1、习题答案 2p. 58 习题 3.12. 在球面 上，命 ， . 对于赤道222(,)|1Sxyzz(0,1)N(0,1)S平面上的任意一点 ，可以作为一的一条直线经过 两点，它与球面有,0puv p唯一的交点，记为 . (1) 证明：点 的坐标是， ， ，21xuv21vyu21uvz并且它给出了球面上去掉北极 的剩余部分的正则参数表示；N(2) 求球面上去掉南极 的剩余部分的类似的正则参数表示；S(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；(4) 证明球面是可定向曲面. NppOqS证明. (1) 设 . 如图， 三点共线，故有 使得(,)ruvOp,NptR. (1)(1)ttO
2、由于 ， ， ， ，取上式两边的模长平方，21OpN22v0得 . 从而2/()tv22 1(, (,)(0,)1uvxyzpu， . (2)22,v 2uvR由(1)可知，(,1)(0,)(,1)rOptNtutt又 ，所以2()dtuvd， ，2(,1),tut2,0,vrtut332(1,0)(,1)(0,)uvrtutvt. (3)22 2,1)0tuvtr因此 给出了 的正则参数表示. (,)SN(2)令 是 两点连线与赤道平面的交点 . 同理，有qv,p， ，(1)(,)Otttvt2/(1)tv， . (4)221(,) ,1uurxyz 2(,R， ，2(,)(,0)utvt
3、()0)vrtt331,0v. (5)2222, ,1ttututtr因此(4)给出了 的正则参数表示.S(3) 由(2)和 (4)式可得 ，从而上面两种正则参数表示在公共22()1v部分 上的参数变换公式为2,N， . (6)2u2v由(3)和(5)可知.2222(,)(1)0()uvtvuuv所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换. 注. 如果采用复坐标，令 ，则上面的参数变换可写成,ziwi. 这就是广义复平面上的共形变换. 1/wz(4) 在 上采用(1)式给出的正则参数表示，在 上采用正则参数表2SN2S示 2221(,) .,1uvuvrv 则在公共部分的参数变换公式为，
4、 . (4)2uv2uv由于 构成 的开覆盖，并且22,SNS2，222()()2, 10()vvuu所以 是可定向的. 2S5 写出单叶双曲面 和双曲抛物面 作为直纹面的参数方程. 221xyzabc2xyzab解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆，()os,in,0)uabu(,2)为准线. 设直母线的方向向量为 . 则直纹面的参数方程为(lXYcZu. (,)()(cos(),sin(),ruvaluavXubvYucZ由于 的分量满足单叶双曲面的方程，可得， .222cosin1XYZR由 得任意性得到v， .()s()0uu()()u因此 . 取 得():i:co1XuYZsin,c
5、o,lab， . ,n,ico,rvavbv 02v(2) 对双曲抛物面，令 ， ，则 . 曲面的参数方程()xau()yuzu为(,)(),2ruvbv， .0()(,0)(,2)auvbav2(,Rp. 94 习题 3.21. 证明：一个正则参数曲面 是球面 它的所有法线都经过一个固定点. S证明. “ ”设 是球面，参数方程为 ，球心为 ，半径为 . 则有(,)ruva， . (1)2(,)ruvaRD微分可得， . (2)0()0vr所以 ，从而 ，即有函数 使得()/uvraruvr(,)uv. (3)(,),),uar这说明球心 在它的所有法线上. “ ” 设 的所有法线都经过一个
6、固定点 . 则有函数 使得(3)式成Sa(,)立，即有 . 分别用 作内积，可得 (2). 这说明 ，从而(1)式uvrar,uvr 20dra成立，其中 (否则 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此 是以 为球心，0R S以 为半径的球面，或球面的一部分. 3. 证明：一个正则参数曲面 是旋转面 它的所有法线都与一条固定直线相交.S证明. “ ”设 是旋转面，旋转轴 为 轴. 它的参数方程为Lz， .(,)(cos,()in,()ruvfufvg ()0fv因为 ， ，()sinco0urfv s,vru，,iufgf所以 上任意一点 处的法线 的参数方程为S(,)rN.(,)(,)(,
