1、三角函数一、任意角1. 角的概念的推广“旋转”形成角 AB O“正角”与“负角”“0 角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以 OA 为始边的角 210，150，660。 210-15060特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角 或 可以简记成 。2. “象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几x象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3. 终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。ZkS
2、,360|二、弧度制1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角 奎 屯王 新 敞新 疆 它的单位是 rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0 奎 屯王 新 敞新 疆（2）角 的弧度数的绝对值公式： （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： 360 2 rad 180 rad 1 radrad01745.883.3. 两个公式1）弧长公式： rl由公式： 比公式 简单180rnl弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 其中 是扇形弧长，
3、是圆的半径lRS21lR4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180弧度 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6 角度 210 225 240 270 300 315 330 360弧度 7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/411/625. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 奎 屯王 新 敞新 疆 正 角 零 角 负 角 正 实 数 零 负 实 数 任意角的集合 实数集 R三、任意角三角函数的定义1. 设 是一个任意角，在 的终边
4、上任取（异于原点的）一点 P（x，y）则 P 与原点的距离 022yxyxr r y)(x,（1）把比值 叫做 的正弦 记作： ryrysin（2）把比值 叫做 的余弦 记作： x xco（3）把比值 叫做 的正切 记作： y yta上述三个比值都不会随 P 点在 的终边上的位置的改变而改变.当角 的终边在纵轴上时，即 时，终边上任意一点 P 的横坐标 x 都为 0，所以 tan 无意Z)(2k义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 以上三种函数，统称为三角函数。三角函数值的定义域：RrysinRxcoytanZk,2|2. 三角函数的符号sin为 正 全 正 ta为 正 cos为
5、正 3. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如 390和330都与 30终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390sin30 cos390cos30sin（330）sin30 cos（330）cos30诱导公式一（其中 ）: 用弧度制可写成Zksin)360sin( sin)2sin(kcocok cocota)ta( ta)ta(k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 02 间角的三角函数值问题。4. 三角函数的集合表示： sin1yMPrcoxOtanyAT P x y A 11 1 1 T O M 例 1. 在 0 到 360 度范围内，找出与下列各
6、角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角()2()64(3)95012例 2. 写出终边在 y 轴上的角的集合（用 0 到 360 度的角表示）例 3. 用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为|k3600 且 A1，0） 的图象（一）函数图象的三种变换1. 振幅变换 y=Asinx，xR（A0 且 A1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的 A 倍而得到。 A 称为振幅（物体振动时离开平衡位置的最大距离） 。2. 周期变换:函数 y=sinx，xR（0 且 1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标变到原来的 倍（纵坐标不变） 。 决定了函数的周期。13. 相位变换: 函数
7、ysin（x ） ，xR（其中 0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当 0 时）或向右（当 0 时）平行移动 个单位长度而得到。例 1. 比较 与 的大小413tan517tan例 2. 求函数 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性3tanxy巩固练习1. 判断正误yAsinx 的最大值是 A，最小值是AyAsinx 的周期是 2y-3sin4x 的振幅是 3，最大值为 3，最小值是-32. 函数 ytan（ax ） （a0）的最小正周期为（ ）6 aaa D. |C. |2B. 2A.3. 已知函数 yAsin（x ） （A0，0，0 2图象的一个最高点是（2， ） ，由
8、这个最高点到相邻最低点的图象与 x 轴交于点（6，0） ，试求函数的解析式。34. 如图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin（x+）+B 。（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式。八、两角和与差的余弦设向量 )sin(co1，OPa2，b所以 )cos()cs(| 又 inosa所以 sc)c(以代 得： is两角和与差的余弦公式: sincos)cos( sincos)co( 九、两角和与差的正弦sin(+)cos (+)cos( )22cos( )cos+sin( )sinsincos+cossin即： S（+）sincosin)s
