1、- 1 -2019 年普通高等学校招生全国统一考试（卷 1）理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1、已知集合 ，则 （ ）06,242xNxMNMA、 B、 C、 D、3x 2x3x2、设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（ ）z1iz),(yA、 B、 C 、 D、)(2yx 1)(2yx 122x 1)(22yx3、已知 ，则（ ）3.0.02,.logcbaA、 B、 C、 D 、cbabacacb4、古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（ ，称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是215618.0如此。此外
2、，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .215若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）A、165cm B、175cm C、185cm D、190cm5、函数 在 的图像大致为（ ）2cosin)(xxf,A、 B、 C、 D、6、我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的 6 个 爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“” ，右图为一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（ ）- 2 -A、 B、 C、 D、165321321167、已知非零向量 a，b 满足a=2b，
3、且(ab) b，则 a 与 b 的夹角为（ ） A、 B、 C、 D、58、右图是 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）21A、 B、21AC、 D、19、记 为等差数列 的前 项和，已知 ，则（ ）nSna5,04aSA、 B、 C、 D、5213nnn82nSn2110、已知椭圆 的焦点为 ，过 的直线与 交于 两点，若 ，C),(0,(21F2BA, BF，则 的方程为（ ）1FA、 B、 C、 D 、2yx123yx1342yx1452yx11、关于函数 在下述四个结论：其中所有正确结论的编号是（ ）fsini)(是偶函数 在区间 单调递增 1 x 2 )(xf),2(在 有 4 个零
4、点 的最大值为 2 3 )(f, 4A、 B、 C、 D、 1 2 4 2 4 1 4 1 312、已知三棱柱 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为 2 的正三角APOPCBAA形， ， 分别是 ， 的中点， 则球 的体积为（ ）EF09EFOA、 B、 C、 D、6864626二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、曲线 在点 处的切线方程为_.xey)(32)0,(14、记 为等比数列 的前 项和，已知 ，则 _.nSna6241,3aa5S15、甲，乙两队篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束） 。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排
5、依次为“主主客- 3 -客主客主” ，设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队 4:1 获胜的概率是_.16、已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 的两条C)0,(12babyx 1F21C渐近线交于 两点，若 ， ，则 的离心率为_.BA,ABF121FC三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 .ABCCabc CBACBsinsin)i(sn2（1）求 ；（2）若 ，求 .cba2sin18.（12 分）如图，
6、直四棱柱 的底面是菱形，1DCBA， ， ， ， ， 分别是 ，41A206EMNBC， 的中点.BD（1）证明： ；CMN1/平 面（2）求二面角 的正弦值.A19.（12 分）已知抛物线 ： 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与 轴的交点为 .Cxy32F23lCABxP（1）若 ，求 的方程；4BFAl（2）若 ，求 .P20.（12 分）已知函数 ， 为)1ln(si)(xxf(f的导数，证明：)(xf- 4 -（1） 在区间 存在唯一极大值点；)(xf)2,1(（2） 有且仅有 2 个零点.21.（12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，
7、为此进行动物试验，试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出来后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的折刀未治愈则甲药得 1 分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的折刀未1治愈则乙药得 1 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分。甲、乙两种的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 .X（1）求 的分布列；X（2）若甲药、乙药在试验开始都赋予
8、 4 分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认)8,10(iPi为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中0P8 )7,21(1icPbaiii， ， .假设 ， .)1(XPa)(Xb)(Xc5.08（）证明： 为等比数列；7,211ii（）求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性.44P（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴xOyC2214tytxOx的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .l 01sin3co- 5 -（1）求 和 的直角坐标方程；Cl（2）求 上的点到 距离的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知 为正数，且满足 .证明：cba, 1abc（1） ；221（2） .4)()()( c
