1、太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 1 页第 1 章 导数及其应用教材分析本章内容微积分的设计主线是：瞬间速度变化率导数导数应用定积分，这与传统大学中微积分的设计主线是不同的。虽然是选修内容，但对绝大部分高中学生来说，它依然是必要的基础性的。定积分与微积分基本定理的内容，对运算的要求也略有提高，原因主要是理科对数学的实际要求更高。这部分内容在高中教材中几进几出，除了高考导向的影响外，主要是定位不明确。鉴于它的教育价值， 标准给出了明确的定位，同以前相比有较大的不同。一、内容与课程学习目标 1.1 导数课程目标理解、掌握平均变化率的定义，会用平均变化率的定义解决一些实际问题理解瞬时速度，导数的要
2、领掌握导数的要领并会运用导数解决一些实际的问题，会解一些极限的方法理解并掌握导数的几何意义，并会用导数来求解一些几何的问题1.2 导数的运算课程目标掌握四个公式，理解公式的证明过程和导数的几何意义学会计算导数的一般方法和步骤理解函数的和、差、积的求导法则的推导能正确运用函数的和、差、积、商的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数1.3 导数的应用课程目标通过对实例的观察和研究，发现函数的单调性与导数之间的关系，加深对函数的导数的理解会利用函数的导数来研究函数的单调性，提高学生运用导数解决实际问题的能力，增强“ 数形结合“的能力掌握函数极值的定义，子解可导函数的极值点的必要条件和充分条件掌
3、握利用导数判别可导函数极值的方法，能较熟练地求出已知函数的极值，能解决与函数极值有关的综合问题通过对函数极值的研究，提高学生分析和解决问题的能力1.4 定积分与微积分基本定理课程目标通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近“ 求曲边梯形的思想方法让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法二、内容安排 本章包括 7 节，约需 18 课时，具体分配如下（仅供参考）： 1 新 疆学 案王 新 敞 1 变化率与导数 约 3 课时 1 新 疆学 案王 新 敞 2 导
4、数的计算 约 3 课时 1 新 疆学 案王 新 敞 3 导数在研究函数中的应用 约 3 课时 1 新 疆学 案王 新 敞 4 生活中的优化问题举例 约 1 课时 1 新 疆学 案王 新 敞 5 定积分的概念 约 3 课时 1 新 疆学 案王 新 敞 6 微积分基本定理 约 2 课时 1 新 疆学 案王 新 敞 7 定积分的简单应用 约 2 课时 太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 2 页三、教学要求1.对于极限概念：传统微积分教学中，导数、积分的概念都是用极限定义的，现在讲导数、积分要避开极限或是“没有极限下的导数”，是不妥的，因为，学生此前没接触过极限概念，现遇到了极限自然会产生疑问，为了帮
5、助学生理解，教师就得描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前上一些，淡化形式，重在极限思想的描述是可取的。注意“适度”提出函数的极限，不去追求理论上的抽象性和严谨性。标准没有对极限的要求，教材也没有在任何地方提过极限的概念，学习导数只能是在理解其本质的基础之上来记住极限的运算符号. 2.对于导数定义：在定义 = 给出后，可以给0xf xfffx)(limli 00出定义的几种变化形式： = ；以及f yxx)000= ；或 = ；而xf 0)(lim)(li00 fyxf xffx)(li00，当 时， ，所以 。通过比较理解00x00()()limxff实质。另外，在导数定义教学
6、中要防止过量的技巧变形练习，避免造成学生过重的学习负担。3.对于积分定义：定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的。它的解决过程充分体现了变量“由直到曲” 、 “由近似到精确” 、 “由有限到无限”的极限的思想方法，对于它的“四步曲”分割、替代、求和、取极限，教学中应对概念作进一步解读：（1）把闭区间a，b用 n1 个分点（包括两个端点 ）分为任意 n 个小区0nxa,b间，并非要求一定分成 n 等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用 n 等分的方法去布列分点。（2）在每个小区间 上，点 的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即ix，也可以取在小区间的两个端点，即 或 ，还可以取在小区间i
7、i1ix iixii1的其他任何位置（i1，2， ，n） 。（3）从几何意义上讲， （i 1，2，n）表示以 为底边，以 为高的if()xiif()第 i 个小矩形的面积，而不是第 i 个小曲边梯形的面积，和式 表示 n 个小n1iii0f()x太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 3 页矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，但和式 可以近似地表示曲n1iii0f()x边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高。（4）总和 取极限时的极限过程为 “ ”（ ） ，当分割无限变n1iii0f()xix0n细，即 时，不一定能保证和式 的极限值就是曲边梯形的面积，只有n1iii0f()在
8、分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积。四、重、难点的分析由于导数涉及函数的连续性、可导性、单调性及函数的极限等，学生往往会误认一些关系或结论，因此，教师要通过反例、图像、分析错解等，破解的学生臆造，达到拨乱反正之效。1.导数为零的点与极值点“可导函数在 处有极值则 ；反之，使 的点却不一定能得出0x0)(xf 0)(xf函数在 有极值” 。反例如下：0x例 1 函数 在 时有极值 10，求实数 、 。223)(abxf1ab简析：答案是 ，而学生往往会多出一解 。,43,2. 不是函数单调递增的充要条件0)(xf例 2 函数 在 上单调递增，求实数 的
9、取值范围。13axfRa简析： 则 单调递增，但 在一些孤立点处成立并不妨碍函)()(f 0)(xf数的单调性。如： 有 ，但函数 在 R 上单调递增。答案 。30 0a3.用定积分定义求极限例 3 用积分定义计算： 。nk0si1lim简析：由于 在 上连续，所以定积分 存在。xfs)(,10sinxd太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 4 页0，1分成 n 个小段， 即小矩形的宽, 而小矩形的高为：n10；作和为： ；由定积分定义得： =kfksi)(k1sink0si1lim= 。10inxd2第 1 课时 1.1.1 变化率问题教学目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意
