1、函数综合性大题 21. 已知函数 2()8,()6ln.fxgxm（1）求 在区间 上的最大值,1t;ht（2）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点？m()yfx()ygx若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。解：（1） 22()8(4)16.fx当 即 时， 在 上单调递增，4,t3tfx,t22()1)()()7;hf t当 即 时，,t4t(416htf当 时， 在 上单调递减，4()fx,28.htt综上， 267,3()1,4,8ttt （2）函数 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点，即函数()yfx()ygx的图象与 轴的正半轴有且只有三个不同的交
2、点。()xg2286ln,86(1)3() (0),xmxx当 时， 是增函数；0,1x()0,()当 时， 是减函数；(3)x当 时， 是增函数；,x(),()当 或 时，10.x()()7,()(3)6ln15.xmm最 大 值 最 小 值当 充分接近 0 时， 当 充分大时，x(),x()0.x要使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()即7,()6ln3150,xm最 大 值最 小 值 7156ln3.m所以存在实数 ，使得函数 与 的图象有且只有三个不同的交点，()yfx()g的取值范围为 (7,l).1. 设函数 ，其图象在点 处的切线321)()fxabxca(1,)
3、(,)AfBmf的斜率分别为 0,（1）求证： ；1a（2）若函数 的递增区间为 ，求 的取值范围；()fx,st|st（3）若当 时（k 是与 无关的常数） ，恒有 ，试求 k 的最小值 ,bc()0fxa解：（1） ，由题意及导数的几何意义得2()fxax， （1）0bc， （2） 2()fmaa 又 ，可得 ，即 ，故 bc424bc04ac0,ac由（1）得 ，代入 ，再由 ，得， （3） 3a将 代入（2）得 ，即方程 有实根cb20amb20axb故其判别式 得480，或 ， （4） a 由（3） ， （4）得 ； 01ba（2）由 的判别式 ，2()fxxc240bac知方程 有
4、两个不等实根，设为 ，0()b 12,x又由 知， 为方程（ ）的一个实根，则有根与系数的关系得(1)2fac 1x， 1221,0bxxxa当 或 时， ，当 时， ，1()f21()0fx故函数 的递增区间为 ，由题设知 ，()fx21,x2,st因此 ，由（）知 得12|bsta01ba的取值范围为 ； ,4)（3）由 ，即 ，即 ，()0fxa2xc20x因为 ，则 ，整理得 ，20ba()ba设 ，可以看作是关于 的一次函数，()bgxa由题意 对于 恒成立， 01ba故 即 得 或 ，(1),g20,x+31x x由题意， ，,)(,31,)k故 ，因此 的最小值为 31 2. 已
5、知函数 和点 ，过点 作曲线 的两条切线 、)0()(txf ) ,(P)(xfyPM，切点分别为 、 PNMN（）设 ，试求函数 的表达式；)(tg)(tg（）是否存在 ，使得 、 与 三点共线若存在，求出 的值；若不存1 ,0At在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数 ，在区间 内总存在n64 ,2n个实数 ， ，使得不等式1mma,21 1成立，求 的最大值)()(gga m.解：（）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，MN1x2， 切线 的方程为： ，21)(xtfP)(1)(121xtxty又 切线 过点 ， 有 ，PM)0,1()1()(21xtxt即 ， （1） 21t
6、x同理，由切线 也过点 ，得 （2）N)0,1(02tx由（1） 、 （2） ，可得 是方程 的两根，2,x2t（ * ） .21tx2121 )()(xttxMN)1()(221xtx，)(4)( 212121 t把（ * ）式代入,得 ,tN0因此，函数 的表达式为 )(tg )0( 2)(ttg（）当点 、 与 共线时， ， ，MANAMk1x02xt即 ，化简，得 ，21xt2xt )()(1212 t， （3） 把（*）式代入（3） ，21212)(t解得 t存在 ，使得点 、 与 三点共线，且 MNA21t（）易知 在区间 上为增函数，)(tg64,2n，)2ai)1,(mi则 )
