1、第十节 导数的概念及运算考纲传真 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数 yc (c 为常数)，yx，y ， yx 2，y x 3，y 的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和1x x导数的四则运算法则求简单函数的导数1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx 0 处的导数：定义：称函数 yf (x)在 xx 0 处的瞬时变化率为函数 yf(x)在 xx 0 处的导数，记作f(x 0)或 y Error!，即 f(x 0) 几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x 0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x 0， f(x0)处
2、的切线斜率相应地，切线方程为 yf (x0)f(x 0)(xx 0)(2)函数 f(x)的导函数：称函数 f(x)为 f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数f(x)c (c 为常数) f( x)0f(x)x n(nQ *) f(x)nx n1f(x)sin x f(x)cos_xf(x)cos x f(x)sin_xf(x)a x f( x)a xln_a(a0)f(x)e x f(x)e xf(x)log ax f(x )1xln af(x)ln x f( x)1x3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x) ；(2)f(x)g(x)f(x) g(x)f(x
3、)g( x)；(3) (g(x)0)fxgx f xgx fxg xgx2常 用 结 论 1曲线 yf( x)“在点 P(x0，y 0)处的切线”与“过点 P(x0，y 0)的切线”的区别：前者 P(x0，y 0)为切点，而后者 P(x0，y 0)不一定为切点2直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个3函数 yf( x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小| f(x)|反映了变化的快慢，| f(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡” 基础自测1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确
4、的打“” ，错误的打“”)(1)f(x 0)与(f(x 0)表示的意义相同 ( )(2)求 f(x 0)时，可先求 f(x0)再求 f(x 0) ( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点 ( )(4)若 f(a)a 32axx 2，则 f(a)3a 22x . ( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编) 有一机器人的运动方程为 s(t)t 2 (t 是时间，s 是位移)，3t则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为( )A. B. C. D.194 174 154 134D 由题意知，机器人的速度方程为 v(t)s(t) 2t ，故当 t2 时，3t2机器人的瞬时速度为 v
5、(2)22 . 322 1343函数 yxcos xsin x 的导数为( )Axsin x Bx sin x Cxcos x Dx cos xB ycos x xsin xcos xx sin x，故选 B.4若 f(x)xe x，则 f(1)_.2e f( x)e xxe x，则 f(1)e 1e 12e.5曲线 y 在点 M(，0)处的切线方程为_sin xxxy 0 y ，则 y| x ，则切xcos x sin xx2 cos sin 2 1线方程为 y (x)，即 xy 0.1导数的计算1f(x)x(2 018ln x) ，若 f(x 0)2 019，则 x0 等于( )Ae 2
6、B1 Cln 2 DeB f( x)2 018ln x 12 019ln x，则 f(x 0)2 019ln x02 019，解得 x01，故选 B.2已知 f(x)x 22xf(1)，则 f(0) _.4 f (x) 2x2f(1)，则 f(1)22f(1) ，解得 f(1)2所以 f( x)2x4，则 f(0)4.3求下列函数的导数(1)y ；cos xex(2)yxsin cos ；x2 x2(3)yx 2ex1 .解 (1)y .(cos xex) cos x ex cos xexex2 sin x cos xex(2)yx sin x，y1 cos x.12 12(3)ye 1 x2
7、ex，y e 1 (2xexx 2ex)e x1 (x22x)规律方法 导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导公式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式 先化为和、差的形式，再求导根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数 如含 f( x0)，a，b 等的形式，先将待定系数看成常数，再求导导数的几何意义考法 1 求切线方程【例 1】 (1)(2018 全国卷 )设函数 f(x)x 3(a 1)x2ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x )在点(0,0)处的切