10、义；3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念教学过程：一、创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：1.已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2.求曲线的切线;3.求已知函数的最大值与最小值;4.求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的
11、快慢程度二、新课讲授（一）问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位: dm)之间的函数关系是 34)(rV如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 34(r分析: ，34)(V1 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 )(62.0)(1dmr气球的平均膨胀率为 /62.0)(Ldr太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 5 页2 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 )(16.0)(2dmr气球的平均膨胀率为 /16.
12、0)(Ldr可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少? 12)(Vr问题 2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m )与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述v其运动状态?思考计算： 和 的平均速度5.0t1tv在 这段时间里， ；.0t )/(05.45.0)(smhv在 这段时间里，21 2812)(探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：4960t运动员在这段时间内使静止
13、的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， ，)0(4965h所以 ，虽然运动员在 这段时间里的平均速度为)/(04965)(mshv0t，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述)/(0ms运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变12)(xff化率2若设 , (这里 看作是对于 x1 的一个“增量” 可用 x1+12x)(12fxf代替 x2,同样 )yf3 则平均变化率为 xf xf
14、fxf)( 1112hto太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 6 页思考：观察函数 f(x)的图象平均变化率 表示什么?（ 直线 AB 的斜率）12)(f三、典例分析例 1已知函数 f(x)= 的图象上的一点 及)2,1(A临近一点 ,则 )2,yBx解： ，)1(2y xxx 32)12例 2 求 在 附近的平均变化率。2y0解： ，所以20)(xxxy200)( x0202所以 在 附近的平均变化率为2xy0 x0四、课堂练习1质点运动规律为 ，则在时间 中相应的平均速度为 32ts)3,(t2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动 ,求在 4s 附近的平均变化率.3.过曲
15、线 y=f(x)=x3 上两点 P（ 1，1）和 Q (1+x,1+y )作曲线的割线，求出当 x=0.1 时割线的斜率.五、回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率六、布置作业253t太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 7 页第 2 课时 1.1.2 导数的概念教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念教学过程：一、创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49650t运
16、动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， ，)0(4965h所以 ，)/(04965)(mshv虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际t )/(0ms情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态二、新课讲授1瞬时速度hto太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 8 页我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， 时的瞬时速度是多少？2t考察 附近的情况：
17、2t思考：当 趋近于 0 时，平均速度 有什么样的变化趋势？v结论：当 趋近于 0 时，即无论 从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，tt平均速度 都趋近于一个确定的值 v13.从物理的角度看，时间 间隔无限变小时，平均速度 就无限趋近于史的瞬时速度，t v因此，运动员在 时的瞬时速度是2t./ms为了表述方便，我们用 0()(2li 13.tht表示“当 ， 趋近于 0 时，平均速度 趋近于定值 ”t v.小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化
18、率是 :00)(limlimxff我们称它为函数 在 出的导数，记作 或 ，即f00()fx0|xy0()()lixf说明：（1）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率（2） ，当 时， ，所以0x0 00()()limxfxf三、典例分析例 1 （1）求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数.太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 9 页分析：先求 f=y =f(x)-f ()=6x+(x) 2再求 再求6x0lim6x解：法一 定义法（略）法二：2211133()|lililim3()6x xxy （2）求函数 f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 2解： x