7、64()(21 ngam 依题意，不等式 对一切的正整数 恒成立， )64(ng，)(2020 20即 对一切的正整数 恒成立， )64()n(612mn， ，4n31661)4()n( 22 316m由于 为正整数， 6又当 时，存在 ， ，对所有的 满足条件221maa 16n因此， 的最大值为 3. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数，且 a0)满足条件:f (x1)=f(3x)且方程 f(x)=2x有等根 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （1）求 f(x)的解析式；（2）是否存在实数 m，n(mn，使 f(x)定义域和值域分别为m ,n和4m,4n
8、，如果存在，求出 m、 n 的值；如果不存在，说明理由 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j、解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco （1）方程 ax2+bx=2x 有等根，=(b2) 2=0,得 b=2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由 f(x1)=f(3x)知此函数图象的对称轴方程为 x= =1a得 a=1，故 f(x)=x2+2x 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6 分（2）f(x)=( x1)2+11，4n1，即 n 4而抛物线 y=x2+2x 的对称轴为 x=1n 时，f(x )在m,n上为增函数
9、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4若满足题设条件的 m,n 存在，则 12 分nf4)(2042n或 或即又 mn ,m=2,n=0 ，这时定义域为 2,0 ，值域为8,0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1由以上知满足条件的 m、n 存在， m=2,n=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 16 分4. 已知函数 ， ， 的最小值恰好|yx2yx()tx(0是方程 的三个根，其中 320abc0t（1）求证： ；（2）设 ， 是函数 的两个极值点1(,)xM2(,)N32()fxabxc若 ，求函数 的解析式.12|3x()fx解：（1）
10、三个函数的最小值依次为 ， ， ，2 分1t1t由 ，得 ()0fcab 3232()xxxba，(1)()(1)故方程 的两根是 ， 2 0xa1tt故 ， 5 分()tttab，即22(1)1 2()( 7 分23ab（2）依题意 是方程 的根，12,x2()30fxaxb故有 ， ，123b且 ，得 ()0a由 10 分2212113|)4abxx；得， ， 3bb27由（1）知 ，故 ，1()0tta1a ，7a73cb 14 分32()fxx5. 已知函数 ln(0),fax(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；()x1,)(2)若定义在区间 D 上的函数 对于区间 D 上的任意
11、两个值 总有以下不)(fy21x、等式 成立，则称函数 为区间 D 上的“凹函数”1212()2xfff)(fy.试证当 时， 为“凹函数”0a()fx解： (1)由 ，得2lnfa 2afxx若函数为 上单调增函数，则 在 上恒成立1,)01,)即不等式 在 上恒成立. 也即 在 上恒20x1,) 2ax1,)成立令 ，上述问题等价于 ，而 为在2()xmax()2()x上的减函数，则 ，于是 为所求1,max()10(2)证明：由 得2lnfx12211212lnfx x21 212lnax112124lnxxf a而 22121x又 ， 212112124xx12124x ，1212ln
