1、 1 第二十 章 函 数 1.探索 具体 问题 中的 数量 关系和 变化 规律. 2.通过 具体 实例 了解 常量 、变量 的意 义, 了解 函数 的 概念和 三种 表示 方法,能 举 出函数 的实例. 3.能结 合图 像对 简单 的实 际问题 中的 函数 关系 进行 分析. 4.能确定简单的整式、分 式、二次根式和简单实际 问题中的函数的自变量的 取值范围, 并会求 出函 数值. 5.能用 适当 的函 数表 示法 刻画某 些实 际问 题中 变量 之间的 关系. 6.结合 对函 数关 系的 分析, 尝试对 变量 的变 化规 律进 行初步 预测. 1.让学 生经 历常 量与 变量 、两个 变量
2、之间 的函 数关 系,建 立函 数模 型,以 及用 多种方 法 表示函 数的 认知 过程,进 一 步发展 学生 的抽 象思 维和 符号感. 2.使学 生能 结合 图像 对某 些简单 实际 问题 中的 函数 关系进 行分 析, 对变 量的 变 化规律 进行预 测, 并能 解决 一些 简 单的问 题. 让学生 经历 “问 题情 境 建立 模型 求解 验证 ”的过 程, 体会 数学 的价 值,增强 学 生学习 数学 的信 心. 本章的 主要 内容 是: 由实 例 引入函 数的 基本 概念,根 据 实际情 景列 出函 数的 关系 式,求 出简单 函数 中自 变量 的取 值范围,通 过对 实际 问题 的
3、 直观感 知, 领悟 相关 知识, 让学生 在具 体情境中领会函数的 相关 知识.函数的概念是数 学中 极为重要的基本概念, 它的 抽象性较强, 接受并 理解 它有 一定 的难 度,这 也是 本章 的难 点. 本章的 主要 特点 是: 1.反映 函数 概念 的实 际背 景,渗 透“ 变化 与对 应” 的 思想. 在建 立和 运用 函数 这 种数学 模型的 过程 之中,“ 变化 与 对应” 的思 想是 重要 的基 础,所 谓变 化与 对应 的思 想 包括两 个基 本意思:(1) 世界 是变 化的, 客观事 物中 存在 大量 的变 量;(2) 在同 一变 化过 程中, 变量之 间不 是孤立 的,
4、而是 相互 联系 的,一个 变量 的变 化会 引起 其 他变量 的相 应变 化, 这些 变 化之间 存 在对应 关系.本 章教 材力 求 能在具 体的 数学 内容 中渗 透体现 变化 与对 应的 思想, 使学生 能潜 移默化 地感 触、 体会 函数 内容中 最基 本的 东西,在 对 数学思 想方 法的 学习 方面 有所收 获. 2.注重 联系 实际 问题,体 现 数学建 模的 作用.世 界是 运 动变化 的, 函数 是研 究运 动 变化 的重要 数学 模型,它 来源 于 客观实 际又 服务 于客 观实 际.本 章教 材中 以实 际问 题 贯穿始 终, 它们中 有些 是作 为函 数的 实际背 景
5、为 降低 学习 抽象 概念的 难度 服务 的. 2 3.重视 数学 概念 中蕴 涵的 思想, 注意 从运 动变 化和 联 系对应 的角 度认 识函 数. 数 学是以 数量关 系和 空间 形式 为主 要研究 对象 的科 学, 数量 关 系和空 间形 式是 从现 实世 界中抽 象出 来的, 世界 永远 是处 于变 化 之中的.因 此无 论是 数量 关 系中还 是空 间形 式中 都充 满了有 关运 动变化 的问 题, 函数 正是 研 究运动 变化 的重 要数 学模 型,它 反映 的是 变量 之间 的 对应规 律, 它对研 究数 量关 系的 作用 是十分 明显 的. 【重点 】 1.了解 函数 的三
6、种表 示方 法,能 确定 函数 自变 量的 取 值范围. 2.函数 的初 步应 用. 【难点 】 函数的 表示 及其 应用. 教学时 应注 意引 导学 生观 察、分 析, 鼓励 学生 发表 自 己的见 解, 让学 生通 过实 例 理解函 数的意 义以 及函 数的 三种 表示方 法. 在求 函数 关系 式 时,要 联系 代数 式和 方程 的 相关知 识, 引导学 生按 顺序 考虑 问题, 确定出 自变 量的 取值 范围, 列出相 应的 函数 关系 式. 整 个教学 过 程中要 借助 实际 问题 情境, 由具体 到抽 象地 认识 函数; 通过函 数应 用举 例, 体现 数 学建模 思 想.教 师要
