1、第 1 页（共 29 页）浙江省杭州高级中学 2015-2016 学年高一新生分班模拟考试数学试题一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列结论正确的是（ ）A3a 2ba2b=2B单项式x 2 的系数是 1C使式子 有意义的 x 的取值范围是 x 2D若分式 的值等于 0，则 a=12在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D3如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中 AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）A B C D4今年，我省启动了“ 关爱留守儿童工程”某村小为了了
2、解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10， 15， 10，17，18 ，20对于这组数据，下列说法错误的是（ ）A平均数是 15 B众数是 10 C中位数是 17 D方差是5如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到ACB，则 tanB的值为（ ）第 2 页（共 29 页）A B C D6如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆 O 的直径 AB=100，在半圆弧上有一运动员C 从 B 点沿半圆周匀速运动到 M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到 A 点停止
3、设运动时间为 t，点 B 到直线 OC 的距离为 d，则下列图象能大致刻画 d 与 t 之间的关系是（ ）A B C D7如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边在第一象限作正方形 ABCD，点 D 在双曲线 （k 0）上将正方形沿 x 轴负方向平移 a 个单位长度后，点 C 恰好落在该双曲线上，则 a 的值是（ ）A1 B2 C3 D48如图，分别过点 Pi（i，0）（i=1、2、n）作 x 轴的垂线，交 的图象于点Ai，交直线 于点 Bi则 的值为（ ）第 3 页（共 29 页）A B2 C D二、填空题9.如图，AB=AC，B
4、AC=120 ，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，那么ADC= 度10定义新运算“*” 规则：a*b= ，如 1*2=2， * = ，若 x2+x1=0 两根为x1，x 2，则 x1*x2= 11二次函数 y=ax2+bx+c（a0 ）的图象如图所示，对称轴为 x=1，给出下列结论：abc0；b 2=4ac；4a +2b+c0；3a+c0 ，其中正确的结论是 （写出正确命题的序号）12已知两个正数 a，b，可按规则 c=ab+a+b 扩充为一个新数 c 在 a，b，c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1 ）若 a=1，b
5、=3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；（2 ）若 pq 0，经过 6 次操作后扩充所得的数为（q+1） m（p+1） n1（m，n 为正整数），则 m+n 的值为 第 4 页（共 29 页）三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）13先化简，再求值：（ + ） ，其中 a= 1（2 ）已知关于 x，y 的二元一次方程 的解满足 xy ，求 m 的取值范围14 2015 年 1 月，市教育局在全市中小学中选取了 63 所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随
6、机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图根据上述信息，解答下列问题：（1 ）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角 等于 ；补全统计直方图；（2 ）被抽取的学生还要进行一次 50 米跑测试，每 5 人一组进行在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率15已知，如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点， OFBC 于点 F，交O 于点E，AE 与 BC 交于点 H，点 D 为 OE 的延长线上一点，且ODB=AEC（1 ）求证：BD 是O 的切线；（2 ）求证：CE 2
7、=EHEA；（3 ）若O 的半径为 5，sinA= ，求 BH 的长第 5 页（共 29 页）16大学毕业生小王响应国家“自主创业” 的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件 40 元，售价为每件 60元，每月可卖出 300 件市场调查反映：调整价格时，售价每涨 1 元每月要少卖 10 件；售价每下降 1 元每月要多卖 20 件为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为 60+x（元/ 件）（x0 即售价上涨， x0 即售价下降），每月饰品销量为 y（件），月利润为 w（元）（1 ）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2 ）如何确定销
8、售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3 ）为了使每月利润不少于 6000 元应如何控制销售价格？17如图，把两个全等的 RtAOB 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在 x 轴上已知点 A（1 ，2），过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点E、F抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点（1 ）求该抛物线的函数解析式；（2 ）点 P 为线段 OC 上一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3 ）若A
