1、- 1 -2018 届高三模拟考试试卷数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)20185参考公式：锥体的体积公式：V Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高13一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 已知集合 A0，1，2，3，Bx|x 2x20，则 AB_.2. 若复数 z1i，则 z 的虚部是_1z3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为 1 400 辆、5 600 辆、2 000 辆为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 45 辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件4. 设变量 x，y 满足约束条件
2、则目标函数 z2xy 的最大值是_x 1 0，x y 1 0，x y 3 0)5. 小明随机播放 A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则 A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是_6. 如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是_(第 6 题)(第 7 题)7. 如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1的各条棱 长均为 2，D 为棱 B1C1上任意一点，则三棱锥 DA 1BC 的体积是- 2 -_8. 已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方程是 y2x，它的一个焦点与抛物线 y220x 的焦点相x2a2 y2b2同，则双曲线的方程是_9. 若直线 y2xb 是曲线 ye x2 的切线，则实
3、数 b_.10. “a1”是“函数 f(x) sin xa 2为奇函数”的_条件(选填“充分不必要” “必要不x 1x充分” “充要”或“既不充分也不必要”)11. 在数列a n中，若 a41，a 125，且任意连续三项的和都是 15，则 a2 018_.12. 已知直线 xyb0 与圆 x2y 29 交于不同的两点 A，B.若 O 是坐标原点，且| | | |，则OA OB 22 AB 实数 b 的取值范围是_13. 在ABC 中，已知 2 3 ，则 cos C 的最小值是_AB AC BA BC CA CB 14. 已知函数 f(x)x 33x 21，g(x) 若方程 g(f(x)a0(a
4、0)有 6 个实数x2 x 54， x0， x2 6x 8， x 0.)根(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)已知 A，B，C 是ABC 的三个内角，向量 m(1， )， n(cos A，sin A)，且 mn1.3(1) 求 A 的值；(2) 若 3，求 tan C 的值1 sin 2Bcos2B sin2B16. (本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上(异于点 P，C)，平面 ABE 与棱 PD 交于
5、点 F.(1) 求证：ABEF；(2) 若 AFEF，求证：平面 PAD平面 ABCD.- 3 -17. (本小题满分 14 分)如图，A，B，C 三个警亭有直道相通，已知 A 在 B 的正北方向 6 千米处，C 在 B 的正东方向 6 千米处3(1) 警员甲从 C 出发，沿 CA 行至点 P 处，此时CBP45，求 PB 的距离；(2) 警员甲从 C 出发沿 CA 前往 A，警员乙从 A 出发沿 AB 前往 B，两人同时 出发，甲的速度为 3 千米/小时，乙的速度为 6 千米/小时两人通过专用对讲机保持联系，乙到达 B 后原地等待，直到甲到达 A 时任务结束若对讲机的有效通话距离不超过 9
6、千米，试求两人通过对讲机能保持联系的总时长18. (本小题满分 16 分)如图，已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，若椭圆 C 经过点(0， )，离心率为 ，x2a2 y2b2 3 12直线 l 过点 F2与椭圆 C 交于 A，B 两点(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若点 N 为F 1AF2的内心(三角形三条内角平分线的交点)，求F 1NF2与F 1AF2面积的比值；(3) 设点 A，F 2，B 在直线 x4 上的射影依次为点 D，G, E连结 AE，BD，试问：当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T？若是，请求出定点 T 的坐标；若
