1、第三节 双曲线,1.双曲线的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的_的点的轨迹是双曲线这两个定点叫做双曲线的_，两焦点的距离叫双曲线的_，即若点P为双曲线上任意一点，则有|PF1PF2|2a.双曲线中，_，若2aF1F2，则P点的轨迹为_另外，双曲线的定义中还要注意“绝对值”，没有“绝对值”，就只能是双曲线的_,基础梳理,2. 双曲线的标准方程：焦点在x轴上时， _；焦点在y轴上 时，_.求双曲线标准方程时，要根据题意设出双曲线的标准方程，再通过解方程组求解，如果焦点位置不确定，则需要对焦点位置进行讨论,3. 双曲线的几何性质：(以1(a0，b0)为方程的双曲线为例) (1)范围：_； (2
2、)对称性：关于_成轴对称图形，关于_成中心对称图形； (3)顶点：双曲线有两个顶点_，线段A1A2叫做双曲线的_，它的长等于_； (4)渐近线：是双曲线的特有性质，双曲线 1(a0，b0)的渐近线方程为_； (a0，b0)的渐近线方程为 _；,坐标原点,(5)_叫做双曲线的离心率，记为e，ca0，e1.离心率e反应了双曲线_，e越大，双曲线的_；e越小，双曲线的_,4. 等轴双曲线：_的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的两条渐近线方程是_,5. 双曲线的第二定义：平面内动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(e1)的轨迹是_，定点是_，定直线是_， 常数e是_焦点在x轴上的双
3、 曲线，准线方程是_；焦点在y轴上的 双曲线，准线方程是_注意：e的几何意义是双曲线上一点到焦点的距离和它到对应准线的距离的比,1.双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m _.,基础达标,解析：由已知得a2=1，b2=- ，且b=2a，则a=1，b= =2，解得m=- .,2. 与双曲线x2 1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线方程为_,解析：设所求双曲线的方程为 ，将点(2,2)代入，得 =3. 即所要求的双曲线方程为 .,3. 设P是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF13，则PF2_.,7,解析：由渐近线方程y= x
4、，且b=3，a=2，由双曲线定义得PF2-PF1=4，又 PF1=3，PF2=7.,4. (选修21P41习题3改编)如果椭圆 与双曲线 的焦点相同，那么双曲线的离心率为_,解析：焦点都在x轴上，且焦点相同， 4-a2=a+2，解得a=1(舍去-2)，双曲线方程中c= ，该双曲线的离心率为e= = .,5. (选修21P39习题6改编)如果 表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是_,(1，+),解析：原方程化成标准方程为 - =1，由题意知k-10且|k|-20，解得k2，又a2=k-1， b2=k-2，c2=a2+b2=2k-31，所以c1，即半焦距c的 取值范围是(1，+)
5、,【例1】 已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程,题型一 双曲线的定义和标准方程,经典例题,分析：设动圆M的半径为r，则MC1=r+r1，MC2=r-r2，则MC1-MC2=r1+r2为定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程,解：如图，设动圆M的半径为r，则由已知得MC1=r+ ，MC2=r- . MC1-MC2=2 . 又C1(-4,0)，C2(4,0)， C1C2=8，2 C1C2. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(-4,0) ，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支 a= ，c=4，b2=c2-a2=14，点M的轨迹方程是 - =
6、1(x ),已知三点P(5,2)、F1(6,0)、F2(6,0)设点P、F1、F2关于直线yx的对称点分别为P、F1、F2 ，求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程,变式11,解：点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的 对称点分别为点P(2,5)、F1(0，-6)、 F2(0,6)，设所求双曲线的标准方程为 由题意知，半焦距 c1=6,2a1 ， 所以a1=2，b=c-a=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为 .,【例2】 已知双曲线的方程是16x29y2144. (1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点
7、，点P在双曲线上，且PF1PF232，求F1PF2的大小,题型二 双曲线的几何性质,分析：将双曲线方程先化为标准方程，求出a、b、c，则(1)题即可解决；(2)题可利用双曲线定义及三角形余弦定理求解,解：(1)由16x2-9y2=144，得 - =1， a=3，b=4，c=5， 焦点坐标为F1(-5,0)，F2(5,0)， 离心率e= ，渐近线方程为y= x.,(2)|PF1-PF2|=6，cosF1PF2= =0，F1PF2=90.,(2010浙江改编)设F1、F2分别为双曲线 (a0，b0)的左、右焦点若在双曲 线右支上存在点P，满足PF2F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴
8、长，则该双曲线的渐近线方程为_,变式21,解析：如图，取PF1的中点A，连接AF2，则由题意可知|PF2|=|F1F2|=2c，AF2=2a，则AF1=2b，PF1=4b，而PF1-PF2=2a，4a-2c=2a，c=2b-a，c2=(2b-a)2，a2+b2=4b2-4ab+a2，解得,，,=,该双曲线的渐近线方程为y= x= x，即为4x3y=0.,【例3】 已知点A(3,0)，F(2,0)，在双曲线x2 1上求一点P，使PA PF的值最小,题型三 双曲线的第二定义及其应用,解： a=1，b= ，c=2，e=2，设点P到 与焦点F(2,0)相应准线的距离为d，则 =2， PF=d，PA+
9、PF=PA+d，从而将问题转化成在双曲线上求一点P，使P到定点A的距离与到准线距离和最小即到定点A的距离与准线距离和最小为直线PA垂直于准线时，解得点P(1,0),【例】 双曲线2x2y2k的焦距为6，求k的值,易错警示,错解： 方程可化为 ， c2 k k，2 6，即k6.,错解分析 错解误认为k0，忘记讨论k正负。,正解： 当k0时，方程化为 - =1，c2= +k= k，2 =6，解得k=6；当k0时，方程化为 - =1，c2=- k，2 =6，解得k=-6.综上，k=-6或6.,1(2010江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 上有一点M， 点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距
10、离是_,链接高考,知识准备：1. 知道双曲线中的基本关系a2b2c2；2. 会求双曲线的准线方程；3. 理解双曲线的第二定义,解析：双曲线的右准线方程为x= = =1，点M到右准线的距离d=2，由双曲线的第二定义得 =e= =2，MF=4，即M到双曲线右焦点的距离是4.,2. (2010北京)已知双曲线 的离 心率为2，焦点与椭圆 的焦 点相同，那么双曲线的焦点坐标为_，渐近线方程为_,知识准备：1. 会求曲线的焦点；2. 会求双曲线的渐近线,解析：容易求得椭圆的焦点坐标是(4,0)由 双曲线的焦点和椭圆的焦点相同得双曲线的焦 点坐标为(4,0)又双曲线的离心率为2，实 半轴a=2，虚半轴b= =2 ，渐近线方程为y= x= x，即为 xy=0.,
