1、第十六讲 锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748 年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的 sin、cos、tg、ctg 的通用形式三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1单调性；2互余三角函数间的关系；3同角三角函数间的关系 平方关系：sin 2+cos 2 =1；商数关系：tg= cosin， ctg= sinco；倒数关系：tgc
2、tg=1 【例题求解】【例 1】 已知在ABC 中，A、B 是锐角，且 sinA 135，tanB=2，AB=29cm，则 SABC = 思路点拨 过 C 作 CDAB 于 D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135ACD，tanB= 2BD，设 CD=5m，AC13m，CD2n，BDn，解题的关键是求出 m、n 的值注：设ABC 中，a、b、c 为A 、B、C 的对边，R 为ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1) SABC = abcsin21sisin21；（2） RCBbAaiisin【例 2】 如图，在ABC 中ACB90，ABC 15，B
3、C=1，则 AC=( ) A 3 B 32 C0.3 D 23思路点拨 由 15构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换【例 3】 如图，已知ABC 是等腰直角三角形，ACB90，过 BC 的中点 D 作DEAB 于 E，连结 CE，求 sinACE 的值思路点拨 作垂线把ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比【例 4】 如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanB=cosDAC，(1)求证：AC BD；(2)若 sinC
4、= 132，BC=12，求 AD 的长思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2) sinC= ACD132，引入参数可设 AD=12 k，AC13 k【例 5】 已知：在 RtABC 中，C=90，sinA、sinB 是方程 02qpx的两个根(1)求实数 p、 q应满足的条件；(2)若 、 满足(1) 的条件，方程 02qpx的两个根是否等于 RtABC 中两锐角A、B 的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立 p、 q等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数 、 应满足的条件学历训练1已知 为锐角，下列结论sin+cos
5、=l；如果 45，那么 sincos；如果 cos 21 ，那么 60； sin1)-(sin2 正确的有 2如图，在菱形 ABCD 中，AE BC 于 E，BC=1 ，cosB 135，则这个菱形的面积为 3如图，C=90，DBC=30，ABBD，利用此图可求得 tan75= 4化简(1) 263tan27t= (2)sin2l+sin22+sin288+sin289= 5身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A甲的最高 B丙的最高 C乙的最低 D丙的最低6已知 sincos= 81，且 045 则 co-
6、sin 的值为( )A 23 B 23 C 43 D 7如图，在ABC 中，C90，ABC30，D 是 AC 的中点，则 ctgDBC 的值是( )A 3 B 32 C 23 D 43 8如图，在等腰 RtABC 中C90，AC6，D 是 AC 上一点，若 tanDBA= 51，则 AD 的长为( ) A 2 B2 C 1 D 29已知关于 x的方程 0)(42mx的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求 m的值10如图，D 是ABC 的边 AC 上的一点，CD=2AD，AE BC 于 E，若BD8，sin CBD= 43，求 AE 的长 11若 045 ，且 sincon= 1673，则 si
7、n= 12已知关于 x的方程 0)cos1(2sin423x有两个不相等的实数根， 为锐角，那么 的取值范围是 13已知是ABC 的三边，a、b、c 满足等式 )(4)(2acb，且有 035c，则sinA+sinB+sinC 的值为 14设 为锐角，且满足 sin=3cos，则 sincos 等于 ( )A 61 B 51 C 92 D 103 15如图，若两条宽度为 1 的带子相交成 30的角，则重叠部分(图中阴影部分) 的面积是( )A2 B 23 C1 D 2 16如图，在ABC 中，A30，tanB= 23，AC= ，则 AB 的长是( )A 3 B 32 C5 D 917己在ABC
8、 中，a、b、c 分别是A 、B、C 的对边，且 c= 35，若关于 x的方程0)35(2)35( x有两个相等的实根，又方程 0sin)si10(2Ax的两实根的平方和为 6，求ABC 的面积18如图，已知 AB=CD=1， ABC90，CBD=30，求 AC 的长19设 a、b、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断 nba与 c的关系，并证明你的结论20如图，已知边长为 2 的正三角形 ABC 沿直线 l滚动(1)当ABC 滚动一周到A lB1C1 的位置，此时 A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到 0.1，=3.14)(2)设ABC 滚动 240，C 点的位置为 C，ABC 滚动 480时，A 点的位置在A，请你利用三角函数中正切的两角和公式 tan(+)=(tan +tan) (1-tantan)，求出CAC+CAA的度数 参考答案