7、)uvXtrtr由于 轴的参数方程为 ，并且z01Yssk，cosin() 0()(), 01uvfvfggfrk所以 与 共面. 如果 与 处处平行，则 ，从而 . 此时 是垂直LNLN/uvrkvS于 轴的平面 . 所以当 不是垂直于 轴的平面时，旋转面 的所有法线z()zgvcSzS都与 轴相交. “ ” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为 轴. 设 的参数方程为， . (,)(,),(,)ruxvyuv (,)uD由条件， 的所有法线都与 轴相交，所以法线不能与 轴平行，即Szz， .0(,),/()()uv uvyr,10,)v因此 ， 不能全为零. 不妨设在 点邻近 . 通过0(,)
8、uvyz0(,)uvxz 0(,)(,0)yzu参数变换，曲面的参数方程可以写成， . (1)(,)rxuv(,)uvD于是， ， .,1urx,01v 1,vuvrx因为所有法线都与 轴相交， ，即有 . 这说明 是一z,urk02xu个仅仅依赖于 的函数. 设v，22()f其中 . 作参数变换 . 由上式得 ， 的参数方()0f()cos,fvv()sinxfvS程(1)可以改写为.,in()cos,rf这是一个旋转面，由 平面上的母线 绕 轴旋转而得. yOzyz5. 设 是圆锥面 ， 是 上的一条曲线. S(cos,i,)vuv:2,tCuveS(1) 将曲线 的切向量用 的线性组合表
9、示出来；Cr(2) 证明： 的切向量平分了 和 的夹角. uv(1) 解. 的参数方程为.cos(2),in(),cos(2),in(),1ttttr eeett的切向量为C,i,1i,0()().t ttttuv ttrere (2) 证明. 因为，sin,co,0(cos,in1)u vuru在曲线 上每一点 处，Ct， .(2,)i(2),(),turett 2,(2,sin(),1tvett由上可知 . 所以t， ；21cos(,)tuure(,)4ur， . 21cos(,)tvvre(,)(,)4vurrp. 104 习题 3.32. 设球面的参数方程是.22222,auvuarv
10、 求它的第一基本形式. 解. 记 . 则22/()tu， ， ，,(0,1)ratv 2ut2vt， .ut(,)(0,1)vraa所以，2222224()()uuuErtvttuv，0vv vFaaa ，222222()()aGrttt从而.22 24I )()aEduGvduvu5. 设在曲面上一点 ，由微分 的二次方程(,)v,(1)2 2,()(,)0PQvR确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交 函数 满足 ,PQR，0ERFP其中 是曲面的第一基本形式. ,EFG证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根 和 ，因此可以分解:duv:为两个一次因子的乘积：. (
11、2)2212()()PduQvdABd其中 是关于变量 的函数. 因为上式是关于文字 的二次多项式，12,AB(,) ,比较两边的系数，得， ， . (3)12A12112R由(2)可知(1)所确定两个切方向为， . (4):duvB:uvBA这两个切方向彼此正交(课本(3.18)()0EduFG(由(4)式)121212BAA. (由(3)式) 0RQP8. 已知曲面的第一基本形式为 . 22Iduadv(1) 求曲线 与 的交角；1:0Cuv2:0uv(2) 求曲线 ， 和 所围成的曲边三角形的各个边a2a3:1Cv长和各个内角. (3) 求曲线 ， 和 所围成的曲边三角形的面积. 1:u
12、v2:uv3:解. (1) 已知 . 因为交点为 . 在交点处 . 2,0EFGa(,)0,uv2Ga对于 ， ；对于 ， . 所以它们的切方向 满足1Cd2Cdr.22221cos(,)drduvav 于是它们的交角为 ，或 . 21ars1arcos(2) 不妨设常数 . 如图，在曲纹坐标下， 与 的交点为 ， 与01C2(0,)O1C的交点为 ， 与 的交点为 . 3C(,)A2C3(,)B21:Cuav3:22:CuavOAvu因为是计算内角，在 点 . 同理， ，所以内0,dvd0,v角 . 0O在 点 ， ，所以A2duav,u.222cos 6()ruAdadv 在 点 ， ，B
13、0v,0.222s()rBuu所以 ， . 0Oacos/3A曲线 ， ， 的弧长分别为1C23，1 1222420()() ()CLdudvavdLC.3)()auu注. 在 90 版中，本题为 ， ， ，故21:av2:aCv3:1，1 1122242722600()() ()()aCLduadvvdvdaLC.3 /()CaLuu(3) 因为 ，所以曲边三角形的面积2v1 1220 0av avAOBdddv12 20ln()uuaau 1220ln1vd3/2213 3.vvvap. 110 习题 3.41. 设空间曲线 以弧长 为参数，曲率是 . 写出它的切线曲面的参数方程，()rs
