1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 19 页扶沟县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 与向量 =（1，3，2）平行的一个向量的坐标是（ ）A（ ，1，1） B（1， 3，2） C（ ， ，1） D（ ，3，2 ）2 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递增的函数为（ ）Ay=x 1 By=lnx Cy=x 3 Dy=|x|3 已知 f（x）=x 36x2+9xabc，abc，且 f（a）=f（b）=f（c）=0现给出如下结论：f（0）f （1） 0；f（0）f （1） 0；f（0）f （3） 0；f（0）f （3） 0其中正确
2、结论的序号是（ ）A B C D4 在区域 内任意取一点 P（x，y），则 x2+y21 的概率是（ ）A0 B C D5 “方程 + =1 表示椭圆”是“3m5”的（ ）条件A必要不充分 B充要 C充分不必要 D不充分不必要6 已知 A，B 是以 O 为圆心的单位圆上的动点，且| |= ，则 =（ ）A1 B1 C D7 在ABC 中，sinB+sin（A B）=sinC 是 sinA= 的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也非必要条件8 已知 f（x），g（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f（x）g（x）=x 32x2，则 f（2）+g（2）=（
3、）A16 B16 C8 D89 已知圆 C：x 2+y22x=1，直线 l：y=k（x1）+1，则 l 与 C 的位置关系是（ ）精选高中模拟试卷第 2 页，共 19 页A一定相离 B一定相切C相交且一定不过圆心 D相交且可能过圆心10已知函数 f（x）满足：x 4，则 f（x）= ；当 x4 时 f（x）=f（x+1），则 f（2+log 23）=（ ）A B C D11设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）nanS423()a74SaA B C7 D1474145【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前 项和，意在考查运算求解能力.12算数书竹简于上世纪八十年代在湖北
4、省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖” 的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为3，那么，近似公式 V L2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ）A B C D二、填空题13已知椭圆 + =1（a b0）上一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为其左焦点，若 AFBF，设ABF=，且 ， ，则该椭圆离心率 e 的取值范围为 14直线 l： （ t 为参数）与圆 C： （ 为参数）相交所得的弦长的取值范围是 15
5、设 p：f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1 在（0，+）上单调递增，q：m 5，则 p 是 q 的 条件16（ ） 0+（ 2） 3 = 17在ABC 中，点 D 在边 AB 上，CDBC，AC=5 ，CD=5，BD=2AD，则 AD 的长为 18（本小题满分 12 分）点 M（2pt，2pt 2）（t 为常数，且 t0）是拋物线 C：x 22py（p0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线 l1与 l2与 C 的另外交点分别为 P、Q.精选高中模拟试卷第 3 页，共 19 页（1）求证：直线 PQ 的斜率为 2t；（2）记拋物线的准线与 y 轴的交点为 T，若拋物线在 M 处的切线过点
6、 T，求 t 的值三、解答题19在极坐标系下，已知圆 O：=cos +sin 和直线l： （1）求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；（2）当 （0，）时，求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标20（本小题满分 12 分）如图（1），在三角形 中， 为其中位线，且 ，若沿 将三角形 折起，使PCDAB2BDPCABP，构成四棱锥 ，且 .PAPFE（1）求证：平面 平面 ；EF（2）当 异面直线 与 所成的角为 时，求折起的角度.3精选高中模拟试卷第 4 页，共 19 页21设 ，证明：（）当 x1 时，f（x） （ x1）；（）当 1x3 时， 22已知椭圆 C： + =1（ab0）的一个长轴