7、 引导 从多 种角 度 思考, 借助 图像 、表 格、 表 达式等 进行 分析,寻 找变 量 之间的 关 系,检 验所 建立 的函 数的 合 理性. 注意 加强 学生 学习 的 主动性,注 意鼓 励学 生积 极 探究, 教师 为启发 诱导 设计 必要 的铺 垫,让 学生 能经 过自 己的 努 力来发 现知 识间 的内 在联 系. 20.1 常量 和变 量 1 课时 20.2 函数 2 课时 20.3 函数 的表 示 1 课时 20.4 函数 的初 步应 用 1 课时 回顾与 反思 1 课时 20.1 常量 和变 量 1.通过 实例 理解 变量 、常 量的概 念以 及相 互之 间 的 关系, 能
8、举 出现 实中 的常 量 与变量. 3 2.增加 对变 量的 理解. 3.渗透 找变 量之 间的 简单 关系, 能列 简单 关系 式. 1.通过 对问 题的 讨论 引出 常量与 变量 的概 念, 为学 习 函数的 定义 作准 备. 2.通过 对学 生熟 悉的 几个 例子, 系统 地认 识常 量与 变 量,有 助于 理解 相关 概念 之 间的联 系与区 别. 3.通过 探索 两个 数量 之间 的关系 和变 化规 律, 发展 学 生的抽 象思 维和 符号 感. 学生通 过积 极参 与课 堂上 对问题 的分 析, 感受 现实 生 活中函 数的 普遍 性, 体会 事 物之间 的相互 联系 与制 约.
9、【重点 】 变量与 常量. 【难点 】 对变量 的判 断. 【教师 准备 】 课件 14. 【学生 准备 】 复习 常见 的等量 关系 式. 导入一: 一辆长 途汽 车从 临沂 驶向 上海, 全程 哪些 量不 变?哪 些量在 变? 学生讨 论回 答后 教师 导入: 当我们 用数 学来 分析 现实 世界的 各种 现象 时, 会遇 到 各种各 样的量,如 物体 运动 中的 速 度、时 间和 距离;圆 的半 径 、周长 和圆 周率;购 买商 品 的数量 、 单价和 总价;某 城市 一天 中 各时刻 变化 着的 气温;某 段 河道一 天中 时刻 变化 着的 水的流 量 在某 一过 程中,有 些 量固定
10、 不变,有 些量 不断 改 变. 导入二: 火车行 驶的 里程 随着 时间 的变化 而变 化, 一天 的温 度 随着时 间的 变化 而变 化, 像 这样, 在现实 生活 中一 个量 随着 另一个 量的 变化 而变 化的 现象大 量存 在. 函数 就是 研 究一些 量之 间确定 性依 赖关 系的 数学 模型. 今天 我们 首先 来学 习 20.1 常量 和变 量. 设计意图 两个导入以 现实生活为依托,通过学 生 平常接触到的事物,引出 变 化的量, 引起学 生的 好奇 心. 活动1 尝 试探 究 过渡 语 在实 际生 活中, 人们 需要 用量 化的 方 式来描 述一 个事 物的 变化 过程,
11、这会 涉 及一些 量, 其中 一些 量是 不 变的, 一些 量是 变化 的. 我们知 道, 在一 个匀 速运 动 中,路程=速度 时间.这 里 的路程 、速 度和 时间 就是 三个不 同的量.这 些量 在不 同的 变 化过程 中会 有怎 样的 具体 表现形 式呢?下 面我 们来 共 同探究 这个 问题. 思路一 4 【课 件1】 一 起探 究 1.小明 在上 学的 途中,骑 自 行车的 平均 速度 为 300 m/min. (1)填 写下 表: 时间 t/min 5 10 20 55 路程 s/m (2) 在 这个 问题 中,哪 些量是 不变 的, 哪些 量是 变 化的? 变化 的量 之间 存
12、在 着 怎样的 关系? 2.桃园 村办 企业 去年 的总 收入是 25000 万元,计 划从 今年开 始逐 年增 加收 入 3500 万元. 在这个 问题 中, 一共 有几 个 量?其 中哪 些量 是不 变的, 哪些量 是变 化的?变 化的 量 之间存 在着怎 样的 关系? 3.类似 地, 请你 再举 出两 个 实际问 题的 例子,并 分别 说 明它们 各含 有几 个不 同的 量,其 中哪些 量是 不变 的, 哪些 量 是变化 的. 【教师 活动 】 让学 生填 表,观 察问 题1 的表 格和 问 题 2 的 条形 统计 图. 思考 题 目中的 问题, 并板 书答 案. 学生解 答后 应该 给
