1、第6章 动量定理, 6.1 动量定理与动量守恒定律 6.1.1 动量与冲量 6.1.2 质点的动量定理 6.1.3 质点系的动量定理与动量守恒定律 6.2 动量定理与动量守恒定律的应用 本章习题, 6.1 动量定理与动量守恒定律, 6.1.1 动量与冲量,冲量是指力F在时间t上的累计，即Ft，用字母I表示。由于冲量为矢量F乘上一个标量t，因此冲量仍是矢量，并且具有力F的矢量特征，当然由于时间t的加入，使得冲量为一过程量。即，力F在物体上作用t时间的冲量I为,(6-1),动量是表征物体机械运动状态的力学量，是指物体质量m与其速度v的乘积mv，用字母P表示。由于动量为速度矢量v乘上一个标量m，因此
2、动量仍是矢量，并且具有速度v的矢量特征，即动量P也为一个瞬时量。质量为m、速度为v的质点的动量P为,(6-2), 6.1.2 质点的动量定理,由牛顿第二定律可知,又,所以,即,(6-3),将式(6-3)写成积分形式,(6-4),将式(6-4)两边积分得,(6-5),即质点的动量在任一时间内的增量，等于作用于该质点上的力在同一时间内对质点的冲量。此即为质点的动量定理。式(6-3)、式(6-4)、式(6-5)分别为动量定理的微分式、积分式和普通式，可以根据问题的不同选择不同的形式。, 6.1.3 质点系的动量定理与动量守恒定律,现取n个质点，第i个质点的质量为 、速度为 ，则该质点的动量 为 ，假
3、定作用于该质点上的合力为Fi，则由质点的动量定理的微分式得,(6-6),将方程(6-6)求和得,即,(6-7),式中， ； 为作用在质点系上外力的合力； 为质点系内力的合力,根据作用与反作用定律，内力是成对出现的，则 .则式(6-7)可写为,(6-8),即质点系的动量在任一时间内的增量，等于作用于该质点系上的外力在同一时间内对质点系的冲量。此即为质点系的动量定理。和质点的动量定理一样，质点系的动量定理同样具有微分式、积分式和普通式，只需将式(6-8)处理一下即可。,由式(6-8)可知，若作用在质点上的外力 ，则有 ，也就是说此时质点系的动量为一常量,P=常量,(6-9),即质点系在运动过程中，
4、如果作用于质点系上的外力矢量和始终为零，则质点系的动量恒定不变。此即为质点系的动量守恒定律。由于式(6-1)式(6-9)均为矢量式，可以将它们向任一坐标轴投影得到投影式。也就是说：(1) 如果作用在质点(系)的外力在某一轴上的投影的代数和为零，则质点(系)的动量在该轴上的投影保持为常量。(2) 质点(系)的动量在任一时间内在某一坐标轴上的增量，等于作用于该质点(系)上的外力在该坐标轴上的投影在同一时间内对质点(系)的冲量。投影式的应用，使得动量定理和动量守恒定律的应用更加灵活，这一点会在后面的学习中体会到。,【例6.1】 如图6.1所示，锻锤 A 的质量 m = 3000 kg，从高度 h =
5、 1.45m处自由下落到锻件B上。假设锻锤由接触锻件到最大变形所用时间t=0.01s，求锻锤作用在锻件上的平均碰撞力。,解：取锻锤作为研究对象。从高度h自由下落到锻件产生最大变形的过程，可分成两个阶段。 (1) 碰撞前的自由下落阶段。如图6.1(a)所示，锻锤只受重力作用，由机械能量守恒定律得,从而求得碰撞前锻锤速度的大小,(2) 锻锤由开始接触锻件到最大变形阶段。 如图6.1(b)所示，该阶段锻锤受重力 mg 和锻件对锻锤的碰撞力(设其平均值为FB )的作用，写出冲量定理在铅直轴y上的投影式，并注意锻件变形最大时锻锤速度为零。有,从而求得,代入数据，即得, 6.2 动量定理与动量守恒定律的应
6、用,质心运动定理：现取n个质点，第i个质点的质量为 ，n个质点的总质量m为 ，由牛顿第二定律可得,式中， 为作用在质点系上外力的合力； 为质点系质心的加速度。,(6-10),将式(6-8)和 代入式(6-10)，整理得,(6-11),若 ，则有即质点系在运动过程中，如果作用于质点系上的外力矢量和 为零，则质点系质心的速度 为一常量；如果开始时质点系质心速度为零，则无论质点系各质点如何运动，质点系的质心位置保持不变。这就是质心运动守恒定律。将式(6-11)向坐标轴投影可得到质心运动守恒定律投影式，这也是质心运动定理应用最为广泛之处。,【例6.2】 如图6.2所示，物块A可沿光滑水平面自由滑动，其