12、l 0a12llxa由、得221211 2 12124lnlnxxax即 ，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数112fff6. 已知函数 满足对任意 ， 且 ，都有24fxa1x2R12x 1212fxf（1）求实数 的取值范围；a（2）试讨论函数 在区间 上的零点的个数；xfy1,（3）对于给定的实数 ，有一个最小的负数 ，使得 时，aMa,0xa都成立，则当 为何值时， 最小，并求出 的最小4fx M值解：（1） 1212fxff2221121xaxbcaxbcabc， 4 分 2104又 ， 必有 ，实数 的取值范围是 2 分2xaa),0(（2） ，由（1）知： ，所以 。 由 ，86
13、0a0)1(af 当 时，总有 ， 0)f1)(（I）当 01；（II）是否存在实数 a，b（a0 ， 1.x0,1,)x(ff(x)在（0， 1）上为减函数，在 上是增函数(,)由 0 3 分22故 ，即 ab14 分1a（II）不存在满足条件的实数 a，b若存在满足条件的实数 a，b，使得函数 y= 的定义域、值域都是a，b ，x1)(f则 a0 而 1.x0,1,)x(f当 时， 在（0，1）上为减函数),0(b,a)(f故 即 解得 a=b.a)(f,a.1b,故此时不存在适合条件的实数 a，b6 分当 时， 在 上是增函数),1bf(x)(,)故 即 .)(f,ab.1,a此时 a，
14、b 是方程 的根，此方程无实根0x2故此时不存在适合条件的实数 a，b8 分当 ， 时，由于 ，而 ，)1,0(),b,a0)1(f故此时不存在适合条件的实数 a，b综上可知，不存在适合条件的实数 a，b10 分（III）若存在实数 a，b（a0，m0 当 时，由于 f(x)在（0，1）上是减函数，故 此时刻得)1,0(,1mb,a.a,b 异号，不符合题意，所以 a，b 不存在 12 分 当 ， 时，由（II）知 0 在值域内，值域不可能是 ma，mb，),(a),b所以 a，b 不存在故只有 14 分),1ba 在 上是增函数，x)(f 即 所以 b 是方程 的两个根.mb)(f,a.1,
15、a01xm2即关于 x 的方程 有两个大于 1 的实根16 分0x2设这两个根为 ， 则 + = ， = 112x2 即 解得 .0)x(,21 .0m,441m故 m 的取值范围是 18 分4111已知函数 2,1,),)(xxf（I） 求 的值域；)(xf（II）设函数 ，若对于任意 总存在 ，2,xag ,21x2,0x使得 成立，求实数 的取值范围.)(10xfg解：（I）当 时， 在 上是增函数，此时,2xf1)(),5)(xf当 时，21,2)(f当 时， 在 上是增函数，此时xx1, 23,)(xf的值域为 6 分)(f 23,5（II） （1）若 ， 对于任意 ，0a,)(g2
16、,1，不存在 使得 成2,)(xf 0x)(10xfg立9 分（2）若当 时， 在-2，2是增函数，0a 2)(axg2,)(axg任给 ， ，1 23,5)(1xf若存在 ，使得 成立，,0x)(10xfg则 12 分,232,5a14 分2a47（3）若 ， 在-2，2是减函数，0)(axg 2,)(axg16 分235a47综上，实数 的取值范围是 18 分),(12设函数 时， 取得极值.21231)(2 xbxgaxf 当 )(xf（1）求 的值，并判断 是函数 的极大值还是极小值；a)(f)(f（2）当 时，函数 与 的图象有两个公共点，求 的取值范围.4,xxb解：（1）由题意
17、2 分af2)(当 时， 取得极值，2xx所以 0)(f即 5 分12a1a此时当 时， ，当 时， ，x)(xf 20)(xf是函数 的最小值.8 分)2(f（2）设 ，则 ， 10 分(xg03123bxx3123设 ，F31)(2G)(，令 解得 或2x2xF1x列表如下：x3)1,()3,1()4,3()(F 0_ 0 +x9 35 9 320函数 在 和 上是增函数，在 上是减函数.)()1,34,()3,1(当 时， 有极大值 ；当 时， 有极小值xxF)x(xF9)(函数 与 的图象有两个公共点，)(fg函数 与 的图象有两个公共点xG或 3520b9b),(13在实数集 R 上