13、予 评价. 此处应 注意: (1)学 生以 组为 单位 合作 探 究. (2)教 师巡 视,注 意指 导. 让学生 结合 每一 道题 的题 意和表 达式,来 讨论 变化 的 量和不 变的 量. 【学生 活动 】 学生 观察 、讨论,解 释每 个题 中变 化 的量和 不变 的量. 在问 题1 中,共 有三 个量, 其中平 均速 度300 m/min 是不变 的量,路 程和 时间 都 是变化 的量, 它们 之间 满足 关系s=300t. 在问 题2 中,共 有四 个量, 即去年 的总 收入 、从 今年 起每年 增加 的收 入、 第几 年和第 几 年的总 收入.其中,去 年的 总收 入 25000
14、万 元和 以后 每年增 加的 收 入3500 万 元 都是不 变的 量,第 几年 和第 几年 的总 收 入都是 变化 的量.如 果用n(n 取 正整 数)表 示从 今年 起的 第 n 年, 用W 表示第 n 年 的总 收入, 那么它 们之 间满 足关 系 W=25000+3500n. 教师说 明: 在一 个变 化过 程 中,可 以取 不同 数值 的量 叫 做变量,而 数值 保持 不变 的 量叫 做常量. 教师特 别强 调: (1)常 量与 变量 必须 存在 于 一个变 化过 程中. (2)判 断一 个量 是常 量还 是 变量, 需: 看它 是否 在一 个变 化的 过程中; 看它 在这 个变 化
15、过 程中 的取值 情况. 在问 题3 中,请 你指 出自 己 举出的 两个 例子 中的 常量 和变量. 设计 意图 结 合学 生比 较熟悉 其背 景的 几个 例子, 对新知 识有 个初 步的 感知. 让学生 熟练地 从不 同事 物的 变化 过程中 寻找 出变 量之 间的 变化规 律, 并逐 步学 会用 含 有一个 变量 的式子 表示 另一 个变 化的 量. 知识 拓展 常 量与 变量 是对“ 在某 一变 化过 程中 ”而言 的, 因而 是相 对的. 同一个 量 在某一 变化 过程 中是 常量, 而在另 一变 化过 程中 却可 能是变 量, 所以 常量 和变 量 是由问 题的 条件确 定的.例如
16、:s=vt 中,若v 确定, 则 s,t 是 变量; 若 t 确定, 则 s,v 是 变量. 思路二 5 【课 件2】 一 辆汽 车以60 千米/时 的速 度匀 速行 驶,行驶 里程 为s 千米, 行驶 时间为 t 小时. (1)请 同学 们根 据题 意填 写 下表: t/小时 1 2 3 4 5 s/千米 (2) 在 以上 这个 过程 中,变化 的量 是 ,没 有变化 的量 是 . (3)试 用含t 的 式子 表示s. 师:我 们首 先来 思考 上面 的 几个问 题, 可以 互相 讨论 一 下,然 后回 答. 生:从 题意 中可 以知 道汽 车 是匀速 行驶 的, 那么 它1 小 时行 驶6
17、0 千米,2 小 时行 驶 260 千米,即120 千米,3 小时行 驶 3 60 千米,即180 千米,4 小时 行驶 46 0 千米, 即 240 千米,5 小时 行 驶 5 6 0 千米,即300 千米 因 此行驶 里 程 s 千 米与 时 间t 小时 之间 有关系:s=60t. 其中 里程s 与时 间t 是 变化 的量,速度 60 千米/ 时是 不变 的量. 师:很好!谢 谢你 正确 的阐 述. 这种问 题反 映了 匀速 行驶 的汽车 所行 驶的 里程 随行 驶时间 的变 化过 程. 其实 现 实生活 中有好 多类 似的 问题,都 是 反映不 同事 物的 变化 过程, 其中有 些量 的
18、数 值是 按照 某种规 律变 化的, 如上 例中 的时间 t、 里程 s, 有些 量的 数值 是始 终不变 的, 如上 例中 的速 度 60 千米/ 时. 【课 件3】 1.电影 票的 售价 为 10 元/ 张,第 一场 售出150 张票, 第二场 售 出205 张票,第 三 场售出 310 张票, 三场 电影 的票 房 收入各 为多 少元?设 一场 电 影售 票 x 张,票 房收 入 y 元.怎样 用含 x 的式 子表 示y? 2.你见 过水 中的 涟漪 吗? 如 右图所 示, 圆形 水波 慢慢 地 扩大. 在这 一过 程中, 当圆 的半径 r 分别 为10 cm,20 cm,30 cm 时
