1、基于等几何分析方法的带孔结构形状优化设计,Author: Snail Email: ,目录,目录,引言,在计算机辅助几何设计（CAGD）中，常用Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS)实现任意曲面造型。 在国际标准化组织（ISO）1991年颁布的工业产品几何定义STEP标准中，NURBS被定义为唯一的自由型曲线曲面的表示方法。,计算机辅助几何设计,1,引言,有限单元法（FEM）是当今工程分析中获得最广泛应用的数值计算方法。随着计算机软硬件技术的高速发展，大型复杂问题的有限元分析（FEA）已成为工程技术领域的常规工作。,有限元分析,1,引言,等几何分析（IGA
2、-Isogeometric Analysis）方法用NURBS基函数作为形函数，代替有限元法的插值多项式，实现对精确几何模型的分析。 NURBS基函数可以构造任意高阶连续的近似函数，克服了有限元分析方法通常仅有C0连续性的弊端。,等几何分析,1,引言,等几何分析方法在实现计算机辅助几何设计（CAGD）和有限元分析（FEA）结合的同时，自然在结构优化中拥有了独到的优势： 直接将模型的NURBS控制点及其权值作为优化对象 根据优化后的控制点信息简便精确地得到优化后的形状,等几何分析,1,NURBS,NURBS,NURBS,目录,目录,简单结构的等几何分析方法,B样条,2,B样条是NURBS的基础，
3、p次B样条曲线的定义为：式中, 是控制点， 是B样条基函数，定义为：其定义在节点矢量 上。,简单结构的等几何分析方法,B样条基函数的性质： 局部支撑性 非负性 规范性 可微性给定节点矢量和控制点信息（坐标和权值）即可确定一条B样条曲线下图是节点矢量为 的二次B样条曲线,B样条,2,研究内容与技术方案,非均匀有理B样条（NURBS）在B样条方法的基础上引入了权因子与分母，弥补了B样条难以描述标准解析形状的缺陷，NURBS曲线定义为：NURBS曲面定义为：式中，双变量有理基函数为：,NURBS,2,简单结构的等几何分析方法,在有限元分析方法中，常用等参单元来离散具有复杂形体的结构，避免在整体坐标系
4、中直接构造插值函数，也即形函数。 依据等参单元的思想，结构离散后的单元分为物理空间的单元和参数空间的单元，它们之间可通过雅克比矩阵进行坐标转换而联系起来。 参数空间形状规则且形函数统一。,等参单元分析方法,2,八节点等参曲边单元的形函数,节点坐标,简单结构的等几何分析方法,等几何分析方法在等参单元思想的基础上，用 NURBS基函数代替等参单元的形函数，使模型建立和模型分析拥有了统一的“语言”NURBS。,基于NURBS的等几何分析方法,2,双二次NURBS曲面的有理基函数,控制点坐标,基函数随参数空间的改变而改变， 也即不同单元的基函数不同。,简单结构的等几何分析方法,为了提高分析精度，等几何
5、分析方法常在参数空间中插入节点以进行单元细分（h改进方法），或者提高NURBS基函数的阶数（p改进方法）。 几何模型在CAGD软件中建立，然后通过程序读取模型信息并直接进行单元细分和分析，中间无需对模型进行处理。,基于NURBS的等几何分析方法,2,目录,目录,带孔结构的等几何分析方法,在分析边界复杂或者内部带孔的模型，很难采用单片NURBS来实现建模，即使建模成功，在分析过程中产生的物理空间单元常是扭曲不均匀的。,多片NURBS模型的等几何分析方法,3,带孔结构的等几何分析方法,采用多片NURBS来拼装成复杂的模型，多片NURBS的控制点、基函数和参数空间节点等由连通数组(Connectiv
6、ity Arrays)联系起来。 采用四片NURBS进行拼装，并进行单元细分。,多片NURBS模型的等几何分析方法,3,控制点网格,物理空间单元,带孔结构的等几何分析方法,在边界施加均布压力时，需要依据虚功等效原则将受力单元边界上的压力等效移置到相关控制点上。均布压力的移植需要对此边界进行积分，压力常数可提取到积分符号外。NURBS基函数的阶数越高，每个控制点影响的单元边界越多，同理，与某单元边界相关的控制点也越多，载荷移置的工作量也就越大。,多片NURBS模型的等几何分析方法,3,控制点上等效载荷,受载边方向上单变量NURBS基函数,受力点上载荷,相关控制点个数,带孔结构的等几何分析方法,施
7、加均布压力后，经过等几何分析得出的变形示意图（放大50倍）和Von Mises应力云图。多片NURBS模型的等几何分析方法需要对分析模型人为地进行划分，这样CAGD文件中的NURBS信息就会被舍弃，违背了等几何分析方法将CAGD与FEA结合起来的初衷。而且还要耗费时间来构造多片NURBS模型，不利于程序的集成化和自动化,多片NURBS模型的等几何分析方法,3,带孔结构的等几何分析方法,对于含孔的复杂几何模型，CAGD文件里提供的是一个未修剪的张量积形式的NURBS参数空间和一组用于修剪此参数空间的NURBS曲线。为了将CAGD的NURBS信息直接应用于FEA，需要在等几何分析方法中引入NURB