19、xy 32)()120 0()(1)()limlim(3)x xyf 例 2 （课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 时，原油的温度（单位： ）为 ，hC2()715(08)fx计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义6解：在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率就是 和2 ()f6f根据导数定义， 0(2)(fxf2()7157215)3x xx 所以 00()limli(3)xxff同理可得: 65在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率分别为 和 5，说明在 附近，原油2h 32h温度大约以 的速率下降，在第 附近，原油温
20、度大约以 的速率上升3/C 6h/C注：一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况0()fx0x四、课堂练习1质点运动规律为 ，求质点在 的瞬时速度为32ts3t2求曲线 y=f(x)=x3 在 时的导数13例 2 中，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义h5五、回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 10 页六、布置作业第 3 课时 1.1.3 导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念
21、、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义教学过程：一、创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率，反映了函数 y=f(x)在 x=x0 附近的变化情况，导数 的几何意义是什么呢？0(f二、新课讲授（一） 曲线的切线及切线 的斜率：如图3.1- 2，当(,)(1,234)nnPxf沿着曲线趋近于点0时，割线n的变化趋势是什么？图 3.1-2太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 11 页我们发现,当点 沿着曲线无限接近点 P 即 x0 时,割线 趋近于确定的位置，这nPnP个确定位置的直线 PT 称为曲线在
22、点 P 处的切线.问题：割线 的斜率 与切线 PT 的斜率 有什么关系？nnkk切线 PT 的斜率 为多少？容易知道，割线 的斜率是 ,当点 沿着曲线无限接近点 P 时，n 0()nfxfnP无限趋近于切线 PT 的斜率 ，即nkk000)(lim()xffxf说明：（1）设切线的倾斜角为 ,那么当 x0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在 处的导数.0（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在 ,则在
23、此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 处的切线的斜率，0(,)xf即 0()limxffk说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 P 点的坐标;求出函数在点 处的变化率 ，得到曲线在点0 000()()limxfxff k 的切线的斜率；0(,)xf太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 12 页利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当 x0()fx变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它
24、为 f(x)的导函数.记作： 或 ，y即: 0()limxffy注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数 在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。()f00()fx()fx（1）函数在一点处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x 而言的， 就是函数 f(x)的导函数 (3）函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求()fx00()f()fx0函数在点 处的导数的方法之一。0三、典例分析例 1（1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程.（2）求
25、函数 y=3x2 在点 处的导数.1,)解：（1） ,22210 0(1)|limlimx xx 所以，所求切线的斜率为 2，因此，所求的切线方程为 即(1)yx0y（2）因为211133()|lilili36x xxy所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为 即(1)yx630xy（2）求函数 f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 21x解： xy 32)()120 0()(1)()limlim(3)x xxfA A太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 13 页例 2 （课本例 2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线
26、在 、 、 附近的变化()4.96.510hxx()ht01t2情况解：我们用曲线 在 、 、 处的切线，刻画曲线 在上述三个时刻附近的变()ht01t2()t化情况（1） 当 时，曲线 在 处的切线 平行于0t()t00l轴，所以，在 附近曲线比较平坦，几x乎没有升降（2） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率1t()ht11l，所以，在 附近曲线下降，()0h即函数 在 附24.96.50xx1t近单调递减（3） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线2t()ht22l2()0ht2t下降，即函数 在 附近单调递减4.96.510xx从图 3.1-3 可以看出，直线 的倾斜
