐标为(10,0) S AOP 10m12，12 m .125(2)设直线 AP 的解析式为 y kx b.把 A(10,0)， C(0,2)代入，得Error! 解得Error!13直线 AP 的解析式为 y x2.15(3) S BOP S DOP， PB PD，即点 P 为 BD 的中点， B 点坐标为(4,0)， D 点坐标为 .(0，245)设直线 BD 的解析式为 y k x b，把 B(4,0)， D 代入，(0，245)得Error! 解得Error!直线 BD 的解析式为 y x .65 245【互动总结】(学生总结，老师点评)待定系数法求函数解析式一般步骤：(1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设 y kx b；(2)将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1待定系数法的定义2用待定系数法求一次函数解析式练习设计请完成本课时对应训练！