19、, 圆的 面积S 分 别为 多少? 用含r 的 式子 表示S. 3.用 10 m 长 的绳 子围 成一 个矩形.当 矩形 的一 边长 x 分别为 3 m,3.5 m,4 m,4.5 m 时, 它的邻 边 长y 分 别为 多少? 用含x 的式 子表示 y. 设计 意图 让 学生 熟练 地从不 同事 物的 变化 过程 中寻找 出变 化量 之间 的变 化规律, 并逐步 学会 用含 有一 个变 化量的 式子 表示 另一 个变 化的量. 【教师 活动 】 引导 学生 通过合 理、 正确 的思 维方 法探索 出变 化规 律. 【学生 活动 】 在教 师的 启发引 导下,经 历尝 试运 算 、猜想 探究 、
20、归 纳总 结及 验证等 过程, 得到 正确 的结 论. 活动结 论: 1.第一 场电 影票 房收 入 :1 5 010= 1500 ( 元); 第二场 电影 票房 收入 :205 10=2 050( 元); 第三场 电影 票房 收入 :310 10=3 100( 元). 关系式:y=10x. 2.当r=10 cm 时,S=10 2 = 100( cm 2 ); 当 r=20 cm 时,S=20 2 =4 0 0(cm 2 ); 当 r=30 cm 时,S=30 2 =9 0 0(cm 2 ). 关系式:S=r 2 . 3.当边 长 为3 m 时, 邻边 长y 为5-3=2(m); 当边长 为3
21、.5 m 时, 邻边 长y 为5-3.5=1.5(m); 当边长 为4 m 时,邻 边长y 为5-4=1(m); 当边长 为4.5 m 时, 邻边 长y 为5-4.5=0.5(m). 关系式:y=5-x. 师:通 过上 述活 动,我 们清 楚地认 识到,要 想寻 求事 物 变化过 程的 规律,首 先需 确 定在这 个过程 中哪 些量 是变 化的, 而哪些 量又 是不 变的.在 一 个变化 过程 中, 可以 取不 同 数值的 量 为变量,数 值始 终不 变的 量 称之为 常量.如 上述 四个 过 程中, 时间t、 里程 s 、售 出票 数x、 6 票房收 入y 、圆 的半 径 r 、 圆的面 积
22、S 、矩 形一 边长x 、其邻 边 长y 都 是变 量. 而 速度 60 千 米/时 、票 价10 元/ 张、 圆 周率 、 绳长 10 m 都是 常量. 活动2 巩 固练 习 过渡 语 明确 了常 量和变 量的 定义,理 解了 它 们之间 的区 别, 下面 我们 共 同来完 成 “做一 做”. 【课 件4】 做 一做 在下列 各问 题中,分 别各 有 几个量,其 中哪 些量 是常 量,哪些 量是 变量? 这些 量之 间具有 怎样的 关系? (1)每 张电 影票 的售 价为10 元. 某日 共售 出 x 张票, 票房收 入 为y 元. (2)一 台小 型台 秤最 大称 重 为 6 kg, 每
23、添加0.1 kg 重物,指 针就 转动 6 的角, 添加重 物质量 为m kg 时,指 针转 动的角 度 为 . (3)用10 m 长的 绳子 围成 一个长 方形.小 明发 现不 断 改变长 方形 的 长 x(m)的大小,长 方形的 面 积S(m 2 )就 随之 有 规律地 发生 变化. 【教师 活动 】 引导 、点 拨. 教师应 该重 点关 注: (1)学 生是 否能 正确 地写 出 关系式; (2)答 案是 否全 面; (3)学 生的 参与 度. 【学生 活动 】 先自 主探 索,再 小组 合作 、分 析、 总 结、交 流, 写出 答案. 答案:(1) 有 三个 量,10 元 是常量,x
24、张和y 元 是变 量,y=10x. (2)有 五个 量,6 kg,0.1 kg 和 6 是 常量,m kg 和 是 变量, =60m. (3)有 三个 量,10 m 是常 量,x 和S 是 变量,S=x(5-x). 设计 意图 进 一步 熟悉 巩固前 面总 结的 探究 方法, 并学会 利用 以前 所学 的一 些公式 来帮助 解决 问题.通 过练 习 让学生 会列 关系 式, 并进 一 步理解 变量 与常 量的 含义. 本节课 所学 知识:变 量与 常 量的定 义. 方法: 常 量与 变量 必须 存 在于同 一变 化过 程中,判 断 一个量 是常 量还 是变 量, 需 要看 两个方 面: 一是