18、定义运算： x y=x(ay)(aR ，a 为常数 )。若 f(x)=ex，g( x)=e-x+2x2，F(x)=f(x) g(x)。（）求 F(x)的解析式；（）若 F(x)在 R 上是减函数，求实数 a 的取值范围；（）若 a=3，在 F(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.解：（I）由题意，F(x)= f(x) (ag(x)2 分=ex(ae x 2x 2)=aex12x 2ex.4 分（II）F(x )=aex2x 2ex4x ex=e x(2x2+4xa)， 6 分当 xR 时，F(x )在减函数，F(x )0 对于 xR
19、恒成立，即e x(2x2+4xa) 0 恒成立，8 分e x0，2x 2+4xa 0 恒成立，=168(a) 0，a2.10 分（III ）当 a=3 时，F(x )= 3e x12x 2ex，设 P(x1，y 1)，Q（x 2，y 2）是 F(x)曲线上的任意两点，F(x)= e x(2x2+4x+3)=e x2(x+1)2+10，F(x 1)F(x 2)= 1 不成立.13 分F(x)的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.14 分14已知函数 2()(,0)fxabcRa且（）当 时有最大值 1，若 时,函数 的值域为,(xmn()fx证明： ；1,nm()fn（）若 时 ，
20、对 于 给 定 正 实 数 ， 有 一 个 最 小 负 数 ， 使 得4,2bca()a时 ， 恒 成 立 ， 问 为 何 值 时 ， 最 小 ， 并 求 出 这 个 最 小()0xa()4fx值 (1)证明:由条件得 , ,即 2 分0a1m. . 5 分 . ,)mn()1fn ()fmn6 分(2)解: ,显然 ,对称轴 .8 分24()fxaa(0)2f20xa当 即 时, 且 .240()4f令 ,解得 .取 .2xa4()2a, 12 分0()1当 ,即 时, .且 .42a22()a()4f令 ,解得 ,取 .x6x262a, .当且仅当 时,取等号.2a()32a综上:当 时,
21、 取最小值 .16 分15设 ， 为常数） 当 时， ，且224()logl1xfxb(,b0x()Fxf为 上的奇函数FR1,3,5（）若 ，且 的最小值为 ，求 的表达式；1()02f()fx0()Fx（ ） 在 （ ） 的 条 件 下 ， 在 上 是 单 调 函 数 ， 求 的 取 值 范2()1logxfk,4k围 解: 22()logl1fxabx由 得 , 1 分10022()l()logfxx若 则 无最小值. . 2 分a21f0a欲使 取最小值为 0,只能使 ,昨 , .()fx24(1)a12b4 分22()loglfx得 则 ,0x22()log()log()1Ffxx又
22、 , 7 分()Fx2又 8 分9 分2222logl1(0)()0l()logxxF(2) . .22og1()lxk22llogkx,4x得 .则 , .12 分2ltytt当 ,或 或 时, 为单调函数.0k1ky综上, 或 . 16 分415. 已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点32()fxaxb1)， (3，（I）求 的最大值；2ab（II）当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若 在点 处穿248ab()yfx(1)Af， lA过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，经过点 时，从 的()yfx (yxl一侧进入另一侧） ，求函数 的表达式()fx解：（I） ， ， ，12
23、ac32ac因为 ， ， 成等比数列，3所以 ，2()()cc解得 或 0当 时， ，不符合题意舍去，故 123a2c（II）当 时，由于n，21c，3a ，1()nc所以 (1)2()2nac又 ， ，故 1c (23)nan， ，当 时，上式也成立，n所以 2(12)a， ，22解：（I）因为函数 在区间 ， 内分别有一个极值点，321fxaxb1)， (3，所以 在 ， 内分别有一个实根，2()fxb0)， (，设两实根为 （ ） ，则 ，且 于是12， 12x2214x2104x， ，且当 ，即 ， 时等号204a 46a ， 3a3b成立故 的最大值是 16b（II）解法一：由 知