9、OB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合），AOB 在平移过程中与COD 重叠部分面积记为 S试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由第 6 页（共 29 页）第 7 页（共 29 页）浙江省杭州高级中学 2015-2016 学年高一新生分班模拟考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列结论正确的是（ ）A3a 2ba2b=2B单项式x 2 的系数是 1C使式子 有意义的 x 的取值范围是 x 2D若分式 的值等于 0，则
10、a=1【考点】二次根式有意义的条件；合并同类项；分式的值为零的条件菁优网版权所有【分析】根据二次根式有意义的条件、单项式、合并同类项、分式有意义的条件解答【解答】解：3a 2ba2b=2a2b，A 错误；单项式x 2 的系数是 1，B 正确；使式子 有意义的 x 的取值范围是 x2，C 错误；若分式 的值等于 0，则 a=1，错误，故选：B2在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；
11、第 8 页（共 29 页）C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确故选 D3如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中 AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）A B C D【考点】剪纸问题菁优网版权所有【分析】根据题意直接动手操作得出即可【解答】解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：故选 A4今年，我省启动了“ 关爱留守儿童工程”某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10， 15， 10，17，18 ，20对于这组数据，下列说法
12、错误的是（ ）A平均数是 15 B众数是 10 C中位数是 17 D方差是【考点】方差；加权平均数；中位数；众数菁优网版权所有【分析】根据方差、众数、平均数和中位数的计算公式和定义分别进行解答即可【解答】解：平均数是：（10+15+10 +17+18+20）6=15；10 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 10；把这组数据从小到大排列为 10，10，15 ，17，18，20，第 9 页（共 29 页）最中间的数是（15+17 ）2=16，则中位数是 16；方差是： 2（10 15） 2+（ 1515） 2+（1715） 2+（1815） 2+（20 15） 2= = 则下列说法错误的是
13、 C故选：C5如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到ACB，则 tanB的值为（ ）A B C D【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】过 C 点作 CDAB，垂足为 D，根据旋转性质可知，B=B，把求 tanB的问题，转化为在 RtBCD 中求 tanB【解答】解：过 C 点作 CD AB，垂足为 D根据旋转性质可知，B=B在 Rt BCD 中，tanB= = ，tanB=tanB= 故选 B6如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆 O 的直径 AB=100，在半圆弧上有一运动员C 从 B 点沿半圆周匀速运动到
14、 M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到 A 点停止设运动时间为 t，点 B 到直线 OC 的距离为 d，则下列图象能大致刻画 d 与 t 之间的关系是（ ）第 10 页（共 29 页）A B C D【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】设运动员 C 的速度为 v，则运动了 t 的路程为 vt，设BOC= ，当点 C 从运动到M 时，当点 C 从 M 运动到 A 时，分别求出 d 与 t 之间的关系即可进行判断【解答】解：设运动员 C 的速度为 v，则运动了 t 的路程为 vt，设BOC= ，当点 C 从运动到 M 时，vt=
15、= ，= ，在直角三角形中，d=50sin=50sin =50sin t，d 与 t 之间的关系 d=50sin t，当点 C 从 M 运动到 A 时，d 与 t 之间的关系 d=50sin（180 t），故选：C7如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边在第一象限作正方形 ABCD，点 D 在双曲线 （k 0）上将正方形沿 x 轴负方向平移 a 个单位长度后，点 C 恰好落在该双曲线上，则 a 的值是（ ）第 11 页（共 29 页）A1 B2 C3 D4【考点】反比例函数综合题菁优网版权所有【分析】作 CEy 轴于点 E，交双曲
16、线于点 G作 DFx 轴于点 F，易证OABFDABEC，求得 A、B 的坐标，根据全等三角形的性质可以求得 C、D 的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得 G 的坐标，则 a 的值即可求解【解答】解：作 CEy 轴于点 E，交双曲线于点 G作 DFx 轴于点 F在 y=3x+3 中，令 x=0，解得：y=3，即 B 的坐标是（0 ，3）令 y=0，解得：x=1，即 A 的坐标是（1，0 ）则 OB=3，OA=1BAD=90，BAO+DAF=90，又直角ABO 中，BAO+OBA=90，DAF=OBA，在OAB 和FDA 中，OABFDA（AAS），同理，OABFDABEC