25、看它 是否 在 一个变 化过 程中;二 是看 它 在这个 变化 过程 中的 取值 情况是 否发 生变化. 常量 和变 量是 相对 于变 化过程 而言 的, 可以 相互 转 化. 不要 认为 字母 就是 变量. 1.在圆 周长 计算 公 式 C=2 r 中,对 半径 不同 的圆, 变量有 ( ) A.C,r B.C , ,r C.C,r D.C ,2 ,r 解析: 直接 利用 在一 个变 化 的过程 中, 数值 发生 变化 的 量称为 变量,数 值始 终不 变 的量 称为常 量, 进而 得出 在圆 周 长计算 公 式 C=2 r 中,对 半径不 同的 圆, 变量 有 C,r. 故选A. 2.如果
26、 用总 长 为 60 m 的 篱 笆围成 一个 长方 形场 地, 设 长方形 的面 积 为 S(m 2 ),周 长为 p(m), 一边 长为a(m),那么S,p,a 中是 变量 的是 ( ) A.S 和p B.S 和a C.p 和a D.S,p,a 解析: 篱 笆的 总长 为 60 m,周长 p 是定 值, 而面 积S 和 一边 长a 是变 量. 故选 B. 3.某人 要在 规定 的时 间内 加工 100 个 零件,则 工作 效 率 与时 间t 之间 的关 系 中,下 列说法 正确 的是 ( ) A.数100 和 ,t 都 是变 量 B.数100 和 都是 常量 C . 和t 是变 量 D.数
27、100 和t 都 是常 量 7 解析: 根据 变量 和常 量的 定 义可 知 和 t 是变 量,零 件的个 数100 是 常量.故选 C. 4.在三 角形 面积 公 式 S=ah,a=2 cm 中,下 列说 法正 确 的是 ( ) A.S,a 是变 量,h 是常 量 B.S,h 是变 量, 是常 量 C.S,h 是变 量,a 是常 量 D.S,h,a 是 变量,是 常量 解析: 在三 角形 面积 公式S=ah,a=2 cm 中,a 的 值保 持 不变, 它是 常量,h 和S 是 变量. 故 选C. 5.林老 师骑 摩托 车到 加油 站加油,发 现每 个加 油器 上 都有三 个量,其 中一 个表
28、 示 “元/ 升”, 其数 值固 定不 变,另 外两个 量分 别表 示“ 数量 ”“金 额”,数 值一 直在 变 化,在 这三 个 量当中 是常 量, 是变 量. 解析: 常量 就是 在变 化过 程 中不变 的量,变 量是 指在 程 序的运 行过 程中 随时 可以 发生变 化的量. 答案: 元/升 数 量、 金额 6.汽车 行驶 的路 程 s 、行 驶时 间t 和 行驶 速 度 v 之 间有下 列关 系:s=vt. 如果 汽车以 每 小时 60 km 的速 度行 驶, 那 么在s=vt 中, 变 量是 , 常量 是 ;如 果汽车 行驶 的时 间t 规定为 1 小时, 那 么在s=vt 中, 变
29、 量是 , 常量 是 ;如 果甲、 乙两 地的路 程s 为200 km, 汽 车从甲 地开 往乙 地, 那么 在 s=vt 中, 变量 是 ,常量 是 . 解析: 根据 在一 个变 化的 过 程中, 数值 发生 变化 的量 称 为变量,数 值始 终不 变的 量 称为 常量解 答. 答案:s,t 60 s,v 1 v,t 200 7.齿轮 每分 钟120 转,如果 n 表 示转 数,t 表 示转 动 时间. (1)用n 的 代数 式表 示 t; (2)说 出其 中的 变量 与常 量. 解析:(1) 根 据题 意可 得转 数=每 分钟120 转 时间;(2) 根据 变量 和常 量的 定义: 在一个
30、 变化的 过程 中, 数值 发生 变 化的量 称为 变量,数 值始 终 不变的 量称 为常 量, 可得t,n 是 变量. 解:(1) 由题 意 得 120t=n, 即t=. (2)变量:t,n,常量:120. 8.说出 下列 各个 过程 中的 变量与 常量. (1)我 国第 一颗 人造 地球 卫 星绕地 球一 周 需 106 分钟,t 分钟 内卫 星绕 地球 的周 数为 N,N=; (2)矩 形的 长为2 cm, 它 的 面积S(cm 2 ) 与宽 a(cm) 的 关系式 是S=2a. 解析: 根据 常量 是在 某一 变 化过程 中保 持不 变的 量, 变 量是在 某一 变化 过程 中可 以取
