1、 1 板块命题点专练(十一) 直线与圆的方程 1(2015山东高考改编)一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3) 2 (y2) 2 1相切，则反射光线所在直线的斜率为_ 解析：由已知，得点(2，3)关于y 轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线 的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所 在直线的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有 d |3k22k3| k 2 1 1，解得k 4 3 或k 3 4 . 答案： 4 3 或 3 42(2014福建高考改编)已知直线l 过圆 x 2 (y3) 24的圆心，
2、 且与直线xy1 0 垂直，则l 的方程是 _. 解析：依题意，得直线 l过点(0,3)，斜率为 1，所以直线 l 的方程为 y3x0，即 xy30. 答案：xy30 3(2013天津高考改编)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x1) 2 y 2 5相切， 且与直线 axy10垂直，则 a_. 解析：由切线与直线 axy10 垂直，得过点 P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线 ax y10平行，所以 20 21 a，解得a2. 答案：2 命题点二 圆的方程、直线与圆的位置关系 难度： 中命题指数： 1(2015北京高考改编)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是_ 解析：圆的半径r 2 2
3、2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方 程为(x1) 2 (y1) 2 2. 答案：(x1) 2 (y1) 2 2 2(2015全国卷改编)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N 两点， 则|MN|_. 解析：设圆的方程为 x 2 y 2 DxEyF0， 则 D3EF100， 4D2EF200， D7EF500. 解得 D2， E4， F20.2 圆的方程为x 2 y 2 2x4y200. 令 x0，得 y22 6或y22 6， M(0，22 6)，N(0，22 6)或 M(0，22 6)，N(0，22 6)，|MN| 4 6. 答案：4 6 3(2015江苏高考)
4、在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m 10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_ 解析：直线mxy2m10经过定点(2，1) 当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径 r 满足 r 2 (12) 2 (0 1) 2 2. 答案：(x1) 2 y 2 2 4(2015山东高考)过点P(1， 3)作圆x 2 y 2 1的两条切线，切点分别为A，B，则 PAPB_. 解析：如图所示，可知 OAAP，OBBP，OP 132， 又 OAOB1， 可以求得 APBP 3， APB60， 故PAPB 3 3cos 60 3 2 . 答案： 3 25(2
5、015重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P处的切线 方程为_ 解析：以原点 O 为圆心的圆过点P(1,2)， 圆的方程为x 2 y 2 5. kOP2， 切线的斜率k 1 2 . 由点斜式可得切线方程为y2 1 2 (x1)， 即 x2y50. 答案：x2y50 6(2014山东高考)圆心在直线 x2y0 上的圆 C与 y轴的正半轴相切，圆 C截 x 轴所得弦的长为2 3 ，则圆C 的标准方程为_ 3 解析：依题意，设圆心的坐标为(2b，b)(其中 b0)，则圆 C 的半径为 2b，圆心到 x 轴的距离为b，所以2 4b 2 b 2 2 3，b0，解得 b1，故所
6、求圆C的标准方程为(x2) 2 (y1) 2 4. 答案：(x2) 2 (y1) 2 4 7(2015湖北高考)如图，圆C 与x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A， B(B在A的上方)，且|AB|2. (1)圆C的标准 方程为_； (2)过点 A任作一条直线与圆 O：x 2 y 2 1相交于 M，N两点，下列三个结论： |NA| |NB| |MA| |MB| ； |NB| |NA| |MA| |MB| 2； |NB| |NA| |MA| |MB| 2 2. 其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号) 解析：(1)由题意，设圆心 C(1，r)(r 为圆 C的半径)，
7、则 r 2 |AB| 2 2 1 2 2，解得r 2. 所以圆C的方程为(x1) 2 (y 2) 2 2. (2)由(1)知，A(0， 21)，B(0， 21) 设 M(a，b)，则 |MA| |MB| a 2 b 2 2 a 2 b 2 2 1b 2 b 2 2 1b 2 b 2 2 2 b 2 2 b 2 2 b 2 2 b 2 2 2 2 24 21. 同理 |NA| |NB| 21. 所以 |NA| |NB| |MA| |MB| ，正确； |NB| |NA| |MA| |MB| 1 21 ( 21)2，正确； |NB| |NA| |MA| |MB| 1 21 212 2，正确 综上，正
8、确结论的序号是. 答案：(1)(x1) 2 (y 2) 2 2 (2) 8(2014北京高考)已知椭圆C：x 2 2y 2 4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点 A 在椭圆C上，点B在直线 y2 上，且OAOB，试判断直线 AB 与圆x 2 y 2 2的位置关系，并证明你的结论 解：(1)由题意，椭圆 C的标准方程为 x 2 4 y 2 2 1. 所以a 2 4，b 2 2，从而c 2 a 2 b 2 2. 因此a2，c 2. 故椭圆C的离心率 e c a 2 2 . (2)直线 AB与圆 x 2 y 2 2相切证明如下： 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其
9、中x00. 因为 OAOB， 所以OAOB0，即tx02y00，解得t 2y0 x0 . 当 x0t 时，y0 t 2 2 ，代入椭圆C的方程，得 t 2， 故直线AB的方程为x 2. 圆心O到直线 AB 的距离d 2. 此时直线 AB 与圆 x 2 y 2 2相切 当 x0t时，直线 AB 的方程为y2 y02 x0t (xt) 即(y02)x(x0t)y2x0ty00. d |2x0ty0| y0 2 x0t 2. 5 又 x 2 02y 2 04，t 2y0 x0 ，故 d 2x0 2y 2 0 x0 x 2 0y 2 0 4y 2 0 x 2 0 4 4x 2 0 x0 x 4 08x
10、 2 016 2x 2 0 2. 此时直线 AB 与圆 x 2 y 2 2相切 9(2015全国卷)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2) 2 (y3) 2 1 交于 M，N两点 (1)求k的取值范围； (2)若OM ON 12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)由题设可知直线l的方程为ykx1. 因为直线l与圆 C 交于两点， 所以 |2k31| 1k 2 1， 解得 4 7 3 k 4 7 3 . 所以k的取值范围为 4 7 3 ， 4 7 3 . (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 ykx1代入方程(x2) 2 (y3) 2 1， 整理得(1k 2 )x 2 4(1k)x70. 所以x1x2 k 1k 2 ，x1x2 7 1k 2. OM ON x1x2y1y2 (1k 2 )x1x2k(x1x2)1 4k k 1k 2 8. 由题设可得 4k k 1k 2 812，解得k1， 所以直线l的方程为 yx1. 故圆心C(2,3)在直线 l上， 所以|MN|2.
