1、 1 习题一 1设 x 0 相对误差为 2%，求 x ，4x 的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式： ()() ()()() ()fx xf xfxfx fx = 得 （ 1） ()f xx= 时 11() ()() () *2%1%22xxxxxx=； （ 2）4()f xx= 时 444() ()()4()4*2%8%xxxxxx= 2设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。 （ 1） 12.1x=null ； （ 2） 12.10x=null ； （ 3） 12.100x=null 。 解：由教材9P 关于nu
2、ll12 12.mnxaaab b= nullnullnull 型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为： 3， 4， 5 3用十进制四位浮点数计算 （ 1） 31.97+2.456+0.1352； （ 2） 31.97+（ 2.456+0.1352） 哪个较精确？ 解： （ 1） 31.97+2.456+0.1352 21( (0.3197 10 0.2456 10 ) 0.1352)fl fl + + =2(0.3443 10 0.1352)fl + =0.3457210 （ 2） 31.97+（ 2.456+0.1352） 21(0.3197 10 (0.2456 10
3、)fl fl = (0.3197 10 0.2591 10 )fl + =0.3456210 易见 31.97+2.456+0.1352=0.345612210 ，故（ 2）的计算结果较精确。 2 4计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为 1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？ 解：设该正方形的边长为 x，面积为2()f xx= ，由()() ()()() ()fx xf xfxfx fx = 解得()()()( )f xfxxxf x =2() ()22f xx fxxx=i=0.5% 5下面计算 y 的公式哪个算得准确些？为什么？ （ 1）已知 1x ， （ A）211()yxx
4、xx x=+ ， （ B）11yx xx x= + ； （ 3）已知 1x ，( ) sin cos 0fx xx x=+ ， 0, 2x 所以函数 ()f x 在 ()0，2 上严格单调增且有唯一实根 x。 本题中求根使得误差不超过410，则由误差估计式 12|+kkabx ，所需迭代次数 k满足4110202+时， ()x 单调递减，而 (1.3) 1.59171596 = ， (1.6) 1.390625 = ， 因此，当 1.3,1.6x 时， ( ) 1.3,1.6x 。 又当 1.3,1.6x 时，3322( ) 0.92 11.3xx = +(0)x ， 所以当 1.3,1.6x
5、 时， ( ) 1.3,1.6x 。 又当 1.3,1.6x 时，2233221.6( ) 0.552 133(1 ) (1 1.3 )xxx = ， 所以对任意初值 1.3,1.6x （原方程的根除外） ，迭代格式111kkxx+=(0,1,2,)k = null 发散。 4确定 ()x x= 的简单迭代法1()kkx x+= 的收敛区间 ,ab。如果收敛，试估计使精度达到410时所需的迭代次数并进行计算。 （ A）22()3xexx+= ； （ B）25() 2xx = + ； （ C）sin cos()2x xx+= 解： （ A）方程为 0322=+ xxex，设 xxexfx32)(
6、2+= ，则 01)0( =f ， 0-0.8987)5.0( =f ，故有根区间为 3,5.2 ，题中25() 2xx = + ， 10.64|5.210|10|)(|33=f ， 0-0.6182)1( =f ， 02)2( =f ，满足 0)1()1( ff ，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为01x = 时迭代法收敛。 牛顿迭代格式为：kkkkkkkkkxxxxxxfxfxx3226)()(21+=+k kx 0 1 1 3.5 2 2.607142857142863 .45425636007828 4 2.449494371606975 .449489742787556 2.4494
7、89742783189 7 2.44948974278318 在第 6 部迭代后，迭代点得小数点后 14 位已无变化，故可取 2783182.449489746= x 双点弦割法 双点弦割法迭代格式为：kkkkkkkkkkkxxxxxxxfxfxfxx+=+111116)()()()(k kx 0 1 1 3.5 2 2.111111111111113 .38613861386139 4 2.454256360078285 .449427357257126 2.449489682141447 .44948974278395 8 2.449489742783189 .44948974278318