27、程度小于直线 的倾斜程度，这说明曲线在 附近比1l2l 1t在 附近下降的缓慢2t例 3 （课本例 3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 (单位： )cft/mgL随时间 （单位： ）变化的图象根据图像，估计 时，血管中药tmin0.2,4.6,08t物浓度的瞬时变化率（精确到 ） 0.1解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 在此时刻的导数，从图()ft太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 14 页像上看，它表示曲线 在此点处的切线的斜率()ft如图 3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作 处的切线，并
28、在切线上去两点，如 ， ，则它的斜率为：0.8t(0.7,91)(.0,48)491.4.7k所以 (.)f下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t0.2 0.4 0.6 0.8药物浓度瞬时变化率 ()ft0.4 0 -0.7 -1.4四、课堂练习1求曲线 y=f(x)=x3 在点 处的切线；(1,)2求曲线 在点 处的切线4,2五、回顾总结1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义六、布置作业第 4 课时 1.2.1 几个常用函数的导数教学目标：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 、 、 、ycx2y的导数公式； yx2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数教学重点：四种常
29、见函数 、 、 、 的导数公式及应用ycx2y1x教学难点： 四种常见函数 、 、 、 的导数公式教学过程：一、创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数 ，如何求它的导数呢？()yfx由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 15 页以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数二、新课讲授1函数 的导数()yfxc根据导数定义，因为 ()
30、(0yfxfxc所以 00limlixx函数 导数ycy表示函数 图像（图 3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为 0若 表示路程0y yc关于时间的函数，则 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即物体一直处于静止0y状态2函数 的导数()yfx因为 ()1fx所以 00limlixxy函数 导数y1y表示函数 图像（图 3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为 1若 表示路程1yx yx关于时间的函数，则 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动1y3函数 的导数2()yfx因为2()fx22()x所以 00limli()xxyx函数 导数太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 16 页2y
31、x2yx表示函数 图像（图 3.2-3）上点 处的切线的斜率都为 ，说明随着2yx2(,)2x的变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当 时，随着 的增加，函数 减少得越来越慢；当 时，随着 的增0x2yx0加，函数 增加得越来越快若 表示路程关于时间的函数，则 可以解2y 2yx释为某物体做变速运动，它在时刻 的瞬时速度为 4函数 的导数1()fx因为1()yffx2()x所以 22001limli()xxyx函数 导数y21yx5函数 的导数()yfx因为 ()fxx()()x()xx所以 001limli2xxyx函数 导数yx12yx太谷中学高二
32、数学导学案太谷中学 第 17 页（2）推广：若 ，则*()nyfxQ1()nfx三、课堂练习1课本 P13 探究 12课本 P13 探究 2四、回顾总结函数 导数yc0yx12y2yx1x2y1yx*()nfxQ1n五、布置作业第 5 课时 1.2.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一、创设情景五种常见函数 、 、 、
33、、 的导数公式及应用ycx2y1xy函数 导数太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 18 页二、新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表（二） 导数的运算法 则导数运算法则1 ()()fxgfxg2 ()fx3 2()()0)fxfxgggyc0yx12y2yx1x2y1yx*()nfxQ1n函数 导数yc0y*()nfxQ1nxsiycosycoxinx()yfal(0)xyaxexe()logaf 1()log()(01)lnaffa nx太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 19 页（2）推论： ()()cfxf（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三、典例分析例 1假设某国家在 20
34、 年期间的年均通货膨胀率为 ，物价 （单位：元）与时间5%p（单位：年）有如下函数关系 ，其中 为 时的物价假定某种t 0()1)tpt0t商品的 ，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0p0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有 ()1.05ln.tpt所以 （元/年） 10().5ln8p因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨例 2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1） （2） ； （3） ； 3yx1yxsinlyx（4） ； （5） （6） ；xln2(51)xe（7） sincosiy解：
35、（1） ，332(2)(2)(3xxx。2y（2） 1()()x 22(1)()x22(1)()x221(1)()xx2() 2() 2(1)xy（3） (sinl)(ln)sixx太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 20 页 (ln)si(ln)(sixxx 1(ln)si(ln)cosxxi co lily（4） ， 224()14ln1l4()()xxxxx x。1lnxy（5） 221l21()(1)()lnl(ln)(l)xx x 2(1ln)yx（6） 251(51)(xxee，2(4)()4xe 。2xy（7） sincos()i 2i(in(sicos)(sin)xxxx2(c
