1、浅谈小学数学教学中渗透的数学思想与方法马丽君(内蒙古集宁师范学院数学系内蒙古自治区乌兰察布市集宁区012000)摘要：小学数学是小学阶段的基础学科，在小学数学中渗透数学思想与方法是提高小学生数学思维能力与创新能力的重要手段。小学数学中常见的思想与方法可以概括为化归思想、变换思想、组合思想、归纳思想方法、类比思想方法、单位思想方法、符号化的思想方法、极限思想。关键词：小学数学 思想方法中图分类号：G62自17世纪以来，特别是近一个世纪。数学学科发生了很大的变化，教学方法也有了很大的突破，数学成为研究一般的数学关系与形式的科学。渗透数学思想与方法则显的越来越重要。一、小学数学教学中应渗透的常规数学
2、思想在数学历史长河中，智慧人类创造出多少数学思想方法。如此多的数学思想一下渗透到小学生思维中是不现实的，再者小学生的年龄特点，不能全部接受这些思想方法。因此，我认为选择以下几种最基本、最简单的数学思想方法渗透到小学的数学的教学当中。对学生数学能力的提高有很好的促进作用。1.化归思想化归思想是把一些看似复杂的数学问题，通过所学知识转化、归纳为一个较简单的数学问题的过程。也就是矛盾的转化过程。通常化归思想包含两个方面的内容。 代数运算在一些代数运算中，直接解决问题比较困难，需要把问题转换成简单的或是学过的问题，这样就把复杂问题化归成简单问题。例如： 鸡兔同笼：笼中有头 50，有足 140，问鸡、兔
3、各有几只？分析 化归的实质是不断变更问题，这里可以先对已知成分进行变形。每只鸡有 2 只脚，每只兔有 4 只脚，这是问题中不言而喻的已知成分。现在对问题中的已知成分进行变形：“ 一声令下”，要求每只鸡悬起一只脚（呈金鸡独立状），又要求每只兔悬起两只前脚（呈玉兔拜月状）。那么，笼中仍有头 50，而脚只剩下 70 只了，并且，这时鸡的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等;有一头兔，就多出一只脚，现在有头 50，有足70，这就说明有兔 20 只，有鸡 30 只。几何知识的“变换图形”几何教学中常常运用化归思想，将原图形通过割补、分割、平移、翻折等途径加以“变形” ，把不规则面积计算问题转化成规则
4、图形的面积计算问题，可使题目变难为易，求解也水到渠成。例如: 如图所示，三个同心圆的最大的圆的两条直径相互垂直，最大的圆的半径是 2cm，求阴影部分的面积。 分析：此题从表面上看，阴影部分比较分散，没有足够的数据计算每部分阴影的面积。根据两条直径相互垂直可以得出每个圆都被平均分成了 4 份，每一份旋转 90 度都可以与相邻的部分重合。因此，可以把最外圈阴影部分的四分之一大圆绕圆心顺时针旋转 90 度，把中间阴影部分的四分之一圆绕圆心逆时针旋转 90 度，使阴影经过旋转集中在右上角四分之一大圆里。阴影的面积为： 2=(cm)。 41这里的归纳，不仅使每个学生明确了不同图形面积计算的相应方法，而且
5、领悟到了还有比计算公式更重要的东西。那就是：把新知转化为旧知，再利用旧知解决新知识的化归思想方法。2.变换思想变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。如解方程中的同解变换，定律、公式中的命题等价变换，几何形体中的等积变换等等。例如：求的和。仔细观察这些分母，不难发现：2 = 12，6 = 23 380 =1920,再用拆分的方法,考虑和式中的一般项Sn= 于是,问题转换为如下求和形式:原式 =3.组合思想组合思想是把所研究的对象进行合理的分组，并对可能出现的各种情况既不重复又不遗漏的一一求解，最后得出正确结果的过程。例如：“握手”游戏：30 个小朋友游戏，每两个人之间都握手一次，总共要握手