7、质量为mA，小球B的质量为mB，用细杆与物块铰接，如图所示。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角 ；释放后，细杆近似以 规律摆动(k为已知常数)，求物块A的最大速度。,解：取物块和小球为研究对象，其上的重力以及水平面的约束力均为铅垂方向。此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒。细杆角速度为 ， 当 时，其绝对值最大，此时应有 ，即 。由此，当细杆铅垂时小球相对于物块有最大的水平速度，其值为 ，当速度 向左时，物块应有向右的绝对速度，设为v，而小球向左的绝对速度值为 。根据动量守恒定律，有,解出物块的速度为,当 时，也有 。此时小球相对于物块有向右的最大速度 ，可求得物块
8、有向左的最大速度,【例6.3】 如图6.3所示，均质曲柄为AB长r，质量为m1，假设受力偶作用以不变的角速度 转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D，如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2，质心在点C。在活塞上作用一恒力F。不计摩擦，求作用在曲柄轴A处的最大水平分力Fx。,解：如图所示，选取整个机构为研究对象。作用在水平方向的外力有F和Fx，力偶不影响质心运动。 列出质心运动定理在x轴上的投影有,为了求质点系质心的加速度在x轴上的投影，先计算质点系质心的坐标，然后把它对时间取二阶导数，即,将式代入式，解得,显然，当 时，有最大水平分力,思 考 题,6-1 当质点系中每一质点都做高速运动时，该
9、系统的动量是否一定很大？为什么？ 6-2 炮弹在空中飞行时，若不计空气阻力，则系统质心的轨迹为一抛物线。炮弹在空中爆炸后，其质心轨迹是否改变？当部分弹片落地后，其质心轨迹是否改变？为什么？ 6-3 试求如图6.4所示各均质物体的动量。设各物体的质量均为m。 6-4 一刚体受一力系作用，若改变力系中各力的作用点，则刚体质心的加速度如何变化？ 6-5 若一质点在做匀速圆周运动，则其动量有无变化？为什么？,6-6 两质量均为M的小车，停放在光滑的水平直轨道上。一质量为m的人，从一车跳到另一车，然后立刻跳回第一车。证明两车最后速度大小之比为/（m+M). 6-7 若质点系中每一个质点的动量都等于零，这
10、个质点系的动量是否等于零？若质点系的动量等于零，这个质点系中每一个质点的动量都等于零吗？ 6-8 如图6.5所示，宇航员A、B，其质量 ，如果他们在太空中拔河，宇航员A会赢吗？为什么？,习 题,6-1 一F1赛车以30m/s的速度在平直赛道上行驶。设车轮在制动后立即停止转动。问车轮与路面的摩擦系数f为多大时，才能使赛车在制动后6s停下来。 6-2 宇宙飞船的返回舱总质量为3000kg，进入大气层后，假定打开降落伞前的速度为60m/s，若要返回舱速度在30s内降至10m/s，那么降落伞应获得多大的空气阻力(不计返回舱受到的空气阻力)？,6-3 如图6.6所示，物块A和B用质量不计的轻杆连接，分别
11、沿光滑的地面和墙面运动。若物块A重300N，在图示位置由1kN的水平推力F作用0.5s后，其速度由零变为10m/s，试求墙受到的冲量。,6-4 如图6.7所示，货车以14m/s的速度在路面上行驶，制动后滑行20m停住。已知货物A与车间的摩擦系数为0.48，试问货物A能否在车上滑动？如果滑动，求滑过的距离s和时间。,6-5 如图6.8所示，质量为30kg的平板车上放有质量为20kg的重物A。若平板车受到120N的水平推力F作用2s后移动5m。试求重物在平板车上滑动的距离(不计平板车与路面的摩擦)。,6-6 如图6.9所示，若上题中，水平推力F作用在重物A上，重物在平板车B上滑动了0.5m，求此时
12、平板车B移动的距离。,6-7 如图6.10所示，均质杆AB长为l，直立放在光滑的水平面上。求杆从铅直位置无初速度倒下时，端点A相对图示坐标系的运动轨迹。,6-8 如图6.11所示，质量为的小球沿质量为的光滑大半圆柱顶部滑下，大半圆柱半径为R，放在光滑水平面上。初始时系统静止，求小球脱离大半圆柱前相对图示坐标系的运动轨迹。,图6.10 图6.11,6-9 如图6.12所示，质量为的平台AB放在水平面上，平台与水平面间的动滑动摩擦系数为f。质量为的小车C由绞车拖动，相对于平台的运动规律为 ，其中b为已知常数。若不计绞车质量，求平台的加速度。 6-10 如图6.13所示，质量为m的滑块A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚度系数为k的弹簧一端与滑块相连接，另一段固定。杆AB长为l，质量忽略不计，A端与滑块A铰接，B端装有质量为 的小球(小球大小不计)，在铅直平面内绕A点旋转。设在力偶M作用下转动角速度 为常量。求滑块A的运动微分方程,图6.12 图6.13,