8、S修剪技术。 修剪原理就是在参数空间上进行修剪，不再保持参数空间的完整性。这样，参数空间就出现了孔洞和非矩形单元。,含NURBS修剪技术的等几何分析方法,3,物理空间,参数空间,带孔结构的等几何分析方法,由于其参数空间经过了一组曲线的修剪，有些单元（被修剪单元）已不再是矩形单元，所以关键问题在于辨别被修剪单元并对其进行精确的数值积分。,含NURBS修剪技术的等几何分析方法,3,带孔结构的等几何分析方法,先进行全局单元细分，再辨别被修剪单元并将之分解成三角形单元，然后筛选出有作用控制点（依据基函数的局部支撑性）。,含NURBS修剪技术的等几何分析方法,3,带孔结构的等几何分析方法,含有曲面修剪技
9、术的等几何分析，通过在参数空间上的修剪，以映射出物理空间中被修剪的曲面，只用一个参数空间就可以表示任意复杂的几何模型。此方法不仅能将CAGD的NURBS信息直接应用于FEA，而且也消去了多片NURBS模型的等几何分析中分片之间应力不连续的现象，保证了单元之间的高阶连续。涉及到被修剪单元的辨别和曲边三角形的积分，计算较复杂。尤其是边界条件施加在被修剪的曲线边界上，需要处理的问题更多。,含NURBS修剪技术的等几何分析方法,3,目录,目录,基于等几何方法的优化,等几何分析方法的一个重要优点就是把CAGD、FEA和结构优化统一起来。在结构优化中，可以直接将控制点的坐标和权系数作为优化变量，根据优化后
10、的控制点坐标和权系数，可以简便精确地得到优化后的几何形状，省去了一系列模型转换过程。 由于在参数空间不改变的情况下（即单元划分不变），物理空间的几何模型会随着控制点和权系数的变化而发生变化，这使得基于等几何分析的优化方法在优化过程中不用重新划分单元就可以得到优化后的形状，极大地节约了机时。,优化手段,4,基于等几何方法的优化,孔形优化设计,4,圆圈标记的控制点记为变化控制点（variable control point），其坐标为优化变量。 矩形框住的控制点记为联合控制点（conjunct control point），其坐标改变规律与变化控制点对称。 模型最外边界上的控制点记为固定控制点（f
11、ixed control point）,其坐标不变，以保证模型边界固定。 其余控制点记为连接控制点（linked control point）,按照与变化控制点和联合控制点的远近进行等比例调节，以保证物理空间单元均匀。,基于等几何方法的优化,以单元最大Von Mises应力最小为优化目标，保证圆孔面积不变小，优化数学模型用下式表达为,孔形优化设计,4,变化控制点的坐标向量,带孔平板的面积,带孔平板初始面积,圆心到边界的距离,目录,目录,结论与展望,结论,5,等几何分析方法通过NURBS技术将CAGD、FEA和结构优化结合起来，省去了繁琐的模型转换，有着极大地发展前景。 在进行模型分析时，等几何
12、分析方法可直接对CAGD的模型进行求解，如果模型复杂，可采用多片NURBS或者对NURBS参数空间进行修剪。 在进行结构优化时，等几何分析方法可直接优化控制点信息，不需重新进行单元划分，而且优化后的边界是光滑连续的。,尚不能简单灵活地对复杂模型进行分析,不足,结论与展望,展望,5,等几何分析还可将平面问题方便地转化为三维壳问题，区别只在于控制点是否位于同一平面内，而用于分析计算的参数空间依旧为二维平面。 由于NURBS的光滑特性，等几何分析无需像有限元分析方法为保证单元表面的协调一致性而引入旋转自由度，极大简化了薄壳的分析过程。 下一阶段可采用等几何分析方法对壳体中的孔进行形状优化。,Than
13、k you for your attention!,附录A：含NURBS修剪技术的等几何分析方法,辨别被修剪单元,为了辨别被修剪单元，需要先依据修剪曲线的方向法则来判断参数空间中的任意一点是否在分析区域。规定将内部区域修剪掉的曲线为顺时针方向，将外部区域修剪掉的曲线为逆时针方向，曲线上任意一点的切向量方向与曲线方向一致。 通过判断参数空间中的点所对应的叉积方向，就可以得到点与分析区域的关系。,附录A：含NURBS修剪技术的等几何分析方法,辨别被修剪单元,通过判断单元的中心点和四个顶点与分析区域的关系，就可以辨别该单元是否为被修剪单元。 辨别过程分为两步： 判断单元中心点到修剪曲线的最近距离 找