36、ossi)(coi(in)(is)s xcox 。2in(in)(i)cosxxxco 2(sin)x2(i)yx【点评】 求导数是在定义域内实行的 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将 1 吨水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为%x5284()(01)cx求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）90%8太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 21 页解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 25284(10)584(10)()10xxcx2(584()x2)x（1） 因为
37、 ，所以，纯净度为 时，费用的瞬时 2(90).1)c90%变化率是 52.84 元/ 吨（2） 因为 ，所以，纯净度为 时，费用的瞬时变 2584()3109)c 8化率是 1321 元/吨函数 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢由上述计算可知，()fx它表示纯净度为 左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为 98250c98%左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用0%就越多，而且净化费用增加的速度也越快四、课堂练习1课本 P92 练习2已知曲线 C：y 3 x 42 x 39 x 24，求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程；（y 1
38、2 x 8）五、回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则六、布置作业第 6 课时 1.2.2.2 复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确一、创设情景（一）基本初等函数的导数公式表函数 导数yc0y*()nfxQ1nx太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 22 页（二）导数的运算法则导数运算法则1 ()()fxgfxg2 ()fx3 2()()0)fxfxggg（2）推论： ()()cfx
39、f（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二、新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数 和 ，如果通过变量 ，()yfu()gxu可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作yx。()fg复合函数的导数 复合函数 的导数和函数 和 的导数()yfgx()yfu()gx间的关系为 ，即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积xuxy yuxsinyxcosyxcoin()xyfal(0)xyaxexe()logaf 1()log()(01)lnaffa nxx太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 23 页若 ，则()yfgx()()yfgxfgx 三、典例分析例
40、 1（课本例 4）求下列函数的导数：（1） ；（2） ；(3)yx0.51xye（3） （其中 均为常数） sin,解：（1）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合2()yx2yu3x函数求导法则有= 。xuxy2()3481ux（2）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合函0.51xeuye0.51x数求导法则有= 。xuxy 0.51().)0.5.u uxe（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复sinsiny合函数求导法则有= 。xuxy (i)()xcoux例 2 求 的导数2snta解： 22i()cs(tan)ec()yxxx22costaex (n)sc()
41、yx【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果例 3 求 的导数2xay解：2 21()xayx，2222()aax太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 24 页2 2()axy【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数求导数后要予以化简整理例 4 求 y sin 4x cos 4x 的导数【解法一】y sin 4x cos 4x(sin 2x cos 2x)22sin 2cos2x1 sin22 x1 （1cos 4 x） cos 4 xysin 4 x 31【解法二】y(sin 4
42、 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x )4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步例 5 曲线 y x（x 1） （2x）有两条平行于直线 y x 的切线，求此二切线之间的距离【解】y x 3 x 2 2 x y3 x 22 x 2 令 y1 即 3 x22 x 1 0，解得 x 或 x 1于是切点为 P（1，2）
43、，Q（ ， ） ，714过点 P 的切线方程为，y 2x 1 即 x y 10显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离，故所求距离为 2|1743|6四、课堂练习1求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2） ;(3)12sinxy)2(logxa2.求 的导数)132ln(x五、回顾总结六、布置作业第 7 课时 1.3.1 函数的单调性与导数（2 课时）教学目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；太谷中学高二数学导学案太谷中学 第 25 页教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一、创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用二、新课讲授1问题：图 3.
