1、1第 28 章 锐角三角函数单元测试卷一选择题（共 10 小题）1如图， ABC 内接于 O， AD 为 O 的直径，交 BC 于点 E，若 DE2， OE3，则 tanCtanB（ ）A2 B3 C4 D52三角函数 sin30、cos16、cos43之间的大小关系是（ ）Acos43cos16sin30 Bcos16sin30cos43Ccos16cos43sin30 Dcos43sin30cos163在 Rt ABC 中， C90，若 sinA ，则 cosB 的值是（ ）A B C D4已知 A+ B90，且 cosA ，则 cosB 的值为（ ）A B C D5sin30的值等于（
2、）A B C D6利用计算器求 sin30时，依次按键 ，则计算器上显示的结果是（ ）A0.5 B0.707 C0.866 D17在 44 的正方形网格中， ABC 和 DEF 的顶点都在边长为 1 的正方形的顶点上，则图中 ACB的正切值为（ ）2A B C D38如图，钓鱼竿 AC 长 6m，露在水面上的鱼线 BC 长 m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到 AC的位置，此时露在水面上的鱼线 B C为 m，则鱼竿转过的角度是（ ）A60 B45 C15 D909一人乘雪橇沿坡比 1： 的斜坡笔直滑下，滑下的距离 s（ m）与时间 t（ s）间的关系为s10 t+2t2，若滑到坡底
3、的时间为 4s，则此人下降的高度为（ ）A72 m B m C36 m D m10数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 AB 的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE 的坡度 i1：4，一学生站在离斜坡顶端 E 的水平距离 DF 为 8m 处的 D 点，测得大树顶端 A的仰角为 ，已知 sin ， BE1.6 m，此学生身高 CD1.6 m，则大树高度 AB 为（ ）mA7.4 B7.2 C7 D6.8二填空题（共 5 小题）11如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点（2，1），则 tan 的值是 312已知 A 为锐角，且 ，那么 A 的范围是 13已知在 Rt ABC 中， C9
4、0，tan A ，则 sinA 14在 Rt ABC 中， ，则 cosB 的值等于 15已知 sinA ，则锐角 A 三解答题（共 5 小题）16如图，将含 30角的直角三角板 ABC（ A30）绕其直角顶点 C 顺时针旋转 角（090），得到 Rt A B C， A C 与 AB 交于点 D，过点 D 作 DE A B交 CB于点 E，连接 BE易知，在旋转过程中， BDE 为直角三角形设 BC1， AD x， BDE 的面积为 S（1）当 30时，求 x 的值（2）求 S 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）以点 E 为圆心， BE 为半径作 E，当 S 时，判断 E 与
5、 A C 的位置关系，并求相应的 tan 值17下列关系式是否成立（090），请说明理由（1）sin+cos1；（2）sin22sin18计算：（ 1） 1 + 6sin45+（1） 200919如图，在 ABC 中， A30，cos B ， AC6 求 AB 的长420如图，某中心广场灯柱 AB 被钢缆 CD 固定，已知 CB5 米，且 （1）求钢缆 CD 的长度；（2）若 AD2 米，灯的顶端 E 距离 A 处 1.6 米，且 EAB120，则灯的顶端 E 距离地面多少米？52019 年人教版九下数学第 28 章 锐角三角函数单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1【分析】
6、由 DE2， OE3 可知 AO OD OE+ED5，可得 AE8，连接 BD、 CD，可证 B ADC， C ADB， DBA DCA90，将 tanC，tan B 在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段 的比【解答】解：连接 BD、 CD，由圆周角定理可知 B ADC， C ADB， ABE CDE， ACE BDE， ， ，由 AD 为直径可知 DBA DCA90， DE2， OE3， AO OD OE+ED5， AE8，tanCtanBtan ADBtan ADC 4故选： C【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，或者利用同角（或余角）的三角函数关系
7、式求三角函数值2【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数；再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析【解答】解：sin30cos60，又 164360，余弦值随着角的增大而减小，cos16cos43sin30故选： C【点评】掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的变化规律63【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答【解答】解：在 Rt ABC 中， C90， A+ B90，cos Bsin A，sin A ，cos B 故选： B【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键在直角三角形中， A+ B90时，正余弦之间的关系为：一个角的正
8、弦值等于这个角的余角的余弦值，即 sinAcos（90 A）；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即 cosAsin（90 A）；也可以理解成若 A+ B90，那么 sinAcos B 或 sinBcos A4【分析】利用同角、互为余角的三角函数关系式求解【解答】解： A+ B90，cos Bcos（90 A）sin A，又sin 2A+cos2A1，cos B 故选： D【点评】本题考查了利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值若 A+ B90，那么 sinAcos B 或 sinBcos A；同角的三角函数关系式：sin 2A+cos2A15【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案
9、【解答】解：sin30 ，故选： A【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值6【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器【解答】解：依次按键 ，显示的是 sin30的值，即 0.5故选： A【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查特殊角三角函数值，需要同学们熟记有关特殊角的7三角函数值7【分析】根据勾股定理即可求出 AC、 BC、 DE、 DF 的长度，然后证明 FDE ABC，推出 ACB DFE，由此即可解决问题【解答】解：由勾股定理 可求出： BC2 ， AC2 ， DF ， DE ， ， ， ， FDE CAB， DFE ACB，tan DFEtan A
