1、2.2.2 椭圆的简单几何性质,东莞市樟木头中学 李鸿艳,1.椭圆的定义:,平面内到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程是：,3.椭圆中a,b,c的关系是:,a2=b2+c2,你还记得？,利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质,以焦点在x轴上的椭圆为例,(ab0),新课探索,A1,新课探索,(ab0),1范围,椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式,B2,b,y,O,F1,F2,x,B1,A2,-a,a,-b,A1,(ab0),椭圆位于直线xa和 yb围成的矩形里,|x|a，|y|b,1范围,即x2a2，y2b2，,椭圆上点的坐标(x, y
2、)都适合不等式,B2,b,y,O,F1,F2,x,B1,A2,-a,a,-b,新课探索,(ab0),2对称性,y,O,F1,x,F2,新课探索,在椭圆的标准方程里，把x换成x，或 把y换成y，或把x、y同时换成x、y时， 方程有变化吗？这说明什么？,(ab0),2对称性,y,O,F1,F2,x,新课探索,椭圆关于y轴、x轴、原点 都是对称的,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心,在椭圆的标准方程里，把x换成x，或 把y换成y，或把x、y同时换成x、y时， 方程有变化吗？这说明什么？,(ab0),2对称性,y,O,F1,F2,x,坐标轴是椭圆的对称轴,新课探索,A1,3顶点,只须令
3、x0，得yb，点B1(0,b)、 B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y0， 得xa，点A1(a,0)、A2(a,0)是椭圆和 x轴的两个交点,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,(ab0).,新课探索,A1,3顶点,只须令x0，得yb，点B1(0,b)、 B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y0， 得xa，点A1(a,0)、A2(a,0)是椭圆和 x轴的两个交点,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,(ab0).,新课探索,A1,3顶点,椭圆有四个顶点： A1(a, 0)、 A2(a, 0)、 B1(0, b)、B2(0, b),椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点,
4、只须令x0，得yb，点B1(0,b)、 B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y0， 得xa，点A1(a,0)、A2(a,0)是椭圆和 x轴的两个交点,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,新课探索,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.,A1,3顶点,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,c,b,新课探索,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.,A1,3顶点,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,c,b,a叫做椭圆的长半轴长,b叫做椭圆的短半轴长,新课探索,线段A1A2、B
5、1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.,A1,3顶点,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,c,b,a叫做椭圆的长半轴长,b叫做椭圆的短半轴长,|B1F1|B1F2|B2F1| |B2F2|,?,新课探索,a,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.,A1,3顶点,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,c,b,a叫做椭圆的长半轴长,b叫做椭圆的短半轴长,|B1F1|B1F2|B2F1| |B2F2|a,新课探索,a,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2
6、b.,A1,3顶点,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,c,b,a叫做椭圆的长半轴长,b叫做椭圆的短半轴长,|B1F1|B1F2|B2F1| |B2F2|a,在RtOB2F2中，,|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b2,新课探索,由椭圆的范围、对称性和顶点， 再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.,小 结 ：,新课探索,y,O,x,椭圆的焦距与长轴长的比,椭圆的离心率,ac0，,0e1,4离心率,，叫做,新课探索,y,O,x,椭圆的焦距与长轴长的比,椭圆的离心率,ac0，,0e1,4离心率,，叫做,新课探索,y,O,x,椭圆的焦距与长轴长的比,椭圆的
7、离心率,ac0，,0e1,4离心率,，叫做,新课探索,y,O,x,椭圆的焦距与长轴长的比,椭圆的离心率,ac0，,0e1,4离心率,，叫做,新课探索,y,O,x,椭圆的焦距与长轴长的比,椭圆的离心率,ac0，,0e1,4离心率,，叫做,新课探索,y,O,x,椭圆的焦距与长轴长的比,椭圆的离心率,ac0，,0e1,4离心率,，叫做,新课探索,y,O,x,椭圆的焦距与长轴长的比,椭圆的离心率,ac0，,0e1,4离心率,，叫做,新课探索,椭圆的焦距与长轴长的比,椭圆的离心率,ac0，,0e1,4离心率,，叫做,新课探索,椭圆的焦距与长轴长的比,椭圆的离心率,ac0，,0e1,4离心率,，叫做,新课
8、探索,椭圆的焦距与长轴长的比,椭圆的离心率,ac0，,0e1,4离心率,，叫做,新课探索,沙场练兵,1、求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标：1）x2+4y2=16 2） 9x2+y2=81 提示：先把一般方程化为标准方程，确定a、b、c的值，再求解。,2、已知椭圆mx2+5y2=5m(m0)的离心率为 ,求m的值. 3、求适合下列条件的椭圆的标准方程. 经过点(-8，0)、(0，6)； 长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)； 焦距是8，离心率等于0.8。,|x| a,|y| b,|x| b,|y| a,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。,（ a ,0 ）,(0,
9、 b),（ b ,0 ）,(0, a),( c,0),(0, c),长半轴长为a,短半轴长为b.,焦距为2c;,a2=b2+c2,B,例5 如图2.211，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分过对称轴的截口 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 ，已知 ,试建立适当的坐标系，求截口 所在椭圆的方程（精确到0.1cm）,O,F2,x,y,A,B,C,F1,讲授新课,例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(1) 经过点P(3, 0)、Q(0, 2);,例3.
10、求适合下列条件的椭圆标准方程,（1）经过点P（-3，0），（0，-2）,1.待定系数法,2.图象法,3.设所求的椭圆标准方程为 由题意可知,（2）长轴长等于20，离心率等于,2a=20,a=10,c=6,由于焦点在x轴、y轴上均可以，所求椭圆标准方程为：,例：已知椭圆 ，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？并求出该点坐标.最大呢？,分析：若设P(x,y)是椭圆上到直线l距离最近的点，利用点到直线的距离公式可以求出最小值吗？请同学们试一试。,很显然这种方法很难求解。请同学们想想还有其它解法吗？,通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时的交点
11、就是所求的点，两条平行线间的距离就是最小距离。,x,y,O,l,m,解：因为直线l与椭圆不相交，把直线l平移到m与椭圆相交，则可设直线m：,得：25x2+8cx+c2-225=0,则64c2-425(c2-225)=0,解之得：c1=25， c2=-25,4x-5y+c=0,由图可知： 当c=25时直线m与椭圆的交点P到直线l的距离最近， 由25x2+825x+252-225=0解得：x=4(舍去)，x=-4 y=9/5 P(-4,9/5),直线l到椭圆的最近距离为：,沙场练兵,1、已知三角形ABC的一边长为6，周长为16，求顶点C的轨迹方程.,2、求到定点A(2,0)与到定直线x=8的距离之比为 的动点的轨迹方程.,3、点M(x,y)与定点F(-4,0)的距离和它到直线l: 的距离之比是常数0.8，求点M的轨迹.,椭圆的第二定义：到定点F(c,0)与到定直线l： 的距离之比为e(0e1)的点的轨迹是一个椭圆.,