17、，AF=OB=EC=3 ，DF=OA=BE=1，故 D 的坐标是（4，1），C 的坐标是（3 ，4）代入 y= 得：k=4，则函数的解析式是：y=OE=4 ，则 C 的纵坐标是 4，把 y=4 代入 y= 得：x=1即 G 的坐标是（1 ，4），第 12 页（共 29 页）CG=2 故选：B8如图，分别过点 Pi（i，0）（i=1、2、n）作 x 轴的垂线，交 的图象于点Ai，交直线 于点 Bi则 的值为（ ）A B2 C D【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型【分析】根据 Ai 的纵坐标与 Bi 纵坐标的绝对值之和为 AiBi 的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消
18、即可得到结果【解答】解：根据题意得：A iBi= x2（ x）= x（x +1）， = =2（ ）， + +=2（1 + + ）= 故选 A二、填空题9.如图，AB=AC，BAC=120，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，那么ADC= 60 度第 13 页（共 29 页）【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的外角性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由三角形的外角性质知ADC=BAD+B ，又已知 BAC=120，根据三角形内角和定理易得B，而 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，根据垂直平分线的性质知BAD= B，从而得解【解答】解：由 AB=AC，BAC=120，可得B=30 ，因
19、为点 D 是 AB 的垂直平分线上的点，所以 AD=BD，因而BAD= B=30 ，从而ADC=60 度10定义新运算“*” 规则：a*b= ，如 1*2=2， * = ，若 x2+x1=0 两根为x1，x 2，则 x1*x2= 【考点】根与系数的关系菁优网版权所有【专题】新定义【分析】根据公式法求得一元二次方程的两个根，然后根据新运算规则计算 x1*x2 的值则可【解答】解：在 x2+x1=0 中，a=1， b=1，c= 1，b 24ac=50 ，所以 x1= ，x 2= 或 x1= ，x 2= ，第 14 页（共 29 页）x 1*x2= * = ，故答案为 11二次函数 y=ax2+bx
20、+c（a0 ）的图象如图所示，对称轴为 x=1，给出下列结论：abc0；b 2=4ac；4a +2b+c0；3a+c0 ，其中正确的结论是 （写出正确命题的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与 x 轴交点个数，以及 x=1，x=2 对应 y 值的正负判断即可【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到 a0；与 y 轴交于负半轴，得到 c0，对称轴在 y 轴右侧，且 =1，即 2a+b=0，a 与 b 异号，即 b0，abc0，选项正确；二次函数图象与 x 轴有两个交点，=b 24ac0，即 b24ac，选项 错误；原点 O 与对称轴的对
21、应点为（2，0 ），x=2 时，y 0，即 4a+2b+c0，选项错误；x=1 时，y 0，a b+c0，把 b=2a 代入得： 3a+c0，选项正确，故答案是：第 15 页（共 29 页）12已知两个正数 a，b，可按规则 c=ab+a+b 扩充为一个新数 c 在 a，b，c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1 ）若 a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 255 ；（2 ）若 pq 0，经过 6 次操作后扩充所得的数为（q+1） m（p+1） n1（m，n 为正整数），则 m+n 的值为 21 【考点】推理与
22、论证菁优网版权所有【分析】（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次： c=7；第二次 c=31；第三次 c=255；（2 ） pq 0 第一次得：c 1=pq+p+q=（q+1 ）（p+1）1；第二次得：c 2=（p+1） 2（q+1）1；所得新数大于任意旧数，故经过 6 次扩充，所得数为：（q+1） 8（p+1） 131，故可得结论【解答】解：（1）a=1，b=3 ，按规则操作三次，第一次：c=ab+a+b=13+1+3=7；第二次，73 1 所以有：c=37+3 +7=31；第三次：3173 所以有：c=7 31+7+31=255；（2 ） pq 0 第一次得：c 1=pq+p+q=（
23、q+1）（p+1 ）1；因为 c pq，所以第二次得：c 2=（c 1+1）（p+1 ）1=（ pq+p+q）p+p+（pq +p+q）=（p+1） 2（q +1）1；所得新数大于任意旧数，所以第三次可得 c3=（c 2+1）（c 1+1）1=（p+1 ） 3（q+1） 21第四次可得：c 4=（c 3+1）（c 21）1=（p+1） 5（q+1 ） 31；第五次可得：c 5=（p+1） 8（q+1 ） 51；故经过 6 次扩充，所得数为：（ q+1） 8（p+1） 131m=8，n=13，m+n=21故答案为：255；21 第 16 页（共 29 页）三、解答题（本大题共 5 小题，共 60
24、 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）13（ 1）先化简，再求值：（ + ） ，其中 a= 1（2 ）已知关于 x，y 的二元一次方程 的解满足 xy ，求 m 的取值范围【考点】分式的化简求值；二元一次方程组的解；解一元一次不等式菁优网版权所有【分析】（1）先将括号内通分，计算加法、同时将除法转化为乘法，再约分即可得；（2 ）先将 m 看做已知的常数解方程组，再根据 xy 得出关于 m 的不等式，解之可得【解答】解：（1）原式= + = = = ，当 a= 1 时，原式= = ；（2 ）解方程组 得： ，xy，m ，解得：m 14 2015 年 1 月，市教育局在全市中小学中选取
