1、 1 第三课 时 利用导数证明 不等式专题 【选题 明细 表】 知识点 、方 法 题号 构造法 证明 不等 式 1,4 等价转 化法 证明 不等 式 2 赋值法 证明 不等 式 3 1.(2015 高 考福 建卷)已 知 函数 f(x)=ln x- . (1) 求 函数f(x) 的单 调递 增区间; (2)证明: 当x1 时,f(x)1, 当 x (1,x0)时,恒有 f(x)k(x-1). (1) 解:f (x)=-x+1= ,x(0,+ ), 由f(x)0, 得 解得01 时,F(x)1 时,f(x)1 满 足题 意. 当k1 时, 对于x1, 有 f(x)1 满 足题 意. 当k1. 当
2、 x (1,x2)时,G (x)0, 故 G(x) 在1,x2) 内单 调递 增,从 而当 x(1,x2) 时,G(x)G(1)=0, 即f(x)k(x-1), 综上,k 的 取值 范围 是(- ,1). 2.(2015 皖南 八校 联考)已 知函数f(x)=xln x+mx(m R)的图 象在 点(1,f(1) 处 的切线 的斜 率 为2. (1) 求 实数m 的值; (2) 设g(x)= ,讨论 g(x) 的 单调性; (3)已知 m,n N * 且mn1, 证明 . (1) 解: 因为 f(x)=xln x+mx, 所以f (x)=1+ln x+m. 由题 意f(1)= 1+ln 1+m
3、=2, 得m=1. (2) 解:g(x)= = (x0,x 1), 所以g (x)= . 设h(x)=x-1-ln x,h (x)=1-. 当x1 时,h (x)=1-0,h(x) 是增 函数, h(x)h(1)=0, 所以g (x)= 0, 故g(x) 在(1,+ )上 为增 函数; 当0h(1)=0, 所以g (x)= 0, 故g(x) 在(0,1) 上为 增函 数; 所以g(x) 在区 间(0,1) 和(1,+ ) 上都 是单 调递 增的. (3)证明:由 已知 可知 要证 , 即证 - ln n-ln m, 3 即证 ln m ln n, 即证 , 即证g(m)g(n), 又mn1(m
4、,n N * ), 由(2) 知g(m)g(n)成立, 所以 . 3.(2016 东 北三 省四 市教 研联合 体模 拟) 已知 函数f(x)=aln x-ax-3 (a 0). (1)讨论 f(x) 的 单调 性; (2) 求证 ln (2 2 +1)+ln (3 2 +1)+ln (4 2 +1)+ +ln (n 2 +1)0), 当a0 时,f(x) 的单 调增 区 间为(0,1, 单调 减区 间为1,+ ); 当af(1), 即-ln x+x-10, 所以ln x1 时, . (1) 解: 因为 f(x)= , 由已 知f(e)=-, 所以-=-. 得a=1. 所以f(x)= . f(x)=- (x0). 当x(0,1) 时,f (x)0,f(x) 为 增函 数; 当x(1,+ ) 时,f (x) , 即为 , 令g(x)= , 则g(x)= = 再令 (x)=x-ln x, 则 (x)=1-= . 因为x1, 所以 (x)0, 所以 (x)在(1,+ )上 是增 函数, 所以 (x) (1)=10, 所以g (x)0, 5 所以g(x) 在(1,+ ) 上是 增函数, 所以x1 时,g(x)g(1)=2. 故 . 令h(x)= . 则h(x)=2 = 因为x1, 所以1-e x 1 时,h(x)h(x), 即 .