14、出修剪曲线上与单元顶点距离最近的四个点,附录A：含NURBS修剪技术的等几何分析方法,被修剪单元上的数值积分,需要将其分解为三角形单元，被修剪单元按照其顶点在分析区域的个数分为三种类型，每种类型对应着不同的分解形式。 如被修剪单元同时被多条修剪曲线修剪，或者修剪曲线只对被修剪单元的某一边进行了修剪等，这时就要采用四叉树法先把单元细化成上述三种类型。,附录A：含NURBS修剪技术的等几何分析方法,被修剪单元上的数值积分,先计算出三角形在修剪曲线上的顶点坐标 再按照三角形的高斯积分方法和修正的积分方法NEFEM分别对直边三角形单元和曲面三角形单元进行数值积分,直边三角形单元的数值积分,曲边三角形单
15、元的数值积分,附录A：含NURBS修剪技术的等几何分析方法,其余需要注意的问题,对于几何外形比较复杂的分析模型，其物理空间的边界由参数空间的修剪曲线映射而成。 NURBS曲面与修剪曲线的使用参数没有直接的解析关系。如果边界条件直接施加在修剪曲线上，需要做一定处理使之等效转换在被修剪NURBS曲面上。 如果边界条件只是施加在修剪曲线上的一部分时则要进行节点反求和插值细化。,附录B：等几何分析方法一般过程,与等参元分析方法类比,等几何分析方法的控制点对应于有限元中的节点；等几何分析的NURBS基函数对应于有限元中的形函数；等几何分析方法在物理空间中的每个区域对应于有限元的单元，它由参数空间中的区域
16、映射而成；等几何分析过程可参照等参元的求解步骤；由于NURBS曲面中每个区域的基函数是不同的，所以等几何分析的求解过程要比等参元繁琐。,附录B：等几何分析方法一般过程,等几何分析过程,以第k个单元的计算为例,参考文献,1 T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs, Isogeometric analysis: Cad, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement, Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg. 194 (3941) (2005) 4134
17、195. 2 J.A. Cottrell, T.J.R. Hughes, Y. Bazilevs, Isogeometric Analysis: Toward Integration of CAD and FEA, Wiley, Chi Chester (2009). 3 S. Lipton, J.A. Evans, Y. Bazilevs, T. Elguedj, T.J.R. Hughes, Robustness of isogeometric structural discretizations under severe mesh distortion, Comput. Methods
18、Appl. Mech. Engrg. 199 (2010) 357373. 4 H.J. Kim, Y.D. Seo, S.K. Youn, Isogeometric analysis for trimmed CAD surfaces, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 198 (2009) 29822995. 5 K. Reed, Jr., D. Harrod, W. Conroy, The Initial Graphics Exchange Specification(IGES) (Version 5.0), US Department of Comme
19、rce, 1990. 6 W.A. Wall, M.A. Frenzel, C. Cyron, Isogeometric structural shape optimization, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 197 (2008) 29762988. 7 A.P. Nagy, M.M. Abdalla, Z. Gurdal, Isogeometric sizing and shape optimization of beam structures, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 199 (2010) 12161230. 8 Y.D. Seo, H.J. Kim, S.K. Youn, Shape optimization and its extension to topological design based on isogeometric analysis, Int. J. Solids Struct. 47 (2010) 16181640. 9 L. Piegl, W. Tiller, The NURBS Book (Monographs in Visual Communication), Springer-Verlag, New York, 1997.,