7、不是，请说明理由- 4 -19. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)ln xaxa，aR.(1) 若 a1，求函数 f(x)的极值；(2) 若函数 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围；(3) 对于曲线 yf(x)上的两个不同的点 P(x1，f(x 1)，Q(x 2，f(x 2)，记直线 PQ 的斜率为 k，若 yf(x)的导函数为 f (x)，证明：f k.(x1 x22 )20. (本小题满分 16 分)已知等差数列a n和等比数列b n均不是常数列，若 a1b 11，且 a1， 2a2，4a 4成等比数列，4b 2，2b 3，b 4成等差数列(1) 求a n和b n的通项公式；
8、(2) 设 m，n 是正整数，若存在正整数 i，j，k(ijk)，使得 ambj，a manbi，a nbk成等差数列，求 mn 的最小值；(3) 令 cn ，记c n的前 n 项和为 Tn， 的前 n 项和为 An.若数列p n满足 p1c 1，且对n2，nN *，anbn 1an都有 pn A ncn，设p n的前 n 项和为 Sn，求证：S n44ln n.Tn 1n- 5 -2018 届高三模拟考试试卷(十九)数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分若多做，则按作答的前两题计分解答时
9、应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修 41：几何证明选讲)在ABC 中，已知 AC AB，CM 是ACB 的平分线，AMC 的外接圆交 BC 边于点 N，求证：BN2AM.12B. (选修 42：矩阵与变换)已知矩阵 M 的一个特征值为 3，求 M 的另一个特征值1 22 xC. (选修 44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆 C：2 cos 和直线 l： (R)相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长2 4D. (选修 45：不等式选讲)已知 a0，b0，ab1，求证： .12a 1 42b 1 94- 6 -【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分
10、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，设 P1，P 2，P 6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量 S.(1) 求 S 的概率；32(2) 求 S 的分布列及数学期望 E(S)23. 设集合 A，B 是非空集合 M 的两个不同子集(1) 若 Ma 1，a 2，且 A 是 B 的子集，求所有有序集合对(A，B)的个数；(2) 若 Ma 1，a 2，a 3，a n，且 A 的元素个数比 B 的元素个数少，求所有有序集合对(A，B)的个数- 7 -2018 届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. 0， 1 2. 3
11、. 10 4. 5 5. 6. 4 7. 8. 1 9. 2ln 2 10. 充分不必要 12 710 233 x25 y22011. 9 12. (3 ， ，3 ) 13. 14. 2 6 6 223 (1， 54)15. 解：(1) 因为 mn1，所以(1， )(cos A，sin A)1，即 sin Acos A1，(2 分)3 3则 2 1，即 sin .(4 分 )(sin A32 cos A12) (A 6) 12又 00，1x 1 axx当 a0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，无极值；(2 分)当 a0 时，x ，f(x)0，f(x)在 上单调递增，(0，1a)
12、(0， 1a)x ，f(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，函数 g(x)有最小值 g(1)0.若要使函数 f(x)有两个零点，必须满足 a0 且 a1.(6 分)下面证明 a0 且 a1 时，函数有两个零点因为 f(1) 0，所以下面证明 f(x)还有另一个零点 当 00，(1a)f 2ln aa .(1a2) 1a 2aln a a2 1a 2aln a a2 1a令 h(a)2aln aa 21(0h(1)0，则 f 1 时，f aln a10，(1a)f aa aa a，可得 1)，则 h(t) 0， 2，则有 mn6；1n 2m所以 mn 的最小值为 6，当且仅当 ji1，ki2，