25、了 63 所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图第 17 页（共 29 页）根据上述信息，解答下列问题：（1 ）本次抽取的学生人数是 30 ；扇形统计图中的圆心角 等于 144 ；补全统计直方图；（2 ）被抽取的学生还要进行一次 50 米跑测试，每 5 人一组进行在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概
26、率菁优网版权所有【分析】（1）根据题意列式求值，根据相应数据画图即可；（2 ）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可【解答】解：（1）620%=30，（303 762）30360=1230 26=144，答：本次抽取的学生人数是 30 人；扇形统计图中的圆心角 等于 144；故答案为：30，144；补全统计图如图所示：（2 ）根据题意列表如下：设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，小红 小花 1 2 3 4 51 （2，1） （3 ，1 ） （4 ，1 ） （5，1）2 （1 ，2 ） （3 ，2 ） （4 ，2 ） （5，2）3 （1 ，3 ） （2，3） （4 ，3 ） （5，
27、3）4 （1 ，4 ） （2，4） （3 ，4 ） （5，4）5 （1 ，5 ） （2，5） （3 ，5 ） （4 ，5 ）第 18 页（共 29 页）记小红和小花抽在相邻两道这个事件为 A， 15已知，如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点， OFBC 于点 F，交O 于点E，AE 与 BC 交于点 H，点 D 为 OE 的延长线上一点，且ODB=AEC（1 ）求证：BD 是O 的切线；（2 ）求证：CE 2=EHEA；（3 ）若O 的半径为 5，sinA= ，求 BH 的长【考点】圆的综合题菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出 ODB=ABC，再证出
28、ABC+DBF=90，即OBD=90，即可得出 BD 是O 的切线；（2 ）连接 AC，由垂径定理得出 ，得出CAE= ECB，再由公共角CEA=HEC，证明CEH AEC，得出对应边成比例 ，即可得出结论；（3 ）连接 BE，由圆周角定理得出AEB=90，由三角函数求出 BE，再根据勾股定理求出EA，得出 BE=CE=6，由（2 ）的结论求出 EH，然后根据勾股定理求出 BH 即可第 19 页（共 29 页）【解答】（1）证明：ODB=AEC，AEC=ABC，ODB=ABC，OFBC，BFD=90，ODB+DBF=90 ，ABC +DBF=90，即OBD=90，BD OB，BD 是 O 的切
29、线；（2 ）证明：连接 AC，如图 1 所示：OFBC， ，CAE=ECB，CEA=HEC ，CEH AEC， ，CE 2=EHEA；（3 ）解：连接 BE，如图 2 所示：AB 是 O 的直径，AEB=90，O 的半径为 5，sinBAE= ，AB=10，BE=ABsinBAE=10 =6，EA= = =8， ，BE=CE=6，CE 2=EHEA，EH= = ，第 20 页（共 29 页）在 Rt BEH 中，BH= = = 16大学毕业生小王响应国家“自主创业” 的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件 40 元，售价为每件 60元
30、，每月可卖出 300 件市场调查反映：调整价格时，售价每涨 1 元每月要少卖 10 件；售价每下降 1 元每月要多卖 20 件为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为 60+x（元/ 件）（x0 即售价上涨， x0 即售价下降），每月饰品销量为 y（件），月利润为 w（元）（1 ）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2 ）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3 ）为了使每月利润不少于 6000 元应如何控制销售价格？【考点】二次函数的应用菁优网版权所有【分析】（1）直接根据题意售价每涨 1 元每月要少卖 10 件；售价每下降 1 元每月要多卖20 件，进而得出等量关系；（2
31、）利用每件利润销量= 总利润，进而利用配方法求出即可；（3 ）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案【解答】解：（1）由题意可得： y= ；第 21 页（共 29 页）（2 ）由题意可得：w= ，化简得：w= ，即 w= ，由题意可知 x 应取整数，故当 x=2 或 x=3 时，w6125，x=5 时，W=6250，故当销售价格为 65 元时，利润最大，最大利润为 6250 元；（3 ）由题意 w6000 ，如图，令 w=6000，将 w=6000 带入20x 0 时对应的抛物线方程，即 6000=20（x+ ） 2+6125，解得：x 1=5，将 w=6000 带入 0x30
32、时对应的抛物线方程，即 6000=10（x 5） 2+6250，解得 x2=0，x 3=10，综上可得，5 x10，故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间（含 55 元和 70 元）才能使每月利润不少于 6000元17如图，把两个全等的 RtAOB 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边第 22 页（共 29 页）OB、OD 在 x 轴上已知点 A（1 ，2），过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点E、F抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点（1 ）求该抛物线的函数解析式；（2 ）点 P 为线段 OC 上一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于