6、多少次？ 小学思维：方法一：假设握手是轮流进行的。设想这么一个情景：30 位小朋友排成一列，第一个小朋友先走出列队和其他 29 个人每个人握一次手，握完之后站在一旁不再进入列队，那么他握了 29 次手；接下来，轮到第二个小朋友，他和队内其他 28 个小朋友每人握手一次，所以要握 28 次手，握完后站到一旁不入队；第三个走出列队握手的小朋友要握 27 次，第四个要握 26 次，依次递减一次。轮到倒数第二个小朋友，他只要和最后一个小朋友握一次手就行了。而最后一个小朋友则不要再继续握了。所以，总共握手的次数就是从 29 到1 的 29 个整数的和：29282721=435（次） 。 方法二：把每个人
7、都算成握手了 29 次，那么就有 30 个 29 次，只是每两个人的握手都算了两次，所以还要除以 2，得：435（次） 。 组合方法：每两个人握手，就相当于在 30 个人中间任意选择 2 个人进行组合。一个组合对应一次握手，有多少个组合就有多少次握手，即：435（次） 。这些方法既不重复，又不遗漏，体现了组合思想。4.归纳的思想方法“归纳”就是由个别的特殊事例，推出一类事物的一般性结论的思想方法，是由特殊到一般的过程。它的基础是观察和实践。它可以分为完全归纳法和不完全归纳法，不完全归纳法又包括枚举归纳法和因果归纳法。在小学数学教学中培养学生的归纳能力时，需要注意以下几点：知识的获得：体现过程。
8、引导学生经过分析、综合、比较、抽象，概括等思维的逻辑加工过程。知识的归纳：借助形象。引导学生经过由形象到抽象，由模糊到清晰的思维飞跃过程。例子的呈现：需要全面。在进行完全归纳时，所举例子应该典型全面，以保证归纳结论的可信度与说服力。最后归纳。例如：小学生学习“年月日” 。通过观察一些年历表的特征，发现归纳出一年中12个月的规律：一年有12个月，1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月有31天是大月；4月、6月、9月、11月、有30天是小月；有些年份的2月有29天，既不是大月，也不是小月。有些年份的2月有28天。这里渗透的就是不完全归纳思想。5.类比的思想方法“类比”就是根据两个或两类对象的
9、相同或相似推断它们在其他方面也相同或相似的一种思想方法，是一种从特殊到特殊的思想方法，又叫类比推理。在数学解题中，通过类比能发现新的例题，所得的结论虽然都具有偶然性，但却为进一步探究指出了目标，提供了线索，沟通了联系，使思维有了方向，有利于我们对问题的最后解决，因此类比也是数学发现的重要的和最基本的方法之一。在小学数学教学中，可以主要选择在以下四方面渗透类比思想：在结构特征上进行类比；在数量关系上进行类比；在算理思路上进行类比；在思想内容上进行类比。例如：约数与倍数。有的老师是这样进入新课的：师：你们能够学着老师来说话吗？师：我是你们的老师。生：我们是你的学生。师：刚才我们描述的是什么关系。生
10、：相互关系。师：我是我妈妈的女儿。生：你是你妈妈的女儿。以上围绕生活素材展开的铺垫谈话,与新课中即将接触到的约数与倍数关系就是在思想内容上进行了类比.6.单位的思想方法数学中，不管是数还是量的计算都得益于单位思想。计数、计量的教学中，首要问题是合理引入计数、计量单位。在教学过程中要结合计数、计量单位的教学，适当地展示它的简单过程和运用的思想方法，这对学生深刻理解知识发挥着重要的作用。例如：小学阶段所学“升与毫升” 。教师提出问题：“你知道这个冷水壶的容量是多少吗？”通过实际操作发现，用比较小的水杯去测量大约有这样的5杯水那么多；用比较大的水杯去测量大约有这样的4杯水那么多。由此让学生深刻体会到
11、：测量或计算容量的多少也需要有统一的单位，任何量的量化都必须有一个标准，而且标准要统一。这样，自然地渗透了单位思想。7.符号化的思想方法符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。运用一套合适的符号，可以清晰、准确、简洁地表达数学思想、概念、方法和逻辑，避免日常语言的繁复、冗长或含混不清。例如：认识乘法。例题，电脑教室里，一张电脑桌放2台电脑，9张电脑桌一共放多少台电脑？这样的问题。在学生写完算式以后，教师有意提问：“你们刚才在写算式的时候，怎么一边写算式一边在数数？”学生回答：“算式太长了，不数就不知道写了几个2了。 ”教师相应引导：“写9个2相加的式子挺麻烦是吗？看来，我