24、在点 处的切线 的方程是(1)fb()fx1()f， l，即 ，(1)yfx23yaa因为切线 在点 处空过 的图象，l(1)Afx， ()yfx所以 在 两边附近的函数值异号，则21()3gxfaba不是 的极值点1而 ，且()x32(1)2xx2 21()1)gabaxa若 ，则 和 都是 的极值点1x)gx17设函数 是定义在 R 上的奇函数，且函数 的图象在 处的3()fc()fx1切线方程为 2yx（）求 的值；,abc（）若对任意 都有 成立，求实数 的取值范围；(0,1x()kfxk（）若对任意 都有 成立，求实数 的取值范围3|16mm解：（） 函数 是定义在 R 上的奇函数，
25、()fxabc ()f 33()axbcxc 0c又 在 处的切线方程为 ，()f12y由 23xab ，且 ， ()f()5f 得 ab16（） 3()fxx依题意 对任意 恒成立， k(0,1 对任意 恒成立， 426xx即 对任意 恒成立，2(3)9kx(0,1x 5（）解一： ，|()|6fm即 161x 36即 对任意 恒成立，216mx(0,3x记 ，其中21()gx(,则 32 8)x 当 时， ， 在 上单调递增，(0,)x(0g(,2)当 时， ， 在 上单调递减，3)x3 在 上的最大值是 ，则 ； ()gx,()6m记 ，其中216h0,x则 2()x所以 在 上单调递减
26、， 0,3) 即 在 上的最小值是 ，则 ；(hx7(3)h3m综合上可得所求实数 的取值范围是 m6解二：设 ，3()()gxfxx则 ，2(6)当 时， ，(0,3x2730x当 时，在 上 ，m(,2()(6)0gxm在 单调递减，()gx,故 ，即 ，没有适合条件的 ；6(0)13mg60173m当 时，在 上 ，2(,x2()(6)0gx在 单调递增，()gx(0,3故 ，即 ，没有适合条件的 ；1()63mg21653m当 时， ，212()()0gx（ 舍去）63mx63则 在 上单调递增，在 上单调递减，()g0,)6(,3)m故 ，即 ，所以 ；216()3mg2167376
27、3综合上可得所求实数 的取值范围是 m1 是定义在 R 上的奇函数，当 时， 。()yfx0x2()fx（1）求 时， 的解析式；0()f（2）问是否存在这样的正数 ，当 时， ，且 的值域为,ab,x()gxf()gx若存在，求出所有的 值，若不存在，请说明理由.,ba解：（1）设 ，则 于是 ，0x2()fx又 为奇函数，所以 ，即 ，()f 2()(0)fxx（2）分下述三种情况： 那么 ，而当 的最大值为 1，01,aba0,()xf故此时不可能使 ，()gxf若 ，此时若 ，则 的最大值为 ，得01ab()fx()g(1)gf，这与 矛盾；若 ，因为 时， 是减函数，则 于是有x()
28、f 2(),fx221()(1)0gbaba考虑到 解得1,b15,2综上所述,5.2a2 已知集合 是满足下列性质的函数 的全体：在定义域内存在 ，使得M()fx0x成立00(1)(1)fxff（1）函数 是否属于集合 ？说明理由；（2）设函数 ，求 的取值范围；2()lg1afxa（3）证明：函数 xM解：（1）若 ，则在定义域内存在 ，使得 ，()f 0x 011200xx方程 无解， （4 分）0120x1()fx，2()lgafM22llg110axxa当 时， ；当 时，由 ，得 。226435,2)(,35aa 35,a，00(1)(1)fxff（ ） 00221023()()x
29、x记 ，xh ， ，1()20()21h 函数 在 上有零点，x,即存在实数 ，使 ，(0,1)a()0a令 ，则 ，0x012()x ，即 0()()ffxf2xfM20已知函数 ，其中 3213()1mmR（I）若 ，求 的单调区间；0()fx（II）在（I）的条件下，当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒,()yfx大于 3 ，求 的取值范围；（）设 , 问是否存在实数 ，使得32()()34ln1gxmxmm的图象与 的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出 的值；若yfyg不存在，说明理由。解：(I) = 2 分2()36(1)36fxx(1)xm当 时，有 ，当 变化时， 与