9、i(以代 得： S（ ）ii两角和与差的正弦公式 sincosin)si( sincosin)si( 十、两角和与差的正切tan(+)公式的推导cos (+)0tan(+) sincosin)cos(in当 coscos0 时, 分子分母同时除以 coscos得：tan1t)tan(以代 得： t)t(其中 都不等于,RZk,2两角和与差的正切公式tan1t)tan( tan1t)tan( 小结：两角和与差的正、余弦、正切公式sincos)cos( sincos)co(ini inta1t)ta( ta1t)ta(例 1. 计算 cos105 cos15 cos cos sin sin5035
10、103例 2. 已知 sin(+) ,sin() 求 的值3252tan巩固练习1. 已知 ，求函数 的值域2,0x )125cos()12cos(xxy2. 求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆20cosin1十一、二倍角公式的推导在公式 ， ， 中，当 时，得到相应的一组公式：)(S)(C)(T；cosin2si2S；ico)(；2tan1ta2T因为 ，所以公式 可以变形为cssi2)(2C或 o22sin1cos)(公式 ， ， ， 统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式。)(2S2C)(22T二倍角公式cosin2si222 sin1csico2tan1ta注意：（1）二倍角公式的
11、作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。（2）二倍角公式为仅限于 是 的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的。2（3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式。（4）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）（5）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：这两个形式今后常用。2cos1sin,2co1cs22 几个三角恒等式1、积化和差公式的推导 sin( + ) + sin( ) 2sincos sincos sin( + ) + sin( )12sin( + ) sin( ) 2co
12、ssin cossin sin( + ) sin( )cos( + ) + cos( ) 2coscos coscos cos( + ) + cos( )cos( + ) cos( ) 2sinsin sinsin cos( + ) cos( )122、和差化积公式的推导若令 + ， ，则 ， 代入得：2)sin(21)2sin()2sin(1cos2in coi2sinsnc2cosiis例 1. 已知 ，求 sin2，cos2 ，tan2 的值。),2(,135sin例 2. 求 sin10sin30sin50sin70的值。例 3. 若 270360，则 等于 （ ）2cos12A. s
13、in B. cos C. sin D. cos2巩固练习1、不查表，求下列各式的值（1） )125cos)(sin125co(sin（2） 2sinco44（3） tan1t（4） 2cos212、求值：cos 280sin 250sin190cos3203、化简：cos20cos40cos80 4、化简下列各式：（可直接写答案）（1） 4cosin（2） 0ta2（3）2sin 2157.5 1 （4） 5sin课后作业一、选择题1、 的值为（ ）05sinA、 B、 C、 D、32324264262、若 ，则 2x 在（ ）0cos ,tanxA、第一、二象限 B、第三、四象限 C、第二、
14、三象限 D、第二、四象限3、在 中，已知 则 B 为（ ）03,6AbaA45 0 B、60 0 C、60 0或 1200 D 450 或 1350 4、已知 为锐角， 则 为（ ）, 1sin 5siA、45 0 B、135 0 C、225 0 D、45 0或 13505、已知 则 为（ ）36,8ba三ABCSA、48 B、24 C、 D、3163246、在 中， 则这个三角形为（ ） BC0cosA、直角三角形 B、锐角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形、7、下列与 相等的是（ ）)45sin(0xA、 B、 C、 D、0)13si(0)135cos(0x)135sin(0x8、在
15、中，若 则 一定为（ ） C22baABA直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定10、若 ，则 为（ ）)sin(sicoxxtanA、 1 B、 C、 D、2二、填空题11、 = 0075sini12、在 ABC 中，已知 ，则 54cosAA2sin13、在 中，已知 的面积为 ABC则 7c ,32baBC14 在 度 三三 7 ,5 ,3cbaABC15、在 ABC 中，已知 ，那么 C= 。022a16、已知 ， ，则 31)4sin(x4x)4sin(x17、已知 则 的最大值为 icoyy18、在 中，已知 ，则那么内角 B = ABC2cosinB19、已知直
16、线 ，则直线 绕着它与 轴的交点旋转 45 后的直线的斜率为 2:xyllx020、计算 = )3cs(si3co三、解下列各题21 计算 12sin22、已知， ，求： 的值23 54sin)4 tan(23、在 ABC 中，已知 A= ， AC=1， ABC 的面积为 ，求 BC 边的长2124、若 （ 为第一象限角） 求 的值135)cos(,54sin, cos25 若角 的终边经过点 P（-3，4） ，求 和 + 的值)3sin(2sincos26、在 ABC 中，已知： ， ， ABC 的面积为 ，求 的长25sinCA06B310AC27 在 中，角 A、C、B 成等差数列， ， ，求：（6 分）5b4a(1) 的长；c(2) 的面积.AB