7、顶点为 A（2，0），离心率为 ，直线 y=k（x 1）与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，（）求椭圆 C 的方程；（）当AMN 的面积为 时，求 k 的值23【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测（一）】已知函数有一个零点为 4，且满足 .324fxaxbxc,Ra01f（1）求实数 和 的值；bc（2）试问：是否存在这样的定值 ，使得当 变化时，曲线 在点 处的切线互相平行？0 yfx0,fx精选高中模拟试卷第 5 页，共 19 页若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；0x（3）讨论函数 在 上的零点个数.gfa0,424武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿
8、者现从符合条件的志愿者中随机抽取100 名按年龄分组：第 1 组20，25），第 2 组25 ，30），第 3 组30，35），第 4 组35，40），第 5 组40，45，得到的频率分布直方图如图所示（1）分别求第 3，4，5 组的频率；（2）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动，应从第 3，4，5 组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率精选高中模拟试卷第 6 页，共 19 页扶沟县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数
9、学（参考答案）一、选择题1 【答案】C【解析】解：对于 C 中的向量：（ ， ，1）= （1，3，2）= ，因此与向量 =（1，3，2）平行的一个向量的坐标是 故选：C【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题2 【答案】D【解析】解：选项 A：y= 在（0，+）上单调递减，不正确；选项 B：定义域为（0，+ ），不关于原点对称，故 y=lnx 为非奇非偶函数，不正确；选项 C：记 f（x）=x 3，f（ x）=（x） 3=x3，f（x）=f（x），故 f（x）是奇函数，又y=x 3区间（0，+）上单调递增，符合条件，正确；选项 D：记 f（x）=|x|，f （ x）=|x|=|x|，f
10、（x） f（x），故 y=|x|不是奇函数，不正确故选 D3 【答案】C【解析】解：求导函数可得 f（x）=3x 212x+9=3（x1）（ x3），abc，且 f（a ）=f（b）=f（c ）=0 a1b3 c，设 f（x）= （x a）（xb）（x c）=x 3（a+b+c）x 2+（ab+ac+bc）xabc ，f（ x） =x36x2+9xabc，a+b+c=6，ab+ac+bc=9，b+c=6a，bc=9a（6a） ，a24a0，0 a4，0 a1b 3c ，f（ 0） 0，f（1）0，f（3）0，精选高中模拟试卷第 7 页，共 19 页f（ 0） f（1） 0，f（0）f（3）0故
11、选：C4 【答案】C【解析】解：根据题意，如图，设 O（0，0）、A （1，0 ）、B （1，1）、C（0，1），分析可得区域 表示的区域为以正方形 OABC 的内部及边界，其面积为 1；x2+y21 表示圆心在原点，半径为 1 的圆，在正方形 OABC 的内部的面积为 = ，由几何概型的计算公式，可得点 P（x，y）满足 x2+y21 的概率是 = ；故选 C【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算5 【答案】C【解析】解：若方程 + =1 表示椭圆，则满足 ，即 ，即3 m 5 且 m1，此时3m 5 成立，即充分性成立
12、，当 m=1 时，满足 3m5，但此时方程 + =1 即为 x2+y2=4 为圆，不是椭圆，不满足条件即必要性不成立精选高中模拟试卷第 8 页，共 19 页故“方程 + =1 表示椭圆”是“3m5”的充分不必要条件故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题6 【答案】B【解析】解：由 A，B 是以 O 为圆心的单位圆上的动点，且| |= ，即有| |2+| |2=| |2，可得OAB 为等腰直角三角形，则 ， 的夹角为 45，即有 =| | |cos45=1 =1故选：B【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定
13、理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键7 【答案】A【解析】解：sinB+sin（AB）=sinC=sin（A+B），sinB+sinAcosBcosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，sinB=2cosAsinB，sinB0，cosA= ，A= ，sinA= ，当 sinA= ，A= 或 A= ，故在ABC 中，sinB+sin（A B）=sinC 是 sinA= 的充分非必要条件，故选：A8 【答案】B精选高中模拟试卷第 9 页，共 19 页【解析】解：f（x），g（ x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f（x）g（x）=x 32x2，f（ 2）g（2）=（ 2） 32
