1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 19 页南明区高中 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 数列 1，4 ，7， 10，13， ，的通项公式 an为（ ）A2n1 B3n+2 C（ 1） n+1（3n2） D（1） n+13n22 设ABC 的三边长分别为 a、b、c ，ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 ，类比这个结论可知：四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为 r，四面体 SABC 的体积为 V，则r=（ ）A BC D3 是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z ）i=2 （i 为虚数单位
2、），则 z=（ ）A1+i B1i C 1+i D1i4 已知函数 关于直线 对称 , 且 ,则 的最小值()sin3cosfxax612()4fx12x为 A、 B、 C、 D、656235 已知全集为 ，集合 ， ，则 （ ）R|Ax或 ,04B()RABA B C D2,02,42,30,246 在等差数列 中， ，公差 ， 为 的前 项和.若向量 ， ，na1=0dnSa13(,)ma=13()na-且 ，则 的最小值为（ ）m=63S+A B C D4 23-92【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意n在考查学生的学生运算能力，
3、观察分析，解决问题的能力7 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱线长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF= ，则下列结论中错误的是（ ）精选高中模拟试卷第 2 页，共 19 页AAC BEBEF平面 ABCDC三棱锥 ABEF 的体积为定值D异面直线 AE，BF 所成的角为定值8 已知集合 P=x|1xb，bN，Q=x|x 23x0，xZ，若 PQ，则 b 的最小值等于（ ）A0 B1 C2 D39 设方程|x 2+3x3|=a 的解的个数为 m，则 m 不可能等于（ ）A1 B2 C3 D410在高校自主招生中，某学校获得 5 个推荐名额，其中清华大学 2 名，北京大学
4、 2 名，复旦大学 1 名并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）A20 种 B22 种 C24 种 D36 种11函数 y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数 y=sin2xcos2x 的图象（ ）A向左平移 个单位得到 B向右平移 个单位得到C向左平移 个单位得到 D向左右平移 个单位得到12设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数，使得 ，则的21xfeax10ft取值范围是（ ）A B C 3,123,4e3,24eD 1111,e二、填空题13设向量 =（1，3）， =（2，4）， =（ 1，2），若表示
5、向量 4 ，4 2 ，2（ ）， 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 的坐标是 精选高中模拟试卷第 3 页，共 19 页14设 为锐角， =（cos ，sin ）， =（1，1）且 = ，则 sin（+ ）= 15若函数 f（x）= m 在 x=1 处取得极值，则实数 m 的值是 16已知点 A（2，0），点 B（0，3），点 C 在圆 x2+y2=1 上，当ABC 的面积最小时，点 C 的坐标为 17等差数列 中， ，公差 ，则使前项和 取得最大值的自然数是_.na39|a0dnS18若函数 为奇函数，则 _6e()()2xxbfRab【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与
6、计算能力三、解答题19如图，已知椭圆 C ，点 B 坐标为（0，1），过点 B 的直线与椭圆 C 的另外一个交点为 A，且线段 AB 的中点 E 在直线 y=x 上（1）求直线 AB 的方程；（2）若点 P 为椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AP，BP 分别交直线 y=x 于点 M，N，直线 BM 交椭圆 C 于另外一点 Q证明：OMON 为定值；证明：A、Q、N 三点共线20根据下列条件，求圆的方程：精选高中模拟试卷第 4 页，共 19 页（1）过点 A（1，1），B（1，3）且面积最小；（2）圆心在直线 2xy7=0 上且与 y 轴交于点 A（0，4），B（0，2）21已知 a
7、0，b0，a+b=1，求证：（） + + 8；（）（1+ ）（1+ ）922如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是矩形，且 AD=2CD=2，AA 1=2，A 1AD= 若 O为 AD 的中点，且 CDA1O（）求证：A 1O平面 ABCD；（）线段 BC 上是否存在一点 P，使得二面角 DA1AP 为 ？若存在，求出 BP 的长；不存在，说明理由精选高中模拟试卷第 5 页，共 19 页23如图，椭圆 C： + =1（ab0）的离心率 e= ，且椭圆 C 的短轴长为 2（）求椭圆 C 的方程；（）设 P，M，N 椭圆 C 上的三个动点（i）若直线 MN 过点 D（0，
8、），且 P 点是椭圆 C 的上顶点，求PMN 面积的最大值；（ii）试探究：是否存在PMN 是以 O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由精选高中模拟试卷第 6 页，共 19 页24设函数 f（x）=lg（a xbx），且 f（1）=lg2，f（2）=lg12（1）求 a，b 的值（2）当 x1，2时，求 f（x ）的最大值（3）m 为何值时，函数 g（ x）=a x的图象与 h（x）=b xm 的图象恒有两个交点精选高中模拟试卷第 7 页，共 19 页南明区高中 2018-2019 学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】C【解析】解：通过观