14、 使得相应的参数曲线构成正交曲线网. 解. 设曲线 的 Frenet 标架是 . 则它的切线曲面参数方程可写为;,r.()()Rstts由 ， 可得它的第一基本形式sRtt. (1)222I1tdtd直母线(即 -曲线) 的正交轨线的微分方程为 ，即 . 为此，作参数0s 0s()0st变换 ， . 则逆变换为 ， ，切线曲面的参数方程为uvtsuv.(,)()Rru在新参数下， . (,)() ()uRv (,)(vRu第一基本形式化为.22I()(udv所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将 ， 直接代入(1)式得到上式：stu.22 22I1()( )()(vudvudv3. 求曲线 的参
15、数曲线的正交轨线，其中 是cosin,co,rkk 0k常数. 解. ， . (i,sin,)uvuvu(cos,in0)vru第一基本形式为.222I(kdd-曲线 的正交轨线的微分方程为 ，即 . 0EF2()0vkduv解这个微分方程：，22 11arctnvkvkdvuk得到 -曲线的过 的正交轨线为0(,).0tan()uv-曲线 的正交轨线的微分方程为 ，即 . 过v0u 0FduGvkduv的正交轨线为 . 0(,) 0()vkuvp. 110 习题 3.51. 证明：在悬链面，(cosh,csin,)rattat (,(0,2)R与正螺面，vu)uv之间存在保长对应. 证明.
16、悬链面的第一基本形式为2 2 21I(sinhcoshin)(sihncosh)atdtdtdtdt. 2)正螺面的第一基本形式为 22222I(sis(cosi)()vuvuvauvu .22)daa对正螺面作参数变换，令 . 则 ，参数变换是可,sinhuvt(,)cosh0vatt允许的. 由于，22,co1sidatdtdvt正螺面的第一基本形式化为.22 222 1I() coh()Ivvattu根据定理 5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为. ,sintp. 110 习题 3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由. (1) ；22343,vuvru(2
17、) ；cos()sin()cos,2vu(3) ； (4) .,abcos,in,2rvuv解. (1) .23426()()1,vr au所以它是可展曲面，因为它是正则曲线 ( )的切线面. 234,u0(2) ，()cos,insin,co1vuav 其中 是圆柱螺线， . 所以它是可展曲面. ()a(3) 令， .(),0aub(),2lb则 ，直接计算得 . ()rauvl2(),()abaul当 时，它是马鞍面， ，所以不是可展曲面.0b0当 或 时，它是平面，所以是可展曲面.当 且 时，它不是正则曲面.(4) 令 ， . 则 . 由于(),sin2avv()cos,inlv()ra
18、vul，20,a它不是可展曲面. 2. 考虑双参数直线族 ， ，其中 是直线族的参数. xuzv3uyz,v(1) 求参数 和 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母uv线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型. 解. (1) 对于固定的参数 ，该双参数直线族中的一条直线 可以写成点,uv (,)Luv向式：.3(/)(,):1xyuzLv设所求的函数关系为 . 则得到一个单参数直线族 ，它们构vfu(,)uf成的直纹面 的方程为S.3(,),()(,/0rttff于是是可展曲面 ，S2 220()1fu ufuffc其中 是任意常数. 即所求的函数关系为 .c vc(2)
19、此时 的参数方程为 ，其中S(,)()rutatlu， .3() ,1,/0aulff 2()/)fuc由于 ， 不是柱面. 1l fS如果 是锥面，则有函数 使得()t，()autlc其中 为常向量. 于是c，20,tlftuftt从而 ， 是常数. 由此得 ，矛盾. tt 0t因此 是切线曲面. 事实上，记 ，其中 . 则S2()/)fc1.2()1,(),aul 取新的准线. 23()(),6ubualcu则.22() (),1lc 于是 的参数方程为S，)()()(rbutlubutbutb其中 是新的参数. (,),t8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面. 证明. 设正则曲线 的弧长参数方程为 ，曲率和挠率分别为 ，Frenet 标C()as,架为 . ;,a它的主法线族生成的直纹面是 . 因为1:Srt，()0(),()()(),() sssss 所以 不是可展曲面. 1S同理，由 ()0(),()(),()sasss可知它的次法线族生成的直纹面 不是可展曲面. 2:Srat
