1、数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学 杨金宝 225300）数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。（一）数形结合的简介中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组） 、不等式（组） 、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两
2、种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。 ”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。 “数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛
3、盾的统一。（二）函数数形结合的应用 1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。 例 1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水 2 升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量 y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。 请结合图像，回答下列问题： （1）根据图中信息，请你写出一个结论； （2）问前 15 位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的 8 位同学去锅炉
4、房连续接完水恰好用了 3分钟。 ”你说可能吗？请说明理由。 分析：此类题型为图像信息问题，所有的信息由图像反映，图形是折线，分为两段，代数模型为：两个不同的一次函数。根据图形可得到点的坐标（0，96） ， （2，80） ， （4，72） 。代表的意义为：到 2 分钟，锅炉内原有水 96升，接水 2 分钟后，锅炉内的余水量为 80 升，接水 4 分钟，锅炉内的余水量为 72 升；2 分钟前的水流量为每分钟 8 升等。利用待定系数法的代数方法求出函数解析式，利用代数的精确性说理解题。 解：（1）略 （2）当 0x2 时，y=-8x+96（0x2） ， 当 x2 时，y=-4x+88（x2） 前 1
5、5 位同学接完水时余水量为 96-152=66（升） ， 66=-4x+88，x=5.5 答：前 15 位同学接完水需 5.5 分钟。 （3）若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为 828=2（分） ，即 8位同学接完水，只需要 2 分钟，与接水时间恰好 3 分钟不符。 若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设 8 位同学从 t 分钟开始接水，当 0t2 则 8（2-t）+43-（2-t）=82，16-8t+4+4t=16， t=1（分） ，（2-t）+3-（2-t）=3（分） ，符合。 当 t2 时，则 824=4（分） 即 8 位同学接完水，需 7 分钟，与接水时间恰好 3 分钟不符
6、。 所以小敏说法是可能的，即从 1 分钟开始 8 位同学连续接完水恰好用了 3分钟。 2、构造图形、图像，建立合理的几何模型，利用图像法解决代数问题。 例 2：利用图像解 x22x=0 的一种方法是：画出抛物线 yx 2与直线2x ，两图像的交点的横坐标就是方程的解。 （1）再给出一种利用图像求方程 x22x=0 的解。 （2）已知函数x 的图像，求 x x2的解（保留两个有效数） 分析：用代数的方法求一元二次方程的解是机械的方法操作，利用图形的直观性，代数的问题几何化，学生在动手画图和观察图形关系中经历“观察、实验、发现、猜想、归纳、验证”的过程，学生学习知识的能力和水平得到提高，数形结合的
7、思想得到渗透。 yx03、中考数学压轴题中的数形结合思想。压轴题的关系多，涉及的知识点广，关键是找到数与形的契合点，数形的契合点以等式方程为载体，图形的相似、全等、勾股定理、解直角三角形等是建立等式、方程的基础，灵活的采用几何问题代数化，代数问题几何化的数形结合思想，找出契合点。 例 3：在直角坐标平面内，O 为坐标原点,A 点的坐标为(1,0)，点 B 在 x轴上且在点 A 的右侧,AB=OA,过 A、B 做 x 轴的垂线，分别交二次函数 y=x2的图像于点 C、D。直线 OC 交 BD 于 M，直线 CD 交 y 轴于 H，记点 C、D 的横坐标分别为 xC、x D，点 H 的纵坐标为 y
8、H 。同学们发现两个结论：1、S CMD S 四边形ABMC=23； 2、数值关系：x CxD=-yH （1）请你验证两个结论是否成立。 （2）请你研究：如果将上述条件“A 点的坐标为(1，0)”改为：“A 点的坐标为(t，0)， （t0） ”其他条件不变，S CMD S四边形 ABMC=23 是否成立，说明理由。 （3）进一步研究：如果将条件“A 点的坐标为(1，0)”改为：“A 点的坐标为(t，0)， （t0） ”，又将条件 y=x2改为xyOMACDHBy=ax2（a0） ，其他条件不变，那么 xC、x D和 yH有怎样的数值关系，写出结果并说明理由。分析：（1）因为 AB=OA，显然几
9、何关系是：AC 是 OAB 的中位线，满足代数关系 BM=2AC；根据平行线等分线段定理，点 C 是线段 OM 的中点，继续则发现 HOCDMC，OH=DM。显然隐含关系 BM=MD，契合点为：y D=2yM；（2）几何图形坐标化，把点的坐标量化为几何线段的长：数值关系：xCxD=-yHx C=1、DM=BM=OH、-y H=OH、x D=OB，结合图形和条件 A（1，0） ，COA=45 o，OB=BM，得证。把代数等式化为几何对象，契合点为COA=45 o。 （3） “A 点的坐标为(1，0)”改为：“A 点的坐标为(t，0)， （t0） ”，只是表示 AC、BM、MD 时由整数变成了字母
10、，字母代替数，范围扩大了，图形变化由数 t 引起，AC、BM、MD 的几何图形关系完全一样，解决方法（1）一样。 例 3 中（2） （3）的契合点是：数形辩证统一关系。牢牢抓住数和形中的不变量，是解决类似问题关键。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 著名数学家华罗庚认为：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休” 。初中数学函数是学生建立数形结合思想方法的关键时期，初中生经历感悟数和形的辨证统一思想， “直观” 、 “ 入微”的形数意识的对学生的数学能力的提升有积极的作用。