13、且 或 时取得. (10 分)m 4，n 2) m 3，n 3)(3) 由题意，得 p2 c2，p 3 c3，c12 (1 12) c1 c23 (1 12 13)Snp 1p 2p 3p n (c1c 2c 3c n)(11 分)(112 13 1n) Tn.(112 13 1n)Tnc 1c 2c 3c n ，Tn c1 c2 cn .12 12 12 12，得 Tn1 22 n ，(12 分)12 12 14 18 12n 1 n2n (12)n (12)n 解得 T n4(n2) 1)，则 f(x) 0，1x 1x 1x2 x 1x2所以 f(x)在(1，)上单调递增，有 f(x)f(
14、1)0，可得 ln x1 . (14 分)1x当 k2，且 kN *时， 1，有 ln 1 ，kk 1 kk 1 k 1k 1k所以 ln ， ln ， ln ，12 21 13 32 1n nn 1可得 1 1ln ln ln 1ln n，12 13 1n 21 32 nn 1所以 Sn4 44ln n. (16 分)(112 13 1n)- 12 -2018 届高三模拟考试试卷数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明： 在ABC 中，因为 CM 是ACB 的平分线，所以 .ACBC AMBM又 AC AB，所以 .(4 分)12 ABBC 2AMBM因为 BA 与 BC 是圆 O 过
15、同一点 B 的弦，所以 BMBABNBC，即 .(8 分)ABBC BNBM由可知 ，所以 BN2AM.(10 分)2AMBM BNBMB. 解：矩阵 M 的特征多项式为 f() (1)(x)4. (3 分)| 1 2 2 x|因为 13 是方程 f()0 的一个根，所以(31)(3x)40，解得 x1. (6 分)由(1)(1)40，解得 1 或 3，所以 21. (10 分)C. 解：圆 C：2 cos 的直角坐标方程为 x2y 22 x0，即(x )2y 22.2 2 2直线 l： (R)的直角坐标方程为 yx，即 xy0.(6 分) 4圆心 C( ，0)到直线 l 的距离 d 1. (
16、8 分)2|2 0|2所以 AB2 2. (10 分)（ 2） 2 12D. 证明：(证法 1) 因为 a0，b0，ab1，所以 (2a1)(2b1)14 (12a 1 42b 1) 2b 12a 1 4（ 2a 1）2b 152 9. (8 分)2b 12a 14（ 2a 1）2b 1而(2a1)(2b1)4，所以 . (10 分)12a 1 42b 1 94(证法 2)因为 a0，b0，由柯西不等式得(2a1)(2b1)(12a 1 42b 1) ( 12a 12a 1 42b 12b 1)2 (12) 29. (8 分)由 ab1，得 (2a1)(2b1)4, 所以 .(10 分)12a
17、 1 42b 1 9422. 解：(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有 C 种不同选法，36其中 S 的为有一个角是 30的直角三角形(如P 1P4P5)，共 6212 种，32- 13 -所以 P . (3 分)(S32) 35(2) S 的所有可能取值为 ， ， .34 32 334S 的为顶角是 120的等腰三角形(如P 1P2P3)，共 6 种，所以 P . (5 分)34 (S 34) 310S 的为等边三角形(如P 1P3P5)，共 2 种，所以 P . (7 分)334 (S 334) 110又由(1)知 P ，故 S 的分布列为(S32) 35S 34 32 334
18、P 310 35 110所以 E(S) . (10 分)34 310 32 35 334 110 932023. 解：(1) 若集合 B 含有 2 个元素，即 Ba 1，a 2，则 A，a 1，a 2，则(A，B)的个数为 3；若集合 B 含有 1 个元素，则 B 有 C 种，不妨设 Ba 1，则 A，12此时(A，B)的个数为 C 12.12综上，(A，B)的个数为 5. (3 分)(2) 集合 M 有 2n个子集，又集合 A，B 是非空集合 M 的两个不同子集，则不同的有序集合对(A，B)的个数为 2n(2n1). (5 分)若 A 的元素个数与 B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(
19、A，B)的个数为C (C 1)C (C 1)C (C 1)C (C 1)0n 0n 1n 1n 2n 2n n n(C )2(C )2(C )2(C )2(C C C C ). (7 分)0n 1n 2n n 0n 1n 2n n又(x1) n(x1) n的展开式中 xn的系数为(C )2(C )2(C )2(C )2，0n 1n 2n n且(x1) n(x1) n(x1) 2n的展开式中 xn的系数为 C ，n2所以(C )2(C )2(C )2(C )2C .0n 1n 2n n n2因为 C C C C 2 n，所以当 A 的元素个数与 B 的元素个数一样多时，0n 1n 2n n有序集合对(A，B)的个数为 C 2 n.(9 分)n2所以当 A 的元素个数比 B 的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为 .(10 分)