31、不 同数值 的量,对 各小 题分 析 判断即 可得 解. 解:(1)N 和t 是 变量,106 是常量. (2)S 和a 是变 量,2 是常 量. 20.1 常量 和变 量 活动1 尝 试探 究 变量: 在一 个变 化过 程中, 可以取 不同 数值 的量 叫做 变量. 常量: 在一 个变 化过 程中, 数值保 持不 变的 量叫 做常 量. 活动2 巩 固练 习 8 一、教 材作 业 【必做 题】 1.教材 第 62 页 练习 第 1,2 题. 2.教材 第 62 页 习题A 组第 1,2,3 题. 【选做 题】 教材 第62 页习 题 B 组第1,2 题. 二、课 后作 业 【基础 巩固 】
32、1. 学校 计划 买100 个 乒乓 球,买 的乒 乓球 的总 费用W(元)与单价 n( 元/个)的 关 系式W=100n 中 ( ) A.100 是常 量,W,n 是 变量 B.100,W 是 常量,n 是 变量 C.100,n 是 常量,W 是 变量 D. 无法 确定 2. 一长 方体 的宽 为b(定值),长为 x(xb), 高为h,体 积为V,则V=bxh,其 中变 量 是( ) A.x B.h C.V D.x,h,V 3. 下列 说法 正确 的是 ( ) A. 常量 是指 永远 不变 的量 B. 具体 的数 一定 是常 量 C. 字母 一定 表示 变量 D. 球的 体积 公 式V=r
33、3 中, 变量 是 ,r 4. 下表 是某 报纸 公布 的世 界人口 数据 情况,表 中的 变 量 ( ) 年份 1957 1974 1987 1999 2010 人口数 30 亿 40 亿 50 亿 60 亿 70 亿 A. 仅有 一个,是 时间( 年份) B. 仅有 一个,是 人口 数 C. 有两 个, 一个 是人 口数, 另一个 是时 间( 年份) D. 一个 也没 有 【能力 提升 】 5. 完成 以下 问题: (1) 某 人持 续以a 米/ 分的 速度t 分钟 内跑 了s 米, 其 中常量 是 , 变量 是 ; (2) 在t 分 钟内, 不同 的人 以不同 的速 度 a 米/ 分跑
34、了 s 米,其 中常 量是 ,变量 是 ; (3)s 米的 路程, 不同 的人 以不同 的速 度 a 米/ 分各 需 跑 t 分钟, 其中 常量 是 , 变量 是 ; (4) 根 据以 上叙 述,写 一句 关于常 量与 变量 的结 论: . 6. 我国 是一 个严 重缺 水的 国家, 我们 都应 该倍 加珍 惜 水资源,节 约用 水.据 测试, 拧不紧 的水 龙头每 秒会 滴 下2 滴水, 每 滴水 约0.5 毫升.小 燕子 同 学在洗 手时,没 有拧 紧水 龙 头,当 小燕 子离 开x( 时)后 水龙 头滴 了y( 毫升) 水. 在这 段文 字 涉及的 量中,哪 些是 常量, 哪些是 变量?
35、 7. 按如 图所 示的 方式 摆放 餐桌和 椅子.用x 来 表示 餐 桌的张 数, 用y 来表 示可 坐 人数. (1) 题 中有 几个 变量? (2) 你 能写 出两 个变 量之 间 的关系 吗? 9 8. 分析 并指 出下 列关 系中 的变量 与常 量. (1) 球 的表 面积S cm 2 与 球 的半 径R cm 的 关系 式是S =4R 2 ; (2) 以 固定 的速 度v0 米/ 秒 向上抛 一个 小球, 小 球的 高 度 h 米 与小 球运 动的 时 间t 秒之 间的 关系式 是h=v0t-4.9t 2 ; (3) 一 物体 自高 处自 由落 下,这个 物体 运动 的距 离 h
36、m 与它下 落的 时 间t s 的关 系式是 h=gt 2 ( 其中g 取9.8 m/s 2 ); (4) 已 知橙 子每 千克 的售 价 是 1.8 元, 则购 买数 量 w 千 克与所 付 款x 元 之间 的关 系式是 x=1.8w. 【拓展 探究 】 9. 在烧 开水 时, 水温 达到100 就会 沸腾, 下表 是某 同学做 “观 察水 的沸 腾” 实验时 记录 的数据: 时间/ 分 0 2 4 6 8 10 12 14 温度/ 30 44 58 72 86 10 0 10 0 10 0 (1) 上 表反 映了 哪两 个量 之 间的关 系? (2) 水 的温 度是 如何 随着 时 间的变
