1、算法设计与分析计算机与信息学院,2,使用教材,使用教材,作者：（美）Anany Levitin 译者：潘彦 出版社：清华大学 丛书名：国外经典教材 计算机科学与技术,第3章 蛮力法,概述选择排序冒泡排序顺序查找字符串匹配穷举查找,4,蛮力法概述,蛮力法概述 前面讨论了算法效率分析框架与方法。本章开始，讨论算法设计技术。 概念：蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题本身设计算法。可以用“直接干吧！”来描述蛮力法策略，通常是最容易想到和采用的一种简单直接的算法设计策略。 简单算例：给定数字 a 和非负整数 n ，计算 an 的值。蛮力法：据定义直接基于问题定义设计算法：直接把 a
2、和 a 相乘 n 次。 其他算例：1. 计算gcd(m,n)的连续整数检测算法；（效率不如欧氏算法）2. 用矩阵乘法定义直接计算大矩阵乘法。（效率不如斯特拉森算法）,5,蛮力法概述(2),蛮力法特点：1. 算法设计较为简单直接，相对容易；2. 通常，算法效率不高。因此，高效算法一般很少来自于蛮力法。 蛮力法应用： 它仍然是一种重要的算法设计策略1. 可以解决广泛领域的各种问题，几乎是唯一一种解决各种问题的一般性方法。常用于一些非常基本而又十分重要的算法。比如：计算 n 个数的和； 求一个列表的最大元素，等等。2. 对于一些重要的算法（如排序、查找、矩阵乘法、字符串匹配），蛮力法可以产生一些合理
3、算法，多少具备一些实用价值 ，且并不限制问题的规模。3. 对于规模不大的问题，蛮力法的计算速度可以接受时，设计一个高效算法所花费的代价很可能不值得。(人力成本，算法复杂度)4. 蛮力法可为研究和教学服务，以它作为尺度，衡量该问题的其他算法的效率。,6,选择排序,选择排序 排序问题：给定一个可排序的 n 元素序列（如数字序列、字母序列）,对它们按照非降序方式重新排列。 问题思考：解决该问题“直截了当”的方法是什么？ 选择排序算法策略：从小到大，依次找到满足要求的各元素1. 扫描整个列表，找到最小元素，将其和第一个元素交换；2. 从第二个元素开始扫描列表，找到余下元素中的最小元素，将其和第二个元素
4、交换；3. 如此做下去，直到全部元素按要求排序为止。(找 n-1 遍即得),7,选择排序效率分析,选择排序效率分析： 输入规模：元素个数 n ； 基本操作：键值比较次数 Aj Amin； 效率情况：本算法键值比较次数与输入序列顺序无关，因此没有最佳最差、平均效率之分。 本算法为非递归，增长函数和增长率计算如下：结论： 1. 选择排序算法效率属于 类型； 2. 键的交换次数为 。这个特性使得选择排序算法超过了其他许多排序算法。,8,选择排序改进算法,冒泡排序 蛮力法在排序上的另一个应用，策略是：比较列表中两个相邻元素，如果它们是逆序的，就交换它们的位置。重复多次，最终，最大元素就“沉到”列表中的
5、最后一个位置。第二轮操作将第二大元素沉下去，这样做（n-1）轮，该列表就排好序了。,9,冒泡排序效率分析,冒泡排序效率分析： 输入规模：列表的元素个数 n ； 基本操作：键值比较次数 Aj+1 Aj； 效率情况：本算法键值比较次数与输入序列顺序无关，因此没有最佳最差、平均效率之分。 本算法为非递归，增长函数和增长率计算如下：结果： 1. 冒泡排序算法效率属于 类型；(与选择排序一样) 2. 键值交换次数在最坏情况下（输入降序列表，每次比较后均要交换）和键值比较次数一样即均为 ，这比选择排序差。因此，该算法在简单排序问题上不是一个好的选择。“如果不是因为它有一个好记的名字，我们很可能对它不会有任
6、何的了解”。,10,顺序查找,顺序查找键值的“查找” 前节讨论了蛮力法在排序问题上的两个应用。接下来两节讨论该策略对 查找问题的两个应用即顺序查找和字符串匹配。 查找问题： （经典问题）如何在给定列表中查找一个给定值（查找键）。 顺序查找的蛮力策略：将列表中元素一个个与查找键比较，直到找到匹配元素（成功查找），或者遍历整个列表也没找到匹配元素（失败查找）。实现顺序查找的一个小技巧：把查找键添加到列表的末尾，那么查找一定成功，避免了每次循环时对列表作边界检查。,最佳效率：Tbest (n) = 1; 最差效率：Tworst(n) = n+1; 如果给定序列是有序的，可作 一点改进：只要遇到一个大
