1、选修 45 不等式选讲第一节 绝对值不等式考纲传真 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab| a|b|( a，bR)，|ab | ac|cb|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax b|c；|ax b|c；| xa| |xb|c.1绝对值三角不等式定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab| |a| |b| ，当且仅当 ab0 时，等号成立定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么 |ac| ab| bc |，当且仅当( ab)(bc)0 时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解法：不等式 a0
2、a0 aa x|xa 或 xa x R|x0 R(2)|axb|c ，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc 或 axbc .(3)|xa|xb|c ，|x a|xb| c (c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零点分段法求解；构造函数，利用函数的图象求解基础自测1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)|xa| xb|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a，b 的距离之和( )(2)不等式|a| |b|ab|等号成立的条件是 ab0. ( )(3)不等式|ab|a|b|等号成立的条件是 ab0.
3、( )(4)当 ab0 时， |ab|a| |b| 成立 ( )答案 (1) (2) (3) (4)2设 a，b 为满足 ab0 的实数，那么( )A|ab|ab| B| ab| ab|C|ab|a|b| D| ab| a|b|B ab0，|ab|a| |b| |ab|.3不等式 11 的解集解 (1)由题意得 f(x)Error!故 yf(x) 的图象如图所示(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x 或 x5.13故 f(x)1 的解集为x |1x3，f(x)1 的解集为Error!.所以|f(x)| 1 的解集为Err
4、or!.规律方法 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想2解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解绝对值三角不等式的应用【例 1】 (1)若对于实数 x，y 有|1 x |2，|y1|1，求|2x3y 1| 的最大值解 因为|2x3y 1|2(x1)3(y1)|2| x1|3|y1|7，所以|2x3y1|的最大值为 7.(2)若 a2， xR，求证： |x1a| xa| 3.证明 因为 |x1a|xa|(x1a)(xa)| |2a1|
5、，又 a2，故|2a1|3，所以|x1a|xa|3 成立规律方法 利用绝对值三角不等式求最值或证明1对绝对值三角不等式定理|a| |b| |ab| |a| |b |中等号成立的条件是要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时.,对于求 y|xa|xb|或y| xa|x b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y| xa|x b|的函数只有最小值，形如 y|x a|xb|的函数既有最大值又有最小值.2该定理可强化为|a|b| |ab| |a| |b| ，它经常用于证明含绝对值的不等式.已知实数 x，y 满足：| xy| ，|2 xy| .求证：|y| .13 16 518证明 因为 3|y
6、|3y |2(xy)(2x y)|2|xy| |2x y|，由题设知|xy| ，|2x y| ，13 16从而 3|y| ，所以|y| .23 16 56 518绝对值不等式的综合应用【例 2】 已知函数 f(x) |2xa|a.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x)|2x 1|.当 xR 时，f( x)g(x) 3，求 a 的取值范围解 (1)当 a2 时，f(x)|2x2| 2.解不等式|2x2|26 得1x 3.所以 f(x)6 的解集为x |1x3(2)当 xR 时，f(x)g(x )|2xa|a |12x|2xa12x |a|1 a|a，所以当 xR
7、 时，f(x )g(x)3 等价于|1 a| a3.当 a1 时，等价于 1aa3，无解当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2.所以 a 的取值范围是2，)规律方法 设函数 fx中含有绝对值，则1fx a 有解fx maxa.2fx a 恒成立fx mina.,3fx a 恰在c，b上成立c，b 是方程fxa 的解.(2019郑州第二次质量预测 )已知函数 f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)当 a0 时，解不等式 f(x)g(x)；(2)若存在 xR，使 f(x)g(x )成立，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a0 时，由 f(x)g(x )，得|2 x1| |x|.两边平方
8、整理，得 3x24 x10，解得 x1 或 x .13所以原不等式的解集为(，1 . 13， )(2)由 f(x)g(x) ，得 a|2x1| | x|.令 h(x)|2x 1|x |，则 h(x)Error!由分段函数图象可知h(x)minh ，( 12) 12从而所求实数 a 的取值范围为 . 12， )1(2018全国卷 )已知 f(x)| x1| |ax1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，f(x)|x1| |x1|，即 f(x)Error!故不等式 f(x)1 的解集为 Er
9、ror!.(2)当 x(0,1)时|x 1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1)时，|ax1|1 成立若 a0，则当 x(0,1) 时| ax1|1；若 a0，|ax1|1 的解集为 0x ，所以 1，故 0a2.2a 2a综上，a 的取值范围为(0,22(2018全国卷 )设函数 f(x)5| xa| |x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，f(x)Error!可得 f(x)0 的解集为x |2x3(2)f(x) 1 等价于|x a|x2| 4.而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立故 f(x)1 等价于|a2|4.由|a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是 (，62， )