37、 化而 变化 的? (3) 时 间推 移2 分钟, 水的 温度如 何变 化? (4) 时 间为8 分 钟时, 水的 温度为 多少?你 能得 出时 间 为 9 分 钟时,水 的温 度吗? (5) 根 据表 格,你 认为 时间 为 16 分钟 和18 分钟 时水 的温度 分别 为多 少? (6) 为 了节 约能 源,你 认为 应在什 么时 间停 止烧 水? 【答案 与解 析】 1.A(解析 : 买 的乒 乓球 的 总费 用 W( 元)与 单价n(元/ 个)的 关系 式为W=100n,在此式 中 100 是 常量,W,n 是变 量.) 2.D(解析: 一长 方体 的宽 为 b( 定值), 长为 x(
38、xb), 高为 h,体 积为V,则V=bxh,其中 变量 是 x,h,V, 常量 是 b.) 3.B(解析:A.常 量和 变量 是 相对于 变化 过程 而言 的, 可以 互相 转化,错误;B. 具体 的数一 定为 常量, 正确;C.字 母不 一定 都表示 变量,错误;D. 是 常量, 错误.) 4.C(解析: 观察 表格, 可知 时间在 变, 人口 在变, 故 C 正确.) 5.(1)a t,s (2)t a,s (3)s a,t (4) 在 一个 变化的 过程 中, 数值 发生 变 化的量 称为 变量; 数值 始终 不变 的量 称 为常量(解析: 根 据变 量和 常量的 定义:在 一个 变化
39、 的 过程中,数 值发生 变化 的量 称为 变量; 数值始 终不 变的 量称 为常 量,可 直接 得到 答案.) 6. 解: 由题 意得 常量 为数 值 始终不 变的 量, 有:2,0.5; 变量为 数值 发生 变化 的量, 有:x,y. 7. 解:(1) 观 察图 形, 得x=1 时,y=6;x=2 时,y=10;x=3 时,y=14; .可 见每 增加 一 张桌子,便 增加4 个座 位, 因此x 张 餐 桌共 有6+4(x-1)=4x+2 个 座位. 故可 坐人 数y=4x+2, 故有 2 个变 量. (2) 能,由(1) 分 析可 得关系 式可 以 为 y=4x+2. 8. 解:(1)常
40、量是 4 ,变量是 S,R. (2) 常 量是v0,4.9,变量 是h,t. (3) 常量 是g, 变量 是 h,t. (4) 常量 是1.8,变 量是x,w. 9. 解:(1) 上 表反 映了 水的 温度与 时间 的关 系. (2) 水的温 度随 着时 间的 增加 而增加,到 100 时恒 定. (3) 时间 推移2 分钟,水 的温 度增 加 14 , 到 10 分钟 时恒 定. (4)时间 为8 分 钟时,水 的温 度是86 , 时间 为9 分钟 时,水 的温度 是 93 . (5) 根 据表 格,可 知时 间 为16 分 钟和 18 分 钟时 水的 温度均 为 100 . (6) 为 了
41、节约 能源, 应在 10 分 钟后 停止 烧水. 10 常量与 变量 的概 念是 由解 决实际 问题 的需 要而 产生 的.本 节是 实践 性很 强的 内 容.教学 中,无 论是 知识 的发 生过 程 还是应 用过 程, 都充 分运 用 实例. 根据 新课 程标 准提 出 的“数 学 教学不 仅要 考虑 数学 自身 的特点,更 应遵 循学 生学 习 数学的 心理 规律,强 调从 学 生已有 的生 活经验 出发,让 学生 亲身 经 历将实 际问 题抽 象成 数学 模型并 进行 解释 与应 用的 过程” 的要 求,在 本节 课的 教学 中,教 师应充 分发 挥实 例和 多媒 体的功 能, 使数 学
42、问 题生 活 化、抽 象的 问题形 象化 、静 态的 方式 动态化,让 学生 观察 和分 析 数量关 系的 变化 规律,使 学 生从中 感受 常量和 变量 的意 义, 从而 有 效突出 重点,突 破本 节的 难 点. 常量与 变量 是在 某一 个过 程中研 究的,因 此分 析清 楚 变化的 过程 是什 么, 才有 利 于学生 辨析清楚常量与变量 分别 是什么.在本节课的课 堂实 施中,教师虽然注意到 了对 过程的分析, 但是没有在整个概念 教学 中贯穿这样的分析方 法,分 析变化过程是什么, 再 讨论 变量与常量, 而是过 于强 调了 两种 量在 数值变 化上 的特 征, 有失 偏 颇,应 在
