1、1,主 讲,姚立宁教授,第四章 弯曲内力,材料力学与模具材料,2,4.1 弯曲的概念和实例4.2 受弯杆件的简化4.3 剪力和弯矩4.4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图4.5 剪力、弯矩与分布荷载之间的微分关系,第四章 弯曲内力,弯曲内力,3,平面弯曲的概念,1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。,2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。如桥式起重机的大梁、火车轮轴等杆件。,4.1 弯曲的概念和实例,* 画简图表示梁时，只要画出轴线即可；,弯曲内力,4,观察分析知：,受力特征：集中力P；分布力q;集中力偶M均作用在纵向对称平面内。,弯曲内
2、力,5,3 梁的截面：,矩形截面,工字形截面,T形截面,圆形截面,通常有矩形，工字形，T形和圆形等。,弯曲内力,6,4. 工程实例,弯曲内力,7,图a:桥式起重机大梁,图b：火车轮轴；,图c：镗刀杆,工程实例,8,弯曲内力,9,5. 平面弯曲：,（1）对称弯曲（如下图） 平面弯曲的特例。,杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内,弯曲内力,10,（2）非对称弯曲,下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。,若梁不具有纵对称面，或者， 梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲 则统称为非对称弯曲。,弯曲内力,11,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，
3、应进行必要的简化，抽象出计算简图。,1. 构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。,2. 载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力，集中力偶，和分布载荷。 具体参见下图：,4.2 受弯杆件的简化,弯曲内力,12,弯曲内力,13,固定铰支座：2个约束。,滑动铰支座：1个约束。,3. 支座简化,如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。,如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。,弯曲内力,14,固定端3个约束。,如：游泳池的跳水板支座、车床上的割刀及刀架等。,弯曲内力,15,4. 静定梁的三种基本形式,简支梁：,悬臂梁：,外伸梁：,弯曲内力,16,5. 静定梁与超静定梁,静定梁：由静力
4、学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。,超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。如下图所示:,弯曲内力,17,1、弯曲内力：剪力和弯矩,A,Q,M,M,Q, 弯曲构件内力,C,C,4.3 剪力和弯矩,弯曲内力,18,2、弯曲内力求解方法举例：,举例已知：如图，P，a，l，求：距A端x处截面上内力。,l,A,A,B,B,解：求支座反力,弯曲内力,19,求内力截面法：,A,Q,M,M,Q,C,C,考察左段梁的平衡：,弯曲内力,20,1. 弯矩：M构件受弯时，弯矩M等于横截面一侧梁上所有外力对该截面形心的力矩之代数和。,2. 剪力：Q构件受弯时，剪力Q等于横截面上其作用
5、线平行于截面的内力之代数和。,A,Q,M,M,Q,C,C, 弯曲构件内力,弯曲内力,21,3.内力的正负规定:,剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,Q(+),Q(),Q(),Q(+),弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩； 使梁变成凸形的为负弯矩。,M(+),M(+),M(),M(),弯矩正负的简单判别方法： 凡使得隔离体下部纤维受拉的弯矩为正，反之为负。,弯曲内力,22,例41 简支梁受集中力P1=24kN, P2=80kN的作用，求跨中截面E处的剪力QE和弯矩ME？,解：,1）求支座反力：,VA,XA,VB,=0,VB4,P22.5,P11,0,-VA4,P13,P11.5,0,弯
6、曲内力,23,VA,XA,VB,=0,2）求E截面的内力：,考察左段梁的平衡：,24,总结：梁的内力计算规则：,剪力Q=截面一侧梁上所 有外力的代数和；,如取左段研究，则左段所有向上 的外力会使该截面产生正剪力，而 所有向下的外力会使该截面上 产生负剪力；,如取右段研究，则右段所有向上 的外力会使该截面产生负剪力， 而所有向下的外力会使该截面 产生正剪力；,结论1：左上右下，剪力为正！,弯曲内力,25,弯矩M=截面一侧梁上所有外力 对该截面形心的力矩代数和；,（1）无论取左段或右段研究，则外力使该隔离体下侧纤维受拉的产生正弯矩，而外力使该隔离体上部纤维受拉的产生负弯矩,（2）如取左段研究， 则
7、外力偶使该隔离体下侧纤维 产生受拉的正弯矩，而外力偶 使该隔离体上部纤维产生受拉的 为负弯矩；,结论2：左顺右逆，弯矩为正！,弯曲内力,26,利用“结论1、结论2”求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。,解：截面法求内力：,图（a）,思考题：,Q1,A,M1,图（b）,1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。,结论1：左上右下，剪力为正！,结论2：左顺右逆，弯矩为正！,弯曲内力,27,2-2截面处截取的分离体如图（c）,图（a）,q,Q2,B,M2,弯曲内力,图（c）,结论1：左上右下，剪力为正！,结论2：左顺右逆，弯矩为正！,28,1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式