9、察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（1） n+1，绝对值为3n2，故通项公式 an=（ 1） n+1（3n2）故选：C2 【答案】 C【解析】解：设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和则四面体的体积为 R=故选 C【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）3 【答案】D【解析】解：由于，（z ）i=2
10、，可得 z =2i 又 z+ =2 由解得 z=1i故选 D4 【答案】D 精选高中模拟试卷第 8 页，共 19 页【解析】：2 3()sin3cos3sin()ta)fxaxax12,46f kf对 称 轴 为112212min5,6 3xkxx5 【答案】A【解析】考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.6 【答案】A【解析】7 【答案】 D【解析】解：在正方体中，ACBD，AC平面 B1D1DB，BE 平面 B1D1DB，ACBE，故 A 正确；平面 ABCD平面 A1B1C1D1，EF平面 A1B1C1D1，EF平面 ABCD，故 B 正确；EF= ，BEF 的面积为定值 EF
11、1= ，又 AC平面 BDD1B1，AO 为棱锥 ABEF 的高，三棱锥 ABEF 的体积为定值，故 C 正确；利用图形设异面直线所成的角为 ，当 E 与 D1重合时 sin= ， =30；当 F 与 B1重合时 tan= ，异面直线 AE、BF 所成的角不是定值，故 D 错误；x2y3=0x+y3=0y=2xx=mP xyO1234512345精选高中模拟试卷第 9 页，共 19 页故选 D8 【答案】C【解析】解：集合 P=x|1xb，bN，Q=x|x 23x0，xZ=1，2，PQ ，可得 b 的最小值为：2故选：C【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题9 【答案】A【解析】
12、解：方程|x 2+3x3|=a 的解的个数可化为函数 y=|x2+3x3|与 y=a 的图象的交点的个数，作函数 y=|x2+3x3|与 y=a 的图象如下，精选高中模拟试卷第 10 页，共 19 页结合图象可知，m 的可能值有 2，3，4；故选 A10【答案】C【解析】解：根据题意，分 2 种情况讨论：、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有 =12 种推荐方法；、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余 2 个女生从剩下的 2 个大学中选，共有 =12 种推荐方法；故共有 12+12=24 种推荐方法；故选：C11【答案】C【解析】解：y=si
13、n2x+cos2x= sin（2x+ ），y=sin2xcos2x= sin（2x ）= sin2（x ）+ ），由函数 y=sin2xcos2x 的图象向左平移 个单位得到 y= sin（2x+ ），故选：C【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键12【答案】D【解析】考点：函数导数与不等式1【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令 将函数变为两个0fx精选高中模拟试卷第 11 页，共 19 页函数 ，将题意中的“存在唯一整数，使得 在直线 的下方”，转21,xgehxagthx化为存在唯一的整数，使得 在直线
14、的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得 的gthxa m取值范围.二、填空题13【答案】 （2， 6） 【解析】解：向量 4 ，4 2 ，2（ ）， 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 =4 +4 2 +2（ ）=（6 +4 4 ）= 6（1 ， 3）+4（2，4）4（ 1，2）=（2，6）=（2， 6），故答案为：（2， 6）【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题14【答案】： 【解析】解： =cossin= ，1sin2= ，得 sin2= ，为锐角，cossin = （0， ），从而 cos2取正值，cos2= = ，为锐角，si
15、n（+ ）0，sin（+ ）= = = 故答案为： 15【答案】2精选高中模拟试卷第 12 页，共 19 页【解析】解：函数 f（x）= m 的导数为 f（x）=mx 2+2x，由函数 f（x）= m 在 x=1 处取得极值，即有 f（1）=0，即 m+2=0，解得 m=2，即有 f（x）=2x 2+2x=2（x 1）x，可得 x=1 处附近导数左正右负，为极大值点故答案为：2【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题16【答案】 （ ， ） 【解析】解：设 C（a ，b）则 a2+b2=1，点 A（2，0），点 B（0，3），直线 AB 的解析式为：3x+2
16、y6=0如图，过点 C 作 CFAB 于点 F，欲使ABC 的面积最小，只需线段 CF 最短则 CF= ，当且仅当 2a=3b 时，取“ =”，a= ，联立求得：a= ，b= ，故点 C 的坐标为（ ， ）故答案是：（ ， ）精选高中模拟试卷第 13 页，共 19 页【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17【答案】或【解析】试题分析：因为 ，且 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以0d39|a39a1128ad150ad，所以 ，所以 取得最大值时的自然数是或60an15nS考点：等差数列的性质【方法点晴】本题主要考查了等差数
