1、 1 课时跟 踪检测（十六） 导数与函数的综合 问题 一保 高考 ，全 练题 型做 到高考 达标 1 定 义在 实数 集上 的函 数 f(x)x 2 x ，g(x) 1 3 x 3 2xm. (1)求 函数f(x) 的图 象在x 1 处 的切 线方 程； (2)若f(x)g(x) 对 任意 的x4,4 恒成 立， 求 实数 m 的取 值范 围 解：(1) f(x) x 2 x， 当 x 1 时，f(1) 2， f(x)2x1 ， f ( 1) 3 ， 所求 切线 方程 为 y 2 3(x1) ，即 3x y 10. (2)令h(x) g(x) f(x) 1 3 x 3 x 2 3xm ， 则
2、h(x) (x 3)(x1) 当4x 1 时，h (x)0 ； 当1 x3 时，h (x) 0； 当 3x4 时，h (x)0. 要使f(x)g(x)恒 成立 ， 即 h(x)max 0 ， 由上 知h(x)的 最大 值在 x 1 或 x 4 处取 得， 而 h( 1) m 5 3 ，h(4) m 20 3 ， 所以m 5 3 0，即 m 5 3 ， 实数 m 的 取值 范围 为 ， 5 3 . 2 已 知函 数f(x) axa e x (a0) (1)当a1 时 ，求 函 数f(x)的 极值 ； (2)若 函数F(x) f(x)1 没有零 点， 求实 数 a 的取 值范围 解：(1) 当a1
3、 时，f(x) x1 e x ，f (x) x2 e x .由f (x) 0，得 x 2. 当 x 变 化时 ，f (x) ，f(x)的变 化情 况如 下表 ： x ( ，2) 2 (2， ) f(x) 0 f(x) 极小值 所以， 函 数f(x)的 极小 值 为 f(2) 1 e 2 ，函数 f(x) 无 极大值 2 (2)F(x) f(x) ae x ax a x e 2x a x e x . 当 a0 时，F(x) ，F(x) 的变化 情况 如下 表： x ( ，2) 2 (2， ) F(x) 0 F(x) 极小值 若使函 数 F(x) 没有零 点， 当且仅 当 F(2) a e 2 1
4、0， 解得 a e 2 ， 所以 此时 e 2 a 0. 故实 数a 的 取值 范围为( e 2, 0) 3 某商 场的 销售 部经 过市 场调查 发现 ， 该商 场的 某 种商品 每日 的销 售 量 y( 单 位： 千克) 与销售 价 格x( 单位： 元/ 千克) 满足 关系 式y a x3 10(x6) 2 ， 其 中3a1 时，f (x)0 ， 当 a1xa1 时，f(x)0， 所以x a 1 为f(x)的 极 大值点 ， x a1 为f(x) 的极 小值 点 所以不 论实 数a 取何 值，f(x)总 有两 个极 值点 (2)由 题意 ，知g(x)1 a 2 x 2 xa x a x 2
5、 . 令 g(x) 0，得 x a 或xa. 因为f(x) 和g(x) 有 相同 的 极值点 ， 且a 和 a1，a 1 不 可能 相等 ， 所以当 a a1 时，a 1 2 ；当 a a1 时，a 1 2 . 经检验 ， 当a 1 2 或 1 2 时，f(x)和g(x) 有相 同的 极值 点 所以a 1 2 或a 1 2 . 二上 台阶 ，自 主选 做志 在冲刺 名校 设函 数f(x) e x ax1. (1)若 函数f(x) 在 R 上单 调递增 ， 求a 的 取值 范围 ； (2)当a0 时， 设函 数 f(x)的最 小值 为g(a) ，求 证 ：g(a) 0 ； (3)求 证： 对任
6、意的 正整 数 n， 都有1 n 1 2 n1 3 n1 n n1 (n 1) n 1 . 解：(1) 由 题意知 f(x) e x a0 对 x R 恒 成立 ，且 e x 0 ，故 a 的取 值范 围为( ，0 (2)证 明： 由a 0，及 f (x)e x a 可得 ， 函数f(x) 在( ，ln a) 上单调 递减 ，在(ln a，)上 单调 递增 ， 故函 数f(x)的 最小 值为 g(a)f(ln a)e ln a aln a 1a aln a 1， 则 g(a) ln a ， 故当a (0,1) 时，g (a) 0，当 a (1 ， )时，g(a)0， 从而可 知g(a) 在(0
7、,1) 上 单调递 增， 在(1 ， ) 上 单调递 减， 且 g(1) 0 ，故g(a) 0. (3)证 明： 由(2) 可知 ， 当 a1 时， 总 有 f(x) e x x1 0 ， 当且 仅 当 x 0 时等号 成 立即 当x 0 时， 总有e x x1. 于 是， 可得(x1) n1 (e x ) n1 e (n 1)x . 4 令 x1 1 n1 ，即 x n n1 可得 1 n1 n 1 e n ； 令 x1 2 n1 ，即 x n1 n1 可得 2 n1 n 1 e (n1) ； 令 x1 3 n1 ，即 x n2 n1 可得 3 n1 n 1 e (n2) ； 令 x1 n n1 ，即 x 1 n1 可得 n n1 n 1 e 1 . 对以上 各式 求和 可得 ： 1 n1 n1 2 n1 n1 3 n1 n 1 n n1 n 1 e n e (n1) e (n 2) e 1 e n e n 1e e n 1 1e 1e n e1 1 e1 1. 故对任 意的 正整 数 n ， 都有1 n 1 2 n 1 3 n1 n n1 (n 1) n