8、在第 8 部迭代后，迭代点得小数点后 14 位已无变化。 双点弦割法 双点弦割法迭代格式为：kkkkkkkxxxxxxxfxfxfxx+=+000016)()()()(k kx 0 1 1 3.5 2 2.111111111111113 .60714285714286 4 2.386138613861395 .476608187134506 2.438183347350727 .45425636007828 8 2.447489554564129 .4503307177190810 2.4491364477969111 .44963821399228 10 12 2.4494273572571
9、2 13 .4495159579113014 2.4494787271625015 .4494943716069616 2.44948779773504 17 .4494905601008518 2.4494893993430219 .4494898870981620 2.44948968214143 21 .4494897682650922 2.4494897320755723 .4494897472825624 2.44948974089252 25 .4494897435776426 2.4494897424493427 .4494897429234628 2.4494897427242
10、3 29 .4494897428079530 2.4494897427727731 .4494897427875532 2.44948974278134 31=k 以后，迭代点得小数点后 11 位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后 11 位 7建立利用方程30xc = 求3(0)cc 的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。 解：牛顿迭代格式为：23231323)()(kkkkkkkkkxcxxcxxxfxfxx+=+令 cxxf =3)( ，因为当 0x 时， 03)(2= xxf ， 06)( = xxf ， 故对于任何满足 0)(30= cxxf ， 即30cx 的初值
11、0x ，上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于3c 。 8建立利用方程20cxx=求3(0)cc 的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。 11 解：牛顿迭代格式为：cxcxxcxcxxxfxfxxkkkkkkk2321)()(3321+=+=+令2()cfx xx= ，因为当 0x 时， 021)(3+=xcxf ， 06)(4xx， )(i 当 0x 时， xxf =)( ， 021)( =xxf ， 041)(3x 时， Newton迭代法不收敛。 )(ii 当 0 x ， =kxk20)1(lim ，故迭代序列 kx 不收敛； （ 2）当0020xx=或 时， 1|1|0
12、= x ， 0lim =kkx ，迭代序列 kx 收敛，但不收敛于方程的解； （ 3）当 200，又 (1)11(2)*0aA= 1LA 16 其中 :(1)21(1)111(1)1(1)11101naaLaa=nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull显然 , 1L 非奇异 ;对任何 x 0 , 有 : 10Lx A正定 , ()()11 11()0TTTLx A Lx x LAL x= ， 11TL AL 正定 ; 又 : 11TL AL =(1)11(2)00aA而 (1)110a 故(2)A 正定 ; (1) 当 A 对角占
13、优时 , (1) (1)| |nii ijijaa(2) (2)| |nii ijijaa(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 1 11 1 1 11,2|/|/|nii i i ij i jijjaaaa aaaa= (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)11 1 1 11 1 1(1),2111|nii i i ij i jijjaa aa aa aaa=(1)(1) (1)(1) (1)(1) (1)(1)11 1 1 11 1 1(1),2111|(|nii i i ij i jijjaa aa aa aaa=+(1) (1) (1)
14、 (1) (1)11 1 1(1),2 ,1111|( |) | |nnii ij i jijj ijjaa a aaa= =(1) (1) (1) (1) (1)11 1 1(1),2 ,1111|( | |nnii ij i jijj ijjaa a a aa= =(1) (1) (1) (1) (1)11 1 11(1),2111|( |)|nii ij iijjaa a aaa=(1) (1)11(1),1111| |nijijjaaa=0 故 (2)A 对角占优 17 4.证明 (1)两个单位上 (下 )三角形矩阵的乘积仍为单位上 (下 ) 三角形矩阵 ; (2)两个上 (下 )三角