8、。,2. 剪力图和弯矩图：,2，正弯矩图作在梁的上侧，负弯矩作在下侧；,剪力图、弯矩图的简单图规律：,1，剪力图可作在梁的任意一侧，（一般正剪力作在 梁上侧，负剪力作在下侧）但必须标正负号；,4.4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,弯曲内力,29,例42 求下列图示梁的内力方程并画出内力图。,解：1写出剪力方程和弯矩方程：,x,2，根据方程画内力图：,无分布荷载作用段，剪力图为水平线，弯矩图为斜线；,弯曲内力,30,A,B,弯曲内力,例4-3 求下列图示梁的内力方程并画出内力图。,解：1写出剪力方程和弯矩方程：,x,2，根据方程画内力图：,有分布荷载作用段，剪力图为斜线，弯矩图为抛物线；,
9、且弯矩图总是凸向分布荷载的指向的反方向；,31,例4-4求下列图示梁的内力方程并画出内力图。,解：1，求支座反力RA，RB：,x,2，写出剪力方程和弯矩方程：,弯曲内力,32,3,当,弯曲内力,33,4，根据方程画内力图：,无分布荷载作用段，剪力图为水平线，弯矩图为斜线。集中力作用截面，弯矩值不变，剪力值突变。,弯曲内力,34,例4-5 C处作用一集中力偶，求梁的内力方程并画出内力图。,解：,1，求支座反力RA，RB：,RA,RB,弯曲内力,35,2，写出剪力方程和弯矩方程：,弯曲内力,36,弯曲内力,37,3，根据方程画内力图：,结论：集中力偶作用截面，弯矩图突变；,弯曲内力,38,总结：绘
10、制剪力图和弯矩图的一般过程：,（1）建立坐标轴；一般取平行梁轴线为X轴，表示梁横截面的位置，纵坐标表示各对于截面上剪力或弯矩的大小。,（2）寻找分段点；寻找剪力和弯矩图形的不连续点，确定剪力方程和弯矩方程适用的区间,一 般分段点取在支座点、集中力和集中力偶、分布力端点所在处；,（3）计算控制点（分段点左右两侧面）的内力值；分段点左右两侧的内力值是不同的，应分别计算出来；,（4）根据下列规律确定内力图的形状；,无分布荷载作用段，剪力图为水平线，弯矩图为斜线；,有分布荷载作用段，剪力图为斜线，弯矩图为抛物线； 且弯矩图总是凸向分布荷载指向的反方向！,弯曲内力,39,（6）连续作图；在划定的分段区间
11、内，根据内力图的形状，连接各控制点的内力值，即可作出整个梁的内力图；,（7）注明数据、单位和符号；剪力可绘制在梁的任意一侧，但必须标明正负号。正弯矩一定要画在梁的上侧，负弯矩一定要画在梁的下侧；,（8）确定 ；确定剪力图和弯矩图中绝对值最大的剪力和弯矩值以及相应的位置；,（5）杆的铰支端或自由端，若无外力偶作用， 则弯矩必为零。,弯曲内力,40,一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系,对dx 段进行平衡分析（设分布载荷q(x) 向上为正），有：,q(x),q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,剪力图上某点处的切线斜率=该点处荷载集度q的大小。,
12、4.5 剪力、弯矩与分布荷载之间的微分关系,41,q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,弯矩图上某点处的切线斜率=该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度q的关系是：,弯曲内力,42,一般由上式可得内力图简易做法的一般规律：,（1）确定控制点；一 般控制点取在支座点、集中力和集中力偶、分布荷载的端点所在处；,（2）计算控制点左右两侧面的内力值；一般控制点左右两侧的内力值是不同的，应分别计算出来；,（3）根据下列规律确定内力图的形状；,无分布荷载作用段，剪力图为水平线，弯矩图为斜线；,有分布荷载作用段，剪力图为斜线，弯矩图为抛物线； 且弯矩图总是凸
13、向分布荷载指向的反方向！,集中力作用点，剪力图发生突变，且突变值等于集中力的数值，突变方向与该集中力方向相同；此时弯矩图发生折点，左右斜率不等；,弯曲内力,43,（4）连续作图；在划定的分段区间内，根据内力图的形状，连接各控制点的内力值，即可作出整个梁的内力图；,集中力偶作用点，剪力图不变，但弯矩图发生突变，且突变值等于集中力偶的数值；,（5）注明数据、单位和符号：剪力可绘制在梁的任意一侧，但必须标明正负号。正弯矩一定要画在梁的上侧，负弯矩一定要画在梁的下侧，必须标明正负号；,对于铰支座点，无外力偶作用时支座点的弯矩等于零，如有外力偶，则该支座点弯矩值等于集中力偶的数值；,对于悬臂梁的自由端，
14、无外力偶作用时自由端的弯矩等于零，如有外力偶，则该自由端弯矩值等于集中力偶的数值；,弯曲内力,44,例4-6 利用剪力、弯矩与分布荷载之间的微分关系，画图示梁的内力图,（2）确定控制点： A、B、C、D；,（3）计算控制点左右两侧面 的剪力值；,解： （1）求支座反力：,（4）根据规律确定 内力图的形状,并连成图形；,A,C,B,D,Q图（kN）,72,72,88,60,20,45,（5）计算控制点左右 两侧面的弯矩值；,（6）根据规律确定 内力图的形状, 并连成图形；,注意：正弯矩一定要画在梁上侧，负弯矩一点要画在梁下侧；,弯曲内力,46,例47利用剪力、弯矩与分布荷载之间的微分关系，画图示梁的内力图,（2）确定控制点：A、B、C；,（3）计算控制点左右两侧面 的内力值；,1,1,2,2,3,3,4,4,解： （1）求支座反力：,2qa,Q,M,qa2,qa2,（4）根据规律确定 内力图的形状,并连成图形；,+,注意：正弯矩一定要画在梁的 上侧， 负弯矩一点要画在梁的下侧；,弯曲内力,47,本章结束,