10、CB ，故选： B【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题8【分析】因为三角形 ABC 和三角形 AB C均为直角三角形，且 BC、 B C都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出 CAB， C AB，然后可以求出 C AC，即求出了鱼竿转过的角度【解答】解：sin CAB ， CAB45 ， C AB60 CAC604515，鱼竿转过的角度是 15故选： C【点评】此题中 BC、 B C都是我们所要求角的对边，而 AC 是斜边，所以本题利用了正弦的定义解本题的关键是把实际问题转化为数学问题9【分析】首先设出下
11、降的高度，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解【解答】解：当 t4 时， s10 t+2t272设此人下降的高度为 x 米，过斜坡顶点向地面作垂线，一人乘雪橇沿坡度为 1： 的斜坡笔直滑下，8 CA x， BC x，在直角 ABC 中，由勾股定理得：AB2 BC2+AC2，x2+（ x） 272 2解得： x36故选： C【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及坡角问题，理解坡比的意义，应用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键10【分析】根据题意结合坡度的定义得出 C 到 AB 的距离，进而利用锐角三角函数关系得出 AB 的长【解答】解：如图所示：过点 C 作 CG AB 延长线于点 G，
12、交 EF 于点 N，由题意可得： ，解得： EF2， DC1.6 m， FN1.6 m， BG EN0.4 m，sin ，设 AG3 x，则 AC5 x，故 BC4 x，即 8+1.64 x，解得： x2.4，故 AG2.437.2 m，则 AB AG BG7.20.46.8（ m），答：大树高度 AB 为 6.8m故选： D9【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡度的定义，正确得出 C 到 AB 的距离是解题关键二填空题（共 5 小题）11【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案【解答】解：如图 ，tan 故答案为： 【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边
13、比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边12【分析】首先明确 cos60 ，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析【解答】解：cos60 ，余弦函数值随角增大而减小，当 cosA 时， A60又 A 是锐角，60 A90故答案为：60 A90【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键13【分析】根据 tanA ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出 sinA 的值【解答】解：在 Rt ABC 中， C90，10tan A ，设 a3 x，则 b4 x，则 c 5 xsinA 故答案是： 【点评】本题考查了
14、同角三角函数的关系求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值14【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答【解答】解： C90， A+ B90，cos Bsin A，sin A ，cos B 故答案为： 【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键15【分析】根据 sin30 进行解答即可【解答】解：sin A ， A 为锐角， A30故答案为：30【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键三解答题（共 5 小题）16【分析】（1）根据等腰三角形的判
15、定， A30，得出 x1；（2）由直角三角形的性质， AB2， AC ，由旋转性质求得 ADC BCE，根据比例关系式，求出 S 与 x 的函数关系式；（3）当 S 时，求得 x 的值，判断 E 和 DE 的长度大小，确定 E 与 A C 的位置关系，11再求 tan 值【解答】解：（1） A a30，又 ACB90， ABC BCD60 AD BD BC1 x1；（2） DBE90， ABC60， A CBE30 AC BC ， AB2 BC2由旋转性质可知： AC A C， BC B C， ACD BCE， ADC BEC， ， BE x BD2 x， s x（2 x） x2+ x（0 x
16、2）（3） s s ABC + ，4 x28 x+30， ， 当 x 时， BD2 ， BE DE DE A B， EDC A A3012 EC DE BE，此时 E 与 A C 相离过 D 作 DF AC 于 F，则 ， （12 分）当 时， ， ， ，此时 E 与 AC 相交 同理可求出 【点评】本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大17【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在 ABC 中， B90
17、， C则 sin+cos + 1，故 sin+cos1 不成立；13（2）该等式不成立，理由如下：假设 30，则 sin2sin60 ，2sin2sin302 1， 1，sin22sin，即 sin22sin 不成立【点评】本题考查了同角三角函数的关系解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值18【分析】本题涉及乘方、负整数指数幂、特殊三角函数值、二次根式化简 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式 +1+2 6 10【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂
18、、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算19【分析】过点 C 作 CD AB 于点 D，根据直角三角形的性质求出 CD，根据余弦的定义求出 AD，根据余弦的定义求出 BD，计算即可【解答】解：过点 C 作 CD AB 于点 D A30， CD AC3 ， AD ACcosA9，cos B ，设 BD4 x，则 BC5 x，由勾股定理得， CD3 x，由题意的，3 x3 ，解得， x ， BD4 ，14 AB AD+BD9+4 【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键20【分析】（1）根据三角函数可求得 CD；（2）过点 E 作 EF AB 于点 F由 EAB120，得 EAF60，再根据三角函数求得 AF，从而得出答案【解答】解：（1）在 Rt DCB 中，sin DCB ，设 DB4 x， DC5 x，（4 x） 2+25（5 x） 2，解得 ， CD 米， DB 米（2）如图，过点 E 作 EF AB 于点 F EAB120， EAF60， AF AEcos EAF1.6 0.8（米）， FB AF+AD+DB0.8+2+ （米）灯的顶端 E 距离地面 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，运用三角函数可得出答案15