15、形矩阵的乘积仍为上 (下 ) 三角形矩阵 . 证明 : (1) 不妨考虑证单位下三角矩阵 ,单位上三角矩阵证明方法相同 设 AB=C 其中 :001;1;(),ij n nij ijji jiAjiBjiCcaji bji= 时） 1,0kjniij ik kj ik kjkkjjik bcabab= =0（ 时 ）当ij时当 i=j时， 11nii ik ki ii iikcabab=1niij ik kj ik kjkkjcabab=当ij时，所以 ,C 为单位上三角矩阵 (2) 证明方法类似 (1) 5证明单位上 (下 )三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上 (下 )三角形矩阵 ; 非奇异上 (
16、下 )三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上 (下 )三角形矩阵 ; 证明 : 6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组 （ 1）12342235 11212 42532 71323 0xxxx =18 解：111213112112L=(0)X22355112233223U=172923y=2121x=（ 2）123412 3 4 214 9 16 101 8 27 64 441 16 81 256 190xxxx=解： 1111311761L=123 4261262424U=281824y=1111x=（ 3）123481 36 27 18 25236 116 62 68 14827 62 98
17、 44 7418 68 44 90 134xxxx=解： 941035826 17L=2826157y=4321x=（ 4） 12344 2.4 2 3 12.2802.4 5.44 4 5.8 16.9282 4 5.21 7.45 22.9573 5.8 7.45 19.66 50.945xxxx=解 19 21.2 211.41.51.5 2 2.1 3L=6.144.786.756y=1.20.81.72x=7求解矩阵方程123 41 24 7 10 14 4 614 22 31 45 14 17X = 。 解； X=1123 41 24710 144 614 22 31 45 14
18、17 =11 100 010 1=8用追赶法解线性代数方程组 21 3131 5111 321 3X=。 解：12b = 23b = 31b = 41b = 21a = 31a = 42a = 11c = 21c = 31c = 112lb= 111/1/2ucl= 222152lbau= = 2222/5ucl= ， 333235lbau= = ， 3335/3ucl= = ，444373lbau= = 132y = 221227()/5ydyal= = 332338()/3ydyal= =，44344()/1ydyal= = 441xy= 33341xyux= = 22231xyux= =
19、 11121xyux= = 1111x=10 证明等价关系：1211| | | | | | | |x xxxn 20 证明： 2211|x| max| |niiinix xx= =又1111 1| | | | max | | | | | |nn niiinii ix xxxnx = = = ，所以 1| | |xxn 由 Cauchy 不等式知： 211| |nniiiix x=，所以：12| | | |x x 综上说述，即证。 11 证明由 | | 0| | | max| |ppxpAxAx= 定义的 | | |是nnR中的范数。 证明： 显然： | | 0| | 0 | | 0| ( )
20、| | max| | | |max max | | | | | | |ppxppPppxxppABxAxBxAXB Axx+=+| |pA 0 且 | | 0 0pAA= 任意常数 | | 0| | | max| |ppxpAxAx= | | 0| | |max| |pxpAxx= | | 0| |max| |pxpAxx= =| |A| |A+B|=| | 0| ( ) |max| |pxpA Bxx+=| | 0| |max| |pxpAXBxx+| | 0| | | |max| |PpxpAXBxx+ | | 0 | | 0| | |max max| | | |pPxxppBxAXxx+
21、=| |pA +| |pB 12 证明111| | max | |nijjniA a=证明：对任何1| | 1x = 由于1| | 1ix 知，需要 10 次迭代 （ 2）雅可比迭代矩阵为： 24 10002120025110028100 05JB=，同上，需要 22 次迭代。 17求用高斯塞德尔迭代求解 15 题的两次迭代解（取初始向量(0)X 0） 。 （ 1）高斯赛德迭代式 (1) () ()123(1) (1) ()213(1) (1) (1)3121(1 )31(261(4 3 )7kkkkkkkkkxxxxxxxxx+=+= = 取(0)000x=，则 (1)131612x=(2)
22、19291321x= （ 2）高斯赛德迭代式 (1) ()12(1) (1) ()213(1) (1) ()324(1) (1)431(6 5 )101(25 5 4 )101(11 4 )81(11 )5kkkkkkkkkkxxx xxxxxxx+=+=+ +=+取(0)0000x=则(1)0.60002.20002.75002.2550x=(2)0.50002.64000.33692.2674x=25 18求用 SOR 迭代（ 1.1= ）求解 15 题的两次迭代解（取初始向量(0)X 0） 。 解： （ 1） (1) () () () ()11 1 23(1) () () (1) ()2