33、点 M，交 x 轴于点N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3 ）若AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合），AOB 在平移过程中与COD 重叠部分面积记为 S试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】方法一：（1 ）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、A 、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；（2 ）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出 t
34、 的值，从而可解结论：存在点 P（ ， ），使得四边形 ABPM 为等腰梯形；（3 ）本问关键是求得重叠部分面积 S 的表达式，然后利用二次函数的极值求得 S 的最大值解答中提供了三种求解面积 S 表达式的方法，殊途同归，可仔细体味方法二：（1 ）略（2 ）因为四边形 ABPM 为等腰梯形，只需 AM=BP，且 AM 与 BP 不平行，利用两点间距离公式可求解（3 ）设 A参数坐标，利用直线方程分别求出 R，Q，K，T 的参数坐标，根据 S=SQOTS第 23 页（共 29 页）ROK，求出 S 的面积函数，并求出 S 的最大值【解答】方法一：解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O
35、、A 、C，可得 c=0， ，解得 a= ，b= ，抛物线解析式为 y= x2+ x（2 ）设点 P 的横坐标为 t，PNCD，OPN OCD，可得 PN=P（t， ），点 M 在抛物线上，M（t， t2+ t）如解答图 1，过 M 点作 MGAB 于 G，过 P 点作 PHAB 于 H，AG=yAyM=2（ t2+ t）= t2 t+2，BH=PN= 当 AG=BH 时，四边形 ABPM 为等腰梯形， t2 t+2= ，化简得 3t28t+4=0，解得 t1=2（不合题意，舍去），t 2= ，点 P 的坐标为（ ， ）存在点 P（ ， ），使得四边形 ABPM 为等腰梯形（3 ）如解答图 2
36、，AOB 沿 AC 方向平移至AOB，AB交 x 轴于 T，交 OC 于 Q，AO 交x 轴于 K，交 OC 于 R求得过 A、C 的直线为 yAC=x+3，可设点 A的横坐标为 a，则点 A（a， a+3），易知OQT OCD ，可得 QT= ，点 Q 的坐标为（a， ）解法一：设 AB 与 OC 相交于点 J，第 24 页（共 29 页）ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比， =HT= = =2a，KT= AT= （3a ），AQ=yAyQ=（a+3 ） =3 aS 四边形 RKTQ=SAKT SARQ= KTAT AQHT= （3a） （3 a）（a+2 ）= a2+ a = （
37、a ） 2+由于 0，当 a= 时，S 四边形 RKTQ 最大 = ，在线段 AC 上存在点 A（ ， ），能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 解法二：过点 R 作 RHx 轴于 H，则由ORHOCD，得 由RKH AOB，得 由，得 KH= OH，OK= OH，KT=OTOK=a OH 由AKTAOB，得 ，则 KT= 由，得 =a OH，即 OH=2a2，RH=a 1，所以点 R 的坐标为 R（2a 2，a1 ）S 四边形 RKTQ=SQOT SROK = OTQT OKRH第 25 页（共 29 页）= a a （1+ a ） （a 1）= a2+ a = （a ） 2+由于 0
38、，当 a= 时，S 四边形 RKTQ 最大 = ，在线段 AC 上存在点 A（ ， ），能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 解法三：AB=2 ，OB=1，tanOAB=tanOAB= ，KT=ATtan OAB=（a+3） = a+ ，OK=OT KT=a（ a+ ）= a ，过点 R 作 RHx 轴于 H，cotOAB=tanRKH= =2，RH=2KH又tanOAB=tanROH= = = ，2RH=OK+KH= a + RH，RH=a1，OH=2（a1 ），点 R 坐标 R（2a 2，a1）S 四边形 RKTQ=SAKT SARQ = KTAT AQ（x QxR）= （3a） （
39、3 a）（a+2 ）= a2+ a = （a ） 2+由于 0，当 a= 时，S 四边形 RKTQ 最大 = ，第 26 页（共 29 页）在线段 AC 上存在点 A（ ， ），能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 方法二：（1 ）略（2 ） C （2，1 ），l OC：y= x，设 P（t ， ），M（t， ），四边形 ABPM 为等腰梯形，AM=BP 且 AM 不平行 BP，（t1） 2+（2+ ） 2=（t1） 2+（ ） 2，2 + = （无解）或 2+ = ，t 1=2（舍），t 2= ，P（ ， ）（3 ） A（1 ，2），C（2，1），l AC：y= x+3，设 A（ t，3t ），Q（t， ），T（t，0），OA OA，K OA=KOA=2，l OA： y=2x+33t，l OC：y= x，R（2t 2，t1），K（ ，0），S=S QOT SROK = = ，t= 时，S 有最大值 第 27 页（共 29 页）第 28 页（共 29 页）第 29 页（共 29 页）
