1、1习题答案 4p. 202 习题 5.11. 设可允许的参数变换 是保持定向的，即 ，其中12(,)uvdet0a. 用 表示曲面 在参数系 下的第一、第二类基本量，用 ，uav,gbSug表示曲面 在参数系 下的第一、第二类基本量. 证明：bS12(,)v， .gaba证明. (1) 因为 ，所以在可允许参数变换下，du.I()()gvdvgdv上式两边作为 的二次型相等，所以 . 12, ga(2) 设 的方程为 . 令S12(,)ru.1212(,)(,)vrvuv则有 . 于是ra.1211212 212()()det()rararar 因为 ，这说明在两个参数系下，有det0.121
2、212(,)(,)(,)nvuvv于是 ()()().bdrdrnbduavav 和(1)中一样，可得 . 4. 验证：曲面 的平均曲率 可以表示成 ，并且证明 在第 1 题SH12bgH的参数变换下是不变的. 证明. (1) 证法一：直接验证. 由定义， . 21121211det,gggg因此1212112121bbHgbgg.2112 221bg2证法二：运用 Weingarten 变换 . 由定义，W.()rnbr所以 是 Weingarten 变换 在切空间的基 下的矩阵. 它的两个特征值()b 12,，也就是主曲率，满足12,.1122trace()bbgb所以.12H(2) 在第
3、 1 题的参数变换下，令 为逆变换， . 则 与12(,)vu vau()a互为逆矩阵 . 故有()a， . (1)aa在第 1 题中已经证明了. (2)g所以有.ag用 乘上式两端，并对指标 求和，利用(1)式可得a.agaa再用 乘上式两端，并对指标 求和，可得g.ag最后用 乘上式两端，并对指标 求和，利用(1)式可得a，ag即有. (3)ag于是由 得到ba.()ggbbgb所以 在第 1 题的参数变换下是不变的. H注. 如果采用矩阵记号，令， ， .()gG()()aT则(2)就是 ，(3)就是 . T 11T5. 证明下列恒等式：(1) ； (2) ；gguggu3(3) ，其中
4、 . 1ln2gu2121g证明. (1) 因为 ，对 求偏导数，得u.0g因此.gg guu 用 乘上式两边，再对 求和，得g.gg这就是(1). (2) 由， ，gug可得左边 右边.(3) 左边为 1211.22ggguuggg uuu 右边为21211212212ln .ugguugu 所以(3)成立. p. 212 习题 5.34. 设 有 2 个不相等的常数主曲率. 证明： 是圆柱面的一部分. S S证明. 设 的 2 个常数主曲率为 . 因为 ，所以 上没有脐点，可以12,12S选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得4， ， . (1)0FM1LE2NG因为 是常数，由 Coda
5、zzi 方程(3.23)得12,， .12vvvELH122uuuH因此. (2)0,vuEG于是 ， .()u()Gv作参数变换 ， . 则第一、第二基本形式成为ud()d，222I()vuv.1 1()EGd即在新的参数下 ， ， . 为了方便起见，不妨设在原来的参数G1L2N下就有， . (3)2Iduv21Iuv由(3.22)得 ，从而由 Gauss 方程(3.19) 可知 . 不妨设 . 120R 10LN20则.120于是(3)成为， . (4)Iduv21Idu直接计算可得圆柱面 11cos(),in(),r的第一、第二基本形式也是(4)，见第四章第 2 节的例题. 根据曲面论唯
6、一性定理，曲面 是圆柱面的一部分. S5. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是， .22Iudv22I(,)(,)AuvdBv证明：(1) 函数 满足 ；(2) 和 只是 的函数. (,),AvB1u证明. 由已知条件可得主曲率和平均曲率分别是， ， .12u2u2H由 Codazzi 方程(3.23)得， .0vvAHEuABBGu因此， .()()u5由 Gauss 方程可得. 422411ln|ABKuuu因此 ，并且 仅依赖于 . 1()p. 217 习题 5.42. 判断下面给出的二次微分形式 能否作为空间 中某个曲面的第一、第,3E二基本形式，并说明理由. (1) ， .
7、2duv2duv(2) ， . cos2cosdv解. (1) 不能. 否则曲面有 2 个不相等的常数主曲率 ， . 由上一节121习题 4，曲面是圆柱面的一部分. 但是圆柱面是可展曲面，Gauss 曲率 ，矛盾. 0K(2) 不能. 如果这样的曲面存在，则， . 2121cos,cosuu42cosuH由 Codazzi 方程(3.23)的第 2 式得 ，矛盾. 0inNG4. 已知 ， ，其中 ， . 若2(,)(,)Evdv(,)v0EG能作为某个曲面的第一、第二基本形式，问函数 应该满足什么条件？, ,假定 . 写出满足上述条件的函数 的具体表达式. G,E解. 如果这样的曲面 存在，
8、则 上的点都是脐点. 由第四章定理 1.1 和定理S1.2， 必须是常数. 情况 1. . 则 ，Codazzi 方程(3.23)的 2 个式子自动成立. 00LMN因此只要函数 满足 Gauss 方程. 因为 Gauss 曲率 ， 应满足,E0K,EG. (1)vuEG也就是.220vuvuvu情况 2. . 则 ， . 因此 Codazzi 方程(3.23)0,0,LEMNGH的 2 个式子成立. 剩下的只要函数 满足 Gauss 方程. 因为 Gauss 曲率 ，2K应满足,EG. (2)21vuE6当 时，(1)成为 ,所以 . 令 . 根据复变函EGln0Eln0E1zuv数知识，存
9、在复解析函数 使得 . 因此()fzlf， ，2|ffeeh其中 也是一个在其定义域内恒不为零的复解析函数. ()fzhe(2)式成为， (3)2lnE其中 是常数. 它的一个解是0.224(1)uv如果令 ，则上面的函数可以写成1zuv.22(,)Ezz对任何一个在其定义域内恒不为零的复解析函数 ， ，只要()fw1uv，函数 都是(3) 的解. ()0fw2(,)|(|(),wffp. 227 习题 5.51. 已知曲面 的第一基本形式如下，求它们的高斯曲率 . S K(2) ， ， 是常数；22Iaduv0a(4) ， 是常数； (6) . 2e22I()duGv解. (2) 这是等温参
10、数网. 由公式(5.5) ，.2222| 1lnlnvavKvaa(4) 这是正交参数网 . 由公式(5.4) ，./ 21uae(6) 由公式(5.4)，. 2211142GGKG 2. 证明下列曲面之间不存在等距对应. (1) 球面；(2) 柱面；(3) 双曲抛物面 . 2zxy证明. (1) 球面是全脐点曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截线的相对曲率. 因此7，12R其中 为球面半径. 故球面的 Gauss 曲率 . R 0K(2) 柱面是可展曲面，因此 Gauss 曲率 . (3) 对于双曲抛物面 ，参数方程为2zxy.2,rxy故有， ， ，1,02xr0,1y ,21xyr， ， . ,xxyr0,于是， ， ；214EF214Gy， ， . 2Lxy0M2Nx由此得. 224(1)Kxy根据 Gauss 定理，这 3 个曲面之间不存在等距对应.
