1、 关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如),1(,11cdaban下的参数法 1，将递推数列转化为等比数列：设 ，tctctannn )(),(11 则令 ，即 ，当 时可得d)()1(1cacnn知数列 是以 为公比的等比数列，n 11)(nncdac将 代入并整理，得ba1 1cdban对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法 2：设递推公式为 其特征方程为 ，,11nnqp 022 qpxqpx即1、 若方程有两相异根 、 ，则ABnBcAa212、 若方程有两等根 则,n)(其中 、 可由初始条件确定。1c2很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学
2、生是难以接受的，也是不负责任的。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源” 。设 ，则 ,令 （*）)(11nntasta 11)(nnstatqtp（1） 若方程组（*）有两组不同的解 ,21ts则 , ,)(11nnatsat )(12nnaat由等比数列性质可得 , ,1)(s 1222)(1nsatt由上两式消去 可得 .,21t1nannn stst212121.特别地，若方程组（*）有一对共扼虚根 通过复数三角形式运算不难求得,icosr此时数列的通项公式为 其中 、 可由初始条件求出。n21ran1c2（2） 若方程组（*）有两组相等的解 ，易证此时 ，则21
3、ts1ts，1212111 )( atasatsat nnnn ,即 是等差数列，211snn1由等差数列性质可知 ，211.satsan所以 nn tsta2121.这样，我们通过将递推数列转化为等比（差）数列的方法，求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（*）消去 （或 ）即得 此方程的两ts ,0022 qptqps或根即为特征方程 的两根，读者不难发现它们的结论是完全一致的，这正是特qpx2征方程法求递推数列通项公式的根源所在。例 1、 斐波那契数列 ，求通项公式 。),32(,1121 naan na解 此数列对应特征方程为 即 ，解得 ，x02x251x设此数列的通项公式为 ，nn
4、ncca)51()51(2由初始条件 可知，21，解之得 ，1)25()25(1cc 512c所以 。nnna)(）例 2、 已知数列 且 ，求通项公式 。,5,12a)2(411nann na解 此数列对应特征方程为 即 ，解得 ，x02x21x设此数列的通项公式为 ，nnc)(21由初始条件 可知， ，解之得 ，,5,12a54)2(11c4312c所以 。2)3(nn例 3 已知数列 且 ，求通项公式 。,1,021a)(21nann na解 此数列对应特征方程为 即 ，x0x解得 ，)4sico(1ix设此数列的通项公式为 ，)4sinc(221ann由初始条件 可知，,021，解之得
5、 ，1)4sinco()202121c所以 。coiann最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。例 4、设数列 满足nannnaa求,7245,11解： 对等式两端同加参数 得t解 之 可 得令 ,5247,2547724572451 tattattat nnnn， ，代入 ，t )(1nntt得 相除得,729,72311 nnnn aaa ,21321nnaa即 的等比数列，31,41公 比 为是 首 项 为n。1342,3412nnnnaa解 得