7、于 或等于（小于或等于）查找键 的元素，就停止查找。,11,蛮力字符串匹配,蛮力字符串匹配 文本“查找” 文本(Text)：n 个字符组成的串。 模式(Pattern)：m 个字符组成的串。(mn) 串匹配：在文本中寻找匹配模式的子串位置，即 i 的值。蛮力算法策略：(滑动匹配)模式在文本上从左向右滑动一个字符，比较对应字符（从左到右），若全部 m 个字符都已匹配，算法停止。否则，继续滑动、比较。注意：最后一轮比较的起始位置在 (n-m) 处：(n-1)-(n-m)+1=m,12,蛮力字符串匹配 算法,字符串匹配 (String Matching) 的蛮力算法,注意： 考虑while循环结束时
8、 j 的值： 1. j m 2. j = m,输入规模：取决于 n 和 m 。基本操作：比较操作 Pj=Ti+j; 最差效率：滑动 (n-m)+1 次。每次滑动后，可能做足 m 次比较。 因此，最差效率 (n-m+1)m(mn)。但每次滑动后，都做足 m 次比较的可能性很小，所以，该算法的平均效率比最差效率要 好很多。事实表明，它能够显示出线性效率: (m+n)=(n)。,13,穷举查找,穷举查找 本节查找问题不同于前面的查找键，前述查找键是在一个集合中查找一个给定值（查找键）元素，本节查找问题是在一个集合中查找满足给定条件的一个子集，属于组合问题。或者说，本节的“元素”是一个扩展的概念，指一
9、个集合，该集合是原问题集的一个子集。穷举查找是一种简单的蛮力法。在实现时，它常常要求用一个算法来生成某些组合对象（候选集），本节假设生成算法已存在（在减治法讲）。旅行商问题 (Traveling Salesman Problem) 问题描述：给定 n 个城市，找出一条经过每个城市一次的最短路径。 哈密顿回路：图的每个顶点只经过一次的回路。（威廉.哈密顿爵士） 建模：加权图。顶点代表城市，边的权重表示城市间的距离。该问题表示为求一个图的最短哈密顿回路。 穷举法策略：哈密顿回路定义为 n+1个相邻顶点的一个序列：生成所有回路的中间(n-1)个顶点，计算各回路长度，得到最短路线。,第 i 条回路的相
10、邻顶点序列,14,穷举法解小规模旅行商问题例,穷举法解小规模旅行商问题例：,因为是通过全部顶点的一个回路，所以 任选一个顶点作为起点。本例为完全图, 路线总数是中间顶点的全排列数，即：这意味着除了规模非常小的问题以外， 穷举法几乎是不实用的。,n+1=5个顶点构成哈密 顿回路，要生成的中间 顶点数 n-1=3个,15,穷举法解背包问题,穷举法解背包问题 背包问题：给定 n 个总量为 w1, . , wn、价值为 v1, . , vn 的物品和一个承重为 W 的背包，求这些物品中一个最有价值的子集，并且能放入背包中。（01背包：每个物品不能被拆分） 穷举法策略：把背包承重作为约束条件，要求找出满
11、足约束条件的所有可行子集。这要求列举所有子集（幂集），并计算每个子集的总重量不超过背包承重量，最后计算各个子集的总价值，选价值最大的子集。n 元集的所有子集数：想一想：每次的组合数为何是一种和关系，而非乘积关系？因此，不论子集生成算法效率有多高，穷举查找的效率： 不论旅行商问题还是背包问题，穷举查找都是一个非常低效的算法。实际上，这两个问题就是NP(Nondeterminism Problem)困难问题中最著名的例子。目前没有已知的、效率可用多项式来表示的算法，且大多数计算机学家相信，这样的算法是不存在的(虽然尚未证实)。,16,穷举法解分配问题,穷举法解分配问题 分配问题：n 个任务分配给
12、n 个人完成，一人一个任务。已知第 i 个任务分配给第 j 个人的成本是 ci, j ，找出总成本最低的分配方案。,成本矩阵,约束条件：每行挑一个元素（任务），且不属于同一列（人）。失败策略：每行挑成本最小的，可能不满足约束条件：不在同一列。穷举策略：生成任务的全部可行组合，从中找到和最小的任务组合。组合问题：从组合角度看，第1人可4选1，第2人可3选1，第3人可2选1，第4人1选1。后选的任务与先被选的任务有关，换句话说，先选走不同的任务，得到不同的后选任务集。这样的任务组合数：想想：为何是乘积关系,17,穷举法解分配问题（续）,排列问题：把任务按分配序表示为一种分配方案，有一种方案 3,
13、1, 4, 2 表示：任务3 给 第1人，任务1 给 第2人，任务4 给 第3人，任务2 给 第4人。分配集合的元素表示任务编号，左到右的顺序表示人员编号(固定序)。, 1, 2, 3, 4 cost = 9 + 4 + 1 + 4 = 18 1, 2, 4, 3 cost = 9 + 4 + 9 + 8 = 30 1, 3, 2, 4 cost = 9 + 8 + 3 + 4 = 24 1, 3, 4, 2 cost = 9 + 8 + 9 + 7 = 33 etc.,成本矩阵,可见，不同方案的元素（任务号）在集合中排列的位置不同。因此， 这是一个排列问题。n 个任务的排列数为：（全排列）,