30、 的变化如下表：0mmffx2,121,1 ,()f00 00 0x单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 4 分故有上表知，当 时， 在 单调递减，0m()fx2,1m在 单调递增，在 上单调递减. 5 分2(1,),（）由已知得 ，即3fx2(1)20xx又 ，所以 （ ） 6 分0m2m,1设 ，其函数开口向上，由题意知式恒成立，1()()gxx 8 分200(1)1解之得 （注：函数开口向上，最大值在端点处取得！）43m又 所以 的取值范围为 10 分04,03（）令 ，则()()xgfx2()6lnxxm因为 ，要使函数 与函数 有且仅有 2 个不同的交点，则函数0g的图象与
31、x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点2()64lnxxm2 64(1)(0)x当 时， 是增函数；(0,1)x)(,0)( x当 时， 是减函数2当 时， 是增函数(,)x)(,)( x 有极大值 有极小值 12 分15;m(2)4ln8m又因为当 充分接近 0 时， ；当 充分大时，x()0x)0x所以要使 有且仅有两个不同的正根，必须且只须)(12()0()或即 ，504ln2804ln285mm或 或 l.当 或 时，函数 f（x）与 g（x）的图象有且只有两个不同交点。15 分设函数 求证：,23,)1(,)(2 bcafcbxaxf 且（1） ；430且（2）函数 在区间（0，2）内
32、至少有一个零点；)(xf（3）设 是函数 的两个零点，则21,)(f .457|221x证明：（1） )(acbf03cb又 ca2302,3,又 2c=3a2b 由 3a2c 2b 3a3a2b2ba0 4b（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=ac 当 c0 时，a0，f（0）=c0 且 02)1(af函数 f（x）在区间（ 0，1）内至少有一个零点 当 c0 时，a0 )(02)( cfaf且函数 f（x）在区间（ 1，2）内至少有一个零点.综合得 f（x ）在（0，2）内至少有一个零点 （3）x 1，x 2 是函数 f（x）的两个零点则 的两根 0,221 cbxax是 方 程
33、 abcab3,1 2)()23(4)(4)(| 212121 axxx3ab57|2122.已知 是定义在 上的单调递增函数，对于任意的 、 （ 、()fx(0,)mn满足 ，且 、 满足n(0,)()()fmnfab(0)。()2()abfaf（1）求 ；（2）若 =1，解不等式 1， ()2()ff12ab =()abff2abfff -224 15 ，考虑到 0a1ba 1b240， 又 -b3 1713.设 ，对任意实数 ，记 3()xft23()tgxt（I）求函数 的单调区间；()tyfx（II）求证：（）当 时， 对任意正实数 成立；0()fg()tx t（）有且仅有一个正实数
34、 ，使得 对任意正实数 成立x00xt解：（I）由题意知 ，因此 ，从而 (1)3fc3bc3b又对 求导得 ()fx41ln4 xaxx(4ln)ax由题意 ，因此 ，解得 0 02（II）由（I）知 （ ） ，令 ，解得 3()8lfxx()0fx1x当 时， ，此时 为减函数；1x()f当 时， ，此时 为增函数()0fx因此 的单调递减区间为 ，而 的单调递增区间为 fx(1)， ()f (1)， （III）由（ II）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值，要fx3fc使 （ ）恒成立，只需 2()fxc 02c即 ，从而 ，23 (3)10c解得 或 c 1所以 的取值范围为
35、 (2， ，23已知函数 ，3()log(01)xmf（1）若函数 的定义域为 ,判断 在定义域上的单调性，并说明x,)(xf理由；（2）是否存在实数 m,使 在定义域 上的值域为)(f,.若存在,求出实数 m 的范围; 若不存在,说明理由。1log),1(log mm解: 303xx或又 定义域为)(f )0(,设 0)3(63212121 xxx由 于.又3021loglog021mmm所以 在定义域上为减函数. （6 分）)(xf(2)由(1) 在定义域上为减函数.)1(log3logmm)1(3m方程 有两个不同的且大于 3 的实根.0)2(xx设 g(x)= )1(302124(3)mg