23、2 21 3(1) () () (1) (1)33 3 121.1(3 1 )31.1(6 2 )61.1(7 4 3 )7kk k kkkk kk kkk k kkxx x xxxx xx xxx x xx+=+=+ =+ + k=0,1, 取(0)000x=，则 (1)0.33330.18330.5007x=(2)0.04920.19230.5880x=（ 2）(1) () () ()11 1 2(1) () () (1) ()22 2 1 3(1) () () (1) ()33 3 24(1) () () (1)44 4 31.1(10 6 5 )101(10 25 5 4 )101(8
24、 11 4 )81(5 11 )5kk k kkk k k kkk k kkkk k kxx x xx xxxxxx x xxxx x x+=+ +=+ + +=+ +=+k=0,1, 取(0)0000x=则(1)0.60002.17000.18152.2399x=(2)0.65352.56250.25542.0322x=19设有线性代数方程组 12312312 321,222 4,25;xxxxxxxx x+=+=+ =（ 1） 判断雅克比迭代的收敛性； （ 2） 判断高斯塞德尔迭代的收敛性。 解： （ 1）雅克比迭代矩阵 26 01 120 2110JB= |JIB =112211( )2
25、50= += ()512JB = 故雅克比迭代发散 （ 2） 高斯塞德尔迭代矩阵 1200 01 1220 002112 000GSB=100201 111000 22200 011042 =11022110221002 21| 02GSIB=+=，()112GSB =，故高斯塞德尔迭代收敛 20设矩阵 A11 1221 22aaaa为二阶矩阵，且11 120aa 。证明雅克比迭代和高斯塞德尔迭代同时收敛或发散。 证明： 因为11 120aa ，所以11 120, 0aa 雅克比迭代矩阵 11221010JaBa=|JIB =1211 212 2121 11 22220aaaaa aaa= =
26、()21 1211 22|JaaBaa = 高斯塞德尔迭代矩阵 12111 1111 21 2112 22 21 21 1211 22 22 11 221000 0000 0010GSaaaa aaBaaaa a aa = = 27 21 1211 22| 0GSaaIBaa= =，()21 2111 22|GSaaBaa = 所以，雅克比迭代和高斯塞德尔迭代同时收敛或发散。 21设线性代数方程组为1263 0.32 1xx = (1) 试用最速下降法求解（取初始向量(0)X ()0, 0T，计算到(4)X ） ； (2) 试用共轭梯度法求解（取初始向量(0)X ()0, 0T） 。 解： （
27、 1）最速下降法 由( ) ()k kpbAx= ()()() ()()() ()()()TkkkTkkpptAp p= 和(1) () ()()kkkkx xtp+=+ K=0,1,2,3 得(0)p = 0-1( )0t = 0.5000 ()1x =0-0.5000(1)p = 1.50000( )1t =0.1667 ( )2x =0.2500-0.5000(2)p = 0-0.7500( )2t = 0.5000 ( )3x =0.2500-0.8750(3)p = 1.12500( )3t = 0.1667 ( )4x =0.4375-0.8750（ 2）共轭梯度法 由(1) ()
28、 ()()kkkkx xtp+=+ ( )()() ()()() ()()()TkkkTkkrptAp p= ( ) ()k krbAx= ()0 (0)rp= (1) (1) ()()kkkkp rap+=+ ( )()(1)()()()(),kkkkkAr paAp p+= K=0,1 得()00r =-1()00p =-1( )0t = 0.5000 ()10x =-0.5000()11.5000r =0( )0a = 2.2500 ()11.5000p =-2.2500( )1t = 0.6667 ()21x =-2，即为精确解 28 习题四 1.已知 ln(2.0)=0.6931;l
29、n(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329, 试用线性插值和抛物插值计算 .ln2.1 的值并估计误差 解：线形插值：取 02.0x = 00.6931y = 12.2x = 10.7885y = 22.3x = 20.8329y = 11 0 2.1 2.3 2.1 2.0( 0) ( 1) 0.6931 0.83290 1 1 0 2.0 2.3 2.3 2.0xx xxLfx fxx xxx =+= + =0.7410 抛物线插值： 12200102()()()()x xxxlx xx x=02211012()()()()x xxxlx xxx =01222021()()(
30、)()x xxxlx xxx =220021122Llylyly=+=0.742 2.已知 x=0,2,3,5 对应的函数值分别为 y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 解：解：取00x = 12x = 23x = 35x = 12330010203()()()()()()x xxxxxlx xx xx x=02331101213()()()()()()x xxxxxlx xxxxx =01332202123()()()()()()x xxxxxlx xxxxx=01233303132()()()()()()x xxxxxlx xxxxx =3 30 0 31 1 32 2 33 3Lly
