1、1,21.5 波函数 薛定谔方程,一 、波函数,1、经典的波与波函数,机械波,经典波为实函数,2,自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。,结论：自由粒子的物质波是单色平面波。,对应的德布罗意波的频率和波长：,2、量子力学波函数（复函数）,对三维空间，沿矢径 方向传播的自由粒子的波函数为：,注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来表达。不能用实数形式来表达。,3,与光波类比，物质波的强度：,由玻恩的统计解释，在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处出现的概率成正比的。,正实数,某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子的概率为：,由此可见，
2、为粒子在某点附近单位体积内粒子出现的几率，称为几率密度。即：,、波函数的统计解释,4,波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。,根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。,5,粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变，所以波函数还必须是连续的。,由于粒子必定要在
3、空间中的某一点出现，所以任意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以应有：,、波函数应满足的条件,1）标准条件,2）归一化条件,波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，称为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连续可微，且一阶导数也连续可微。,6,以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件,7,德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）,因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，则该处的能流密度增大 C2 倍，变为另一种能流密度分布状态。,8,解：(1)由归一化条件,解得,(2)粒子的概率密度为,粒子在0到a/2区域内出现的概率,(3)概率最大的位置应该
4、满足,即当,时，粒子出现的概率最大。因为0xa，故得x=a/2，此处粒子出现的概率最大。,9,二、薛定谔方程,10,经典力学中，已知力 F 及 x0、 0，可由牛顿方程求质点任意时刻状态。,当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。,所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。,在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。,一、薛定谔方程,11,动量为P 、质量为m、能量为E的自由粒子， 沿 x 轴运动的波函数为：,1.自由粒子的薛定谔方程,对时间求微商，得到：,12,对 x
5、 求二阶偏导：,比较以上三式，可得：,13,这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。,此时的薛定谔方程为：,若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其势能函数为EP(x,t)，则粒子的总能量应为：,2.薛定谔方程的一般形式,14,为书写方便，我们引入拉普拉斯算符：,若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场中运动，则其薛定谔方程为：,则上式可写为：,15,引入哈密顿算符：,则式可写为：,这就是薛定谔方程的一般形式。,薛定谔方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的一个基本假设。,16,如果粒子的势能并不随时间而变化，即：U=U(x,y,z)，它不包含时间（在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况
6、）。,三、定态薛定谔方程,定态：能量不随时间变化的状态。,在这种情况下，可以用分离变量法把波函数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：,代入,17,代入,两边除以 ，可得：,18,方程（1）的解为：,（1）,（2）,（c为任一常数）,将 代入 ，,并把常数包含在 中，这样就得到薛定谔方程的特解为：,定态薛定谔方程,定态波函数,19,定态波函数所描述的状态称为定态。,方程 称为定态薛定谔方程。,20,应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤：,（1）找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；,（2）用分离变量法求解波函数；,（3）由波函数归一化条件和标准条件，确定积分常数；,（4）求概
7、率密度并讨论其物理意义。,21,一、一维无限深势阱,考虑在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内（x=0到x=a）为零，而在此区域外势能为无限大，,粒子只能在宽为 a 的两个无限高势壁间运动，这种势称为一维无限深方势阱。,23.9 薛定谔方程的简单应用,22,薛定谔方程：,23,1.势能函数,这样就把粒子限制在0a 范围内了,2.薛定谔方程,边界条件：,由标准条件，波函数在阱内外不能突变。,阱外,须有,24,在阱内 0 x a 区域，定态薛定谔方程为：,令：,3. 解方程、定常数,比较谐振动方程：,其通解为：,C和 为待定常数,由波函数的标准条件确定常数。,25,由边界条件，波函数在 x
8、= a 处连续，,因此,有,有,根据波函数的连续、单值的条件，,再由归一化条件确定常数C：,n不能取零，否则不合理。,一维无限深势阱中粒子的波函数为：,26,（1）能级和能级间隔,结果说明：粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。,4. 讨论：,按经典力学观点，粒子在无限深势阱中运动时，能量可以取任意值，是连续的。,粒子的最低能量为零点能，即为n=1时的能量。,这是微观粒子波粒二象性的表现，“静止的波是没有意义的”。,27,一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数,稳定的驻波能级,n+1个节点,（2）波函数,粒子在势阱中的波函数很象两端固定弦的驻波波形，波的波长随能级的增
9、高而缩短。,n 很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典力学各处概率相同。,（3）几率密度,粒子在势阱中的概率密度：,28,一维无限深方势阱中粒子的 能级、波函数和几率密度分布曲线,对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。,29,经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。,随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当 时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。,从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域内运动。,30,例：设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，试求：(1) 粒子在0xa/4区间中出现的几率，并对n=1和n=的情况算出概率值。(2) 在哪些量子态上，a/4处的概率密度最大？,粒子出现在 0 x a/4 区间中的几率为：,时，,时 ，,解：(1) 已知,31,(2),处：,最大时有：,例：设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，试求：(1) 粒子在0xa/4区间中出现的几率，并对n=1和n=的情况算出概率值。(2) 在哪些量子态上，a/4处的概率密度最大？,