14、（ 2） 2=16即 f（2）+g （2）=f（ 2）g（2）=16故选：B【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力9 【答案】C【解析】【分析】将圆 C 方程化为标准方程，找出圆心 C 坐标与半径 r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离 d，与 r 比较大小即可得到结果【解答】解：圆 C 方程化为标准方程得：（ x1） 2+y2=2，圆心 C（1，0），半径 r= ， 1，圆心到直线 l 的距离 d= =r，且圆心（1，0）不在直线 l 上，直线 l 与圆相交且一定不过圆心故选 C10【答案】A【解析】解：32+log 234，所以 f（2+log 23）=f（
15、3+log 23）且 3+log234f（ 2+log23）=f（3+log 23）=故选 A11【答案】C.【解析】根据等差数列的性质， ，化简得 ，423111()2(2)aadad1ad，故选 C.1746273adS12【答案】B【解析】解：设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则 L=2r， = （2r） 2h，精选高中模拟试卷第 10 页，共 19 页= 故选：B二、填空题13【答案】 ， 1 【解析】解：设点 A（acos，bsin），则 B（acos，bsin ）（0 ）；F（c， 0）；AFBF， =0，即（c acos， bsin）（c+acos，bsin ）=0，故 c2a
16、2cos2b2sin2=0，cos2= =2 ，故 cos= ，而|AF|= ，|AB|= =2c，而 sin= = ， ， ，sin ， ， ， + ，精选高中模拟试卷第 11 页，共 19 页 ，即 ，解得， e 1；故答案为： ， 1【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用14【答案】 4 ，16 【解析】解：直线 l： （t 为参数），化为普通方程是 = ，即 y=tanx+1；圆 C 的参数方程 （ 为参数），化为普通方程是（x2） 2+（y1） 2=64；画出图形，如图所示 ；直线过定点（0，1），直线被圆截得的弦长的最大值是 2r
17、=16，精选高中模拟试卷第 12 页，共 19 页最小值是 2 =2 =2 =4弦长的取值范围是4 ， 16故答案为：4 ，16【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题15【答案】 必要不充分 【解析】解：由题意得 f（x）=e x+ +4x+m，f（ x） =ex+lnx+2x2+mx+1 在（0，+）内单调递增，f（x）0，即 ex+ +4x+m0 在定义域内恒成立，由于 +4x4，当且仅当 =4x，即 x= 时等号成立，故对任意的 x（0，+），必有 ex+ +4x5mex 4x 不能得出 m5但当 m5 时，必有
18、 ex+ +4x+m0 成立，即 f（x）0 在 x（0，+）上成立p 不是 q 的充分条件，p 是 q 的必要条件，即 p 是 q 的必要不充分条件故答案为：必要不充分16【答案】 【解析】解：（ ） 0+（ 2） 3=1+（2） 2=1+ = 故答案为： 17【答案】 5 【解析】解：如图所示：延长 BC，过 A 做 AEBC ，垂足为 E，精选高中模拟试卷第 13 页，共 19 页CDBC，CD AE，CD=5，BD=2AD， ，解得 AE= ，在 RTACE，CE= = = ，由 得 BC=2CE=5 ，在 RTBCD 中，BD= = =10，则 AD=5，故答案为：5【点评】本题考查
19、平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题18【答案】【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为 k，其方程为 y2pt 2k（x2pt）将与拋物线 x22py 联立得，x22pkx4p 2t（kt）0，解得 x12pt， x22p（kt），将 x22p（kt ）代入 x22py 得 y22p（kt） 2，P 点的坐标为（2p（kt）， 2p（kt） 2）由于 l1与 l2的倾斜角互补，点 Q 的坐标为（2p（kt），2p（kt） 2），kPQ 2t，2p（ k t）2 2p（k t）22p（ k t） 2p（k t）即直线 PQ 的斜率为2t.（2）由 y 得 y
20、 ，x22pxp拋物线 C 在 M（2pt，2pt 2）处的切线斜率为 k 2t.2ptp其切线方程为 y2pt 22t（x2pt ），又 C 的准线与 y 轴的交点 T 的坐标为（ 0，精选高中模拟试卷第 14 页，共 19 页 ）p2 2pt22t（2pt）p2解得 t ，即 t 的值为 .1212三、解答题19【答案】 【解析】解：（1）圆 O： =cos+sin ，即 2=cos+sin，故圆 O 的直角坐标方程为： x2+y2=x+y，即 x2+y2xy=0 直线 l： ，即 sincos=1，则直线的直角坐标方程为：yx=1，即 xy+1=0（2）由 ，可得 ，直线 l 与圆 O