8、线方程为( )Ay2x ByxCy2x Dyx(2)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf (x)相切，则直线 l 的方程为_(1)D (2) xy10 (1) 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，由此可得 a1，故 f(x)x 3x，f(x) 3x 21，f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx .(2)点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上，设切点为(x 0，y 0)又f( x)1ln x，直线 l 的方程为 y1(1 ln x0)x.由Error!解得 x01， y00.直线 l 的方程为 yx 1，即 xy
9、10.考法 2 求切点坐标【例 2】 设函数 f(x)x 3ax 2.若曲线 yf(x )在点 P(x0，f(x 0)处的切线方程为 xy0，则点 P 的坐标为( )A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1，1)或(1,1)D 由 f(x) x3ax 2 得 f(x )3x 22ax，记 y0f(x 0)，由题意可得Error!由可得 x ax x 0，即 x0(x ax 01)0.30 20 20由可得 3x 2ax 01 0.20由可得 x0 0，所以式可化为 x ax 010.20由可得 x01 ，代入式得Error!或Error!即 P(1，1)或 P(1,1) 故选 D.考法
10、3 求参数的值【例 3】 (1)已知函数 f(x)(x 2ax1)e x(其中 e 是自然对数的底数，aR)，若 f(x)在(0 ，f(0)处的切线与直线 xy10 垂直，则 a( )A1 B1 C2 D2(2)已知直线 y xb 与曲线 y xln x 相切，则 b 的值为( )12 12A2 B1C D112(1)C (2) B (1)f(x )(x 2ax1)e x(x 2ax1)(e x)(2xa)e x(x 2ax1)e xx 2( a2)x(a1)e x，故 f(0)0 2(a2)0(a1)e 0a1.因为 f(x)在(0，f(0)处的切线与直线 xy 10 垂直，故 f(0)1，
11、即a11，解得 a2.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，y ，12 1x则 y|xx 0 ，由 得 x01，切点坐标为 ，又切12 1x0 12 1x0 12 (1， 12)点 在直线 y x b 上，故 b，得 b1，故选 B.(1， 12) 12 12 12规律方法 导数几何意义的应用类型及求解思路1已知切点 Ax0，fx 0求斜率 k，即求该点处的导数值： kf x0.2若求过点 Px0，y 0的切线方程，可设切点为x 1，y 1，由求解即可.3已知斜率 k，求切点 Ax1，fx 1，即解方程 fx 1k .4函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由
12、切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1)若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_(2)直线 ykx1 与曲线 yx 3axb 相切于点 A(1,3)，则 2ab 的值等于_(1)(e，e) (2)1 (1)由题意得 yln x1，直线 2xy10 的斜率为 2.设 P(m，n)，则 1ln m2，解得 me，所以 neln ee，即点 P 的坐标为(e， e)(2)依题意知，y 3x 2a，则Error!由此解得Error!所以 2ab1.1(2018全国卷 )曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为_y2x2 由题意知， y ，所
13、以曲线在点(1,0)处的切线斜率2xky| x1 2，故所求切线方程为 y02(x1) ，即 y2x2.2(2015全国卷 )已知函数 f(x)ax 3x1 的图象在点(1，f(1) 处的切线过点(2,7)，则 a_.1 先用 “导数法”求出切线方程，然后代入点(2,7)求出 a 的值f(x) 3ax 21，f(1)3a 1.又 f(1)a2 ，切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7) ，7( a2) 3a1，解得 a1.3(2016全国卷 )已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f (x)e x1 x ，则曲线 yf( x)在点 (1,2)处的切线方程是_2xy0 设 x0
14、，则x0，f(x )e x1 x.f(x)为偶函数，f(x)f(x) ，f(x)e x1 x.当 x0 时， f( x)e x 11，f(1)e 11 111 2.曲线 yf(x )在点(1,2)处的切线方程为 y22(x1)，即 2xy0.4(2015全国卷 )已知曲线 yxln x 在点(1,1) 处的切线与曲线yax 2( a 2)x1 相切，则 a_.8 法一 ：y x ln x，y1 ，yError! 2.1x曲线 yxln x 在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即 y2x1.y2x1 与曲线 yax 2(a2)x 1 相切，a0( 当 a0 时曲线变为 y2x 1 与已知直线平行)由Error!消去 y，得 ax2 ax20.由 a 28a0，解得 a8.法二：同法一得切线方程为 y2x 1.设 y2x1 与曲线 yax 2(a2)x 1 相切于点( x0，ax (a2)20x01) y 2ax(a2)，yError! 2ax0(a2)由Error!解得Error!