43、今 后的 教学 中加 以 改进. 数学知 识的 教学,在 掌握 基 础知识 的同 时, 重要 的是 教 给学生 掌握 必要 的学 习方 法.教 师在教 学过 程中 要注 意这 方面的 渗透,对 于变 量与 常 量的探 讨, 要整 合题 目中 变 化的过 程, 让学生 在不 断观 察、 总结 中体现 学习 的思 路和 方法. 本节的 教学,要 以师 生互 动 探究式 教学 模式展 开, 遵循 “教 为主 导,学为 主体 ”的 教学 思想, 以自主 探索 和合 作交 流为 主,引 导学 生 亲身实 践知 识的 发生 、发 展、形 成的 认知 过程.由 于 本节课 所学 习的 “常 量” 与“变 量
44、 ” 是两个 抽象 的新 概念,科 学 研究和 教学 实践 都表 明, 必 须让学 生通 过直 观感 知来 接受新 的概 念,这 既符 合学 生由 感性 到 理性、 由具 体到 抽象 的认 知规律,也 有利 于学 生掌 握 探究性 学习 的方法. 练习( 教材 第62 页) 1. 解:(1) 如 下表 所示: b -3 -2 -0.5 0 1 3 5 100 a 10 5 1.25 1 2 4 10 26 100 01 (2)a=b 2 +1, 常量 为1, 变量 为a,b. 2. 解:S=15x,常 量为15, 变 量为S,x. 习题( 教材 第62 页) A 组 1. 解:2.4 是常 量
45、,m 与W 是 变量. 2. 解: 是 常量,S 与 r 是 变量,S =r 2 . B 组 1. 解: 常量 是8,3, 变 量是m 与n.m =3 8n=24n, 即 m 与 n 之 间的 关系 式 为 m=24n. 2. 解:4 和 10 是 常量,x 与y 是变 量,y=10-4x. 本节课 是用 变化 的观 点研 究数量,重 点是 认识 在变 化 过程中,常 常呈 现具 有不 同 状态的 量:变 量和 常量. 应设 置适 当的问 题系 列, 让学 生充 分 体会其 中的 变量 和常 量. 11 1.对于 “一 起探 究” 中的 问题 1, 可 按下 列问 题展 开 分析: (1)小
46、明行 驶5 min 时,自 行车的 速度 是多 少? 行驶 路 程是多 少?10 min 时呢?60 min 时 呢? (2)自 行车 行驶 过程 中,平 均速度 、行 驶时 间和 行驶 路程三 个量 是否 变化?若不变,它们 对应的 数值 是多 少? 若变 化,是怎 样变 化的? (3)行 驶路 程的 变化 与行 驶 时间的 变化 是否 有联 系? 它 们之间 具有 怎样 的关 系? 2.对于 “一 起探 究” 中的 问题 2, 是 以学 生已 经学 习 过的条 形统 计图 呈现 的, 学 习过程 可设计 以下 环节 进行: (1)先 让学 生结 合问 题情 境,独立 思考 、探 索条 形统
47、 计 图所蕴 含的 信息. (2)组 织同 学间 互动 、交 流 、研讨,扩 充获 得的 信息. (3)整 合获 得的 信息, 将信 息归纳 为几 个量,这 些量 中 哪些是 变化 的, 哪些 是不 变 的? (4)这 些量 之间 具有 怎 样 的 关系? 3.“一 起探 究” 中的 问 题3 和“ 大家 谈谈 ”是 开放 性的问 题, 应给 学生 充分 思 考、交 流的时间,尽量丰富有 关“ 不变的量”“变化的 量” 的实例,进一步让学生 了解 常量与变量, 激发学 生的 发散 思维. 变量之 间的 表现 形式 从甲 地到 乙地 的路 程为 300 千米, 一 辆汽 车从 甲地 到乙地,每
48、小时 行驶 50 千米, 行驶的 时间 为t(小时), 离 乙地的 路程 为s(千米), 填 写下表: t/小时 1 2 3 4 5 6 s/千米 用含有 t 的 式子 表 示s,并说 出其 中的 常量 和变 量分别 是什 么. 解:表 中的 数据 从左 到右 依 次为 250,200,150,100,50,0. 用含 有t 的 式子 表 示 s 为s=300-50t, 其中300,50 是 常量; s,t 是 变量. 20.2 函 数 1.结合 丰富 的实 例, 使学 生 在具体 情境 中了 解自 变量 与函数 的意 义. 2.结合 实例,初 步了 解数 值 表、图 像、 表达 式这 三种 函数的 表示 方法. 3.能确 定简 单函 数的 自变 量的取 值范 围. 1.观察 在许 多问 题中 的变 量之间 存在 着函 数关 系. 2.探究 函数 与自 变量 的对 应关系. 3.理解 如何 求函 数解 析式 、自变 量的 取值 范围.