21、公共点的直角坐标为（0，1），故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题20【答案】（1）证明见解析；（2） 23【解析】试题分析：（1）可先证 ， 从而得到 平面 ，再证 , 可得BAPADBPADCFEDB平面 ,由 ,可证明平面 平面 ；（2）由 ,取 的中点 ，连接CDEF/CEFG,可得 即为异面直线 与 所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1GA试题解析：精选高中模拟试卷第 15 页，共 19 页（2）因为 ，取 的中点 ，连接 ，所以 ， ，又 ，PADBG,FA/GCD
22、12F/ABCD，所以 ， ，从而四边形 为平行四边形，所以 ，得；同时，1BC/FBG因为 ， ，所以 ，故折起的角度 .PD3考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质21【答案】 【解析】证明：（）（证法一）：精选高中模拟试卷第 16 页，共 19 页记 g（x）=lnx+ 1 （x 1），则当 x1 时，g（x）= + 0，又 g（1）=0，有 g（x）0，即 f（x） （ x1）；4（证法二）由均值不等式，当 x1 时，2 x+1，故 + 令 k（x）=lnxx+1 ，则 k（1）=0，k（x）= 10，故 k（x）0，即 lnxx1由得当 x1 时，f（x） （ x1）；（）记 h
23、（x）=f（x） ，由（）得，h（x）= + = = ，令 g（x）=（x+5） 3216x，则当 1x3 时，g（x）=3（x+5） 22160，g（ x）在（1，3）内是递减函数，又由 g（1）=0，得 g（x）0，h（ x） 0，10因此，h（x）在（1，3）内是递减函数，又由 h（1）=0，得 h（x）0，于是，当 1x3 时，f（x） 1222【答案】 【解析】解：（）椭圆一个顶点为 A （2，0），离心率为 ，b=精选高中模拟试卷第 17 页，共 19 页椭圆 C 的方程为 ；（）直线 y=k（x 1）与椭圆 C 联立 ，消元可得（ 1+2k2）x 24k2x+2k24=0设 M（
24、x 1，y 1），N（x 2，y 2），则 x1+x2= ，|MN|= =A（2，0）到直线 y=k（x1）的距离为AMN 的面积 S=AMN 的面积为 ，k= 1【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|23【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）当 或 时， 在 有两个零点；1,4bc1a0gx0,4当 时， 在 有一个零点.0agx0【解析】试题分析：（1）由题意得到关于实数 b,c 的方程组，求解方程组可得 ；,14bc（3）函数的导函数 ，结合导函数的性质可得当 或 时， 在gx2134gxax 1a0gx有两个零点
25、；当 时， 在 有一个零点.0,410g0,试题解析：精选高中模拟试卷第 18 页，共 19 页（1）由题意 ，解得 ；01 4fcb1 4bc（2）由（1）可 知 ，32fxaxax ；2134fx假设存在 满足题意，则 是一个与 无关的定值，0 200134fxax a即 是一个与 无关的定值，2124384xa则 ，即 ，平行直线的斜率为 ；00x724kf（3） ，32gfax14xa ，24x其中 ，14aa22674510a设 两根为 和 ，考察 在 上的单调性，如下表0gx1x212xgxR1当 时， ， ，而 ，0a10ga40ga15230ga 在 和 上各有一个零点，即 在
26、 有两个零点；x,2,4x,42当 时， ， ，而 ， 仅在 上有一个零点，即 在 有一个零点；g0, g0,3当 时， ，且 ，a4a1324a当 时， ，则 在 和 上各有一个零点，10gx,1,42即 在 有两个零点；gx0,精选高中模拟试卷第 19 页，共 19 页当 时， ，则 仅在 上有一个零点，10a10gagx1,42即 在 有一个零点；gx,4综上：当 或 时， 在 有两个零点；x,4当 时， 在 有一个零点.10ag0,点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf（x）在a，b内所有使 f（x ）0 的点，再计算函数 yf（x
27、）在区间内所有使 f（x）0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得24【答案】 【解析】解：（1）由题意可知第 3 组的频率为 0.065=0.3，第 4 组的频率为 0.045=0.2，第 5 组的频率为 0.025=0.1；（2）第 3 组的人数为 0.3100=30，第 4 组的人数为 0.2100=20，第 5 组的人数为 0.1100=10；因为第 3，4，5 组共有 60 名志愿者，所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者，每组抽取的人数分别为：第 3 组 =3；第 4 组 =2；第 5 组 =1；应从第 3，4，5 组各抽取 3，2，1 名志愿者（3）记第 3 组 3 名志愿者为 1，2，3；第 4 组 2 名志愿者为 4，5；第 5 组 1 名志愿者为 6；在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）；共有 15 种，第 4 组 2 名志愿者为 4，5；至少有一名志愿者被抽中共有 9 种，所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力