17、列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出 ，所以 是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的150ad60a一个易错点18【答案】2016【解析】因为函数 为奇函数且 ，则由 ，得 ，整理，得 ()fxxR()f03e2ba2016ab三、解答题19【答案】 【解析】（1）解：设点 E（t ，t），B（0，1），A（2t，2t+1），点 A 在椭圆 C 上， ，整理得：6t 2+4t=0，解得 t= 或 t=0（舍去），E（ ， ），A（ ， ），直
18、线 AB 的方程为：x+2y+2=0；精选高中模拟试卷第 14 页，共 19 页（2）证明：设 P（x 0，y 0），则 ，直线 AP 方程为：y+ = （x+ ），联立直线 AP 与直线 y=x 的方程，解得：x M= ，直线 BP 的方程为：y+1= ，联立直线 BP 与直线 y=x 的方程，解得：x N= ，OMON= |xM| |xN|=2| | |= | |= | |= | |= 设直线 MB 的方程为：y=kx1（其中 k= = ），联立 ，整理得：（1+2k 2）x 24kx=0 ，x Q= ，y Q= ，精选高中模拟试卷第 15 页，共 19 页k AN= = =1 ，k AQ
19、= =1 ，要证 A、Q、N 三点共线，只需证 kAN=kAQ，即 3xN+4=2k+2，将 k= 代入，即证：x MxN= ，由的证明过程可知：|x M|xN|= ，而 xM与 xN同号，x MxN= ，即 A、Q、N 三点共线【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题20【答案】 【解析】解：（1）过 A、B 两点且面积最小的圆就是以线段 AB 为直径的圆，圆心坐标为（0，2），半径 r= |AB|= = = ，所求圆的方程为 x2+（y 2） 2=2；（2）由圆与 y 轴交于点 A（ 0，4
20、），B（0， 2）可知，圆心在直线 y=3 上，由 ，解得 ，圆心坐标为（2，3），半径 r= ，所求圆的方程为（x2） 2+（y+3） 2=521【答案】 【解析】证明：（）a+b=1，a0，b0， + + = =2（ ）=2（ ）=2（ ）+44+4=8 ，（当且仅当 a=b 时，取等号）， + + 8；（）（1+ ）（1+ ）=1+ + + ，精选高中模拟试卷第 16 页，共 19 页由（）知， + + 8，1+ + + 9，（ 1+ ）（1+ ） 922【答案】 【解析】满分（13 分）（）证明：A 1AD= ，且 AA1=2，AO=1，A 1O= = ，（2 分） +AD2=AA12
21、，A 1OAD（3 分）又 A1OCD，且 CDAD=D，A 1O平面 ABCD（5 分）（）解：过 O 作 OxAB，以 O 为原点，建立空间直角坐标系 Oxyz（如图），则 A（0，1，0），A 1（0，0， ），（6 分）设 P（1，m，0）m 1，1 ，平面 A1AP 的法向量为 =（x，y，z ）， = ， =（1，m+1，0），且取 z=1，得 = （8 分）又 A1O平面 ABCD，A 1O平面 A1ADD1平面 A1ADD1平面 ABCD又 CDAD，且平面 A1ADD1平面 ABCD=AD，CD平面 A1ADD1不妨设平面 A1ADD1的法向量为 =（1，0，0）（10 分）
22、由题意得 = = ，（12 分）解得 m=1 或 m=3（舍去）当 BP 的长为 2 时，二面角 DA1AP 的值为 （13 分）精选高中模拟试卷第 17 页，共 19 页【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想23【答案】 【解析】解：（）由题意得 解得 a=2，b=1，所以椭圆方程为 （）（i）由已知，直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 方程为 y=kx ，M （x 1，y 1），N（x 2，y 2）由 得（1+4k 2）x 24kx3=0，x 1+x2= ，x 1x
23、2= ，又 所以 SPMN = |PD|x1x2|= 令 t= ，则 t ，k 2=精选高中模拟试卷第 18 页，共 19 页所以 SPMN = ，令 h（t）= ，t ，+ ），则 h（t）=1 = 0，所以 h（t）在 ，+），单调递增，则 t= ，即 k=0 时，h（t）的最小值，为 h（ ）= ，所以PMN 面积的最大值为 （ii）假设存在PMN 是以 O 为中心的等边三角形（1）当 P 在 y 轴上时，P 的坐标为（0，1），则 M，N 关于 y 轴对称，MN 的中点 Q 在 y 轴上又 O 为PMN 的中心，所以 ，可知 Q（0， ）， M（ ， ），N（ ， ）从而|MN|= ，
24、|PM|= ，|MN|PM| ，与PMN 为等边三角形矛盾（2）当 P 在 x 轴上时，同理可知，|MN|PM|，与PMN 为等边三角形矛盾 （3）当 P 不在坐标轴时，设 P（x 0，y 0），MN 的中点为 Q，则 kOP= ，又 O 为PMN 的中心，则 ，可知 设 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），则 x1+x2=2xQ=x0，y 1+y2=2yQ=y0，又 x12+4y12=4，x 22+4y22=4，两式相减得 kMN= ，从而 kMN= 所以 kOPkMN= （ ）= 1，所以 OP 与 MN 不垂直，与等边PMN 矛盾 综上所述，不存在PMN 是以 O 为中心的等边三
25、角形【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想24【答案】 精选高中模拟试卷第 19 页，共 19 页【解析】解：（1）f（x）=lg（a xbx），且 f（1）=lg2，f （2）=lg12 ，ab=2，a 2b2=12，解得：a=4，b=2；（2）由（1）得：函数 f（x） =lg（4 x2x），当 x1，2 时， 4x2x2，12，故当 x=2 时，函数 f（x）取最大值 lg12，（3）若函数 g（x）=a x的图象与 h（x）=b xm 的图象恒有两个交点则 4x2x=m 有两个解，令 t=2x，则 t0，则 t2t=m 有两个正解；则 ，解得：m（ ，0）【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键