31、lylyly=+= 1156261310323+ xxx 3.设函数 f(x)在 a,b上具有直到二阶的连续导数 ,且 f(a)=f(b)=0, 求证 :2“1max | ( ) | ( ) max | ( ) |8axb axbf xba fx 解：取01;x ax b=，1() () 0xa xbLfafbab ba=+= 211() () ( )| ( ) ( )| | ( )( )| | | |224f fbaRfxLx xaxb= 21() ( )| ( )| | ( )| | | |24f bafx Lx +1()| ( )| | |( )|8fLx b a=+ |8)(“| ab
32、f=4.证明 n 次 Lagrange 插值多项式基函数满足 =nikinkixxlx0,)(, nk 0 29 解：取 ()kf xx= 则n0()nkiiiLnlxx=(1)0()() ( )!n niifxf xLnRn xxn+= (1)0()()!kn niixx xn+= =0 所以 () ()f xLnx= 即证 5.证明 )()()()(,xixxxxlninin= 证明： 、01 1 101 1 1()()( )( )()ln()()( )( )()ii nii iiiiinxxxx xx xx xxix xxx xx xx xx+ = nullnullnullnull01
33、1 101 1 1()()( )( )()()()()( )( )()()ii nii i ii ii in ix xxx xx xx xxxxx xxx xx xx xxxx+ = nullnullnullnull取 01 1 1()()( )()( )()niix xxx xx xxxx xx = nullnull 则 10201 1 101 1() ( ) ( ) ( ) ) ( )()()( )( )()()()( )nn nii nnxxx xx xxxx xxxxxx xx xx xxxxxx xx+= + + + nullnullnullnullnullnull（01 1 1()
34、 ( )( ) ( )( ) ( )ni i i ii ii inx xxxx xx xx xx+= nullnull 所以，()ln()()ninixix xx=6.设nnxaxaaxf null+=10)( 有 n 个不同的实根 .,21 nxxx null 证明 :=11,0)(nniikiaxfx证明：取 ()kx x = 1()()nnx xxx = null 而，0()nnf xa ax=+null 有 n 个不同的实根。可以写成 () ()nnf xa x= 11 1111() ()1() () ( ) ( )( ) ( )knn nii iii iinni i iiiiinxx
35、 xf x a x a xx xx xx xx= =+= nullnull12100 21, , 1nn nknxx xa akn = null 30 7.分别求满足习题 1 和习题 2 中插值条件的 Newton 插值 (1) ix if x 1,iif xx21,iiif xxx2.0 0.6931 2.2 0.7885 0.477 2.3 0.8329 0.444 -0.11 200100120( ) , )( ) , , )( )( 1)N x fx fxx x x fxxx x x x x=+ + =0.693+0.477(x-2)-0.11(x-2)(x-2.2) 2(2.1)N
36、= 0.693+0.0477-0.0011=0.7419 (2) ix if x 1,iif xx21,iiif xxx 321, ,iiiif xxxx0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 323() 1 ( 2) ( 2)( 3)310Nx x xx xx x=+ + 8.给出函数 f(x)的数表如下 ,求四次 Newton 插值多项式 ,并由此计算 f(0.596)的值 ix 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05 )(ixf 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382 解： ix ixf F2 F3 F4 F5 F6 0.4 0.41075 0.55 0.57815 1.11600 0.65 0.69675 1.18600 0.28000 0.8 0.88811 1.27573 0.35893 0.19733 0.9 1.02652 1.38410 0.43347 0.18634 -0.02200 1.05 1.25382 1.51533 0.52492 0.22863 0.08846 0.16394 f(x)=0.41075+1.11600(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)+0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)