12、们有必要创造出一种新写法，把9个2相加写的更简便一些。 ”在学生展开充分的再创造活动中，学生经历了这样一个对乘法符号的抽象过程，他们得到的不再是简简单单的一个符号，而是经历了一个比较深刻的由模糊到清晰的符号化过程。同时，在这样的过程中，学生领悟了知识的本质，也唤醒了他们内心深处研究者和创造者的角色意识。8.极限思想古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极限的思想来求得圆的面积的，在圆内作内接正多边形，当多边形的边数越多时，多边形的面积就越接近于圆的面积。 “割之弥多，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”的极限思想。并求出了圆周率，即“徽率” 。现行小学数学教材中有许多处注
13、意了极限思想的渗透。例如：比较1.9与2.0的大小.可知1.9 = 2.0 这便体现出了极限的思想。二、小学数学解题过程中的其它数学思想方法1.逆向思维的方法，逆向思维是发散式思维的一种。其基本特征是从已有思路的反方向去思索问题。这种思维形式反映了思维过程的间断性、突变性、反联结性是对思维惯性的克服。其优点在于，首先有利于克服惯常思维的保守性，开拓新的数学领域。其次有利于纠正惯常思维所造成的错误认识，开辟数学新方向。最后有利于排除惯常思维过程中出现的困难，开通新的思路。例如：小明利用寒假看了一本课外读物，第一个星期看了这本书的一半少20页，第二个星期看了剩下的一半多30页，第三个星期看了80页
14、正好看完。问这本书共有多少页？解析：利用逆向思维的解题方法。从最后一次算起，因最后80页是第二星期看后剩下的页数的一半少20页，80+30得到110页，为第一星期看后剩的页数的一半。正好比全书的一半多20页（第一星期差20页正好一半） 。将11020=220后减去20得书的一半，再乘以2即得全书的页数。列式为：（80 + 30） 2 20 2 = 400（页） 。例如：李白无事街上走，提壶去打酒，遇店加一倍，遇花喝一斗，三遇花和店，喝干壶中酒。试问：壶中原有多少酒？解析：题意是李白提壶上街买酒、喝酒的过程。每次遇见酒店，便将壶中的酒量增添一倍，而每次遇到花，便喝酒一斗，这样他遇店遇花经过3次，
15、便把所有的酒全喝完了，问：李白壶中原有多少酒？采用逆向思维的方式，从最后一次开始推算：见花前有1斗酒；第三次：见花后壶中酒喝完，遇店前壶中有酒半斗；第二次：见花前壶中有酒（斗） ；遇店前壶中有酒（斗） ；第一次：见花前壶中有酒 （斗） ；遇店前壶中有酒（斗） ；即：李白壶中原有酒为（斗） 。2.研究数学问题的对立面，也就是矛盾的同一性。即从原问题的反面入手。进行新的探索。反其道而行之：例如非欧几何的创立等等。例如在小学分数加法时，把乘法法则用作加法法则了，即对两个分数相加时，分子加分子，分母加分母：。结果显然是错误的。但是，这种错误的算法得到的结果和正确的结果相比，有没有什么明显的不同呢？仔细
16、看看，是有很明显的不同：按正确的算法。正数越加越大。要比与都大才对。可是在与之间，它比大，比小。如果小学生掌握了这种思想就不会出现类似的错误了。三、在小学教学过程中如何渗透小学数学的思想与方法数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，教材中，大量的数学思想方法是蕴涵于表层知识中，处于潜形态的。有的数学思想方法与数学知识直接溶于一体，有的则与相关的数学知识溶于一体。因此，作为教师应该先深入挖掘具体教材中的数学思想方法，自己能够先将这些深层次的知识由潜形态变为显形态，由对它们的朦胧感受转变为清晰的理解。在同一教材内容蕴涵的数学思想方法不止一种，需要重点渗透的可能只是某种思想方法，不必面面俱到全
17、面到位。即便同一数学思想方法，在不同的教学阶段，也应该确定不同的要求。因此，在进行教学预设时，要合理细致地确定某一课时需重点渗透的数学思想方法。首先把这种思想融合到你的思想中，进而把它融入到自己的教案中，然后传递到学生的思维中，渗透到知识的形成的过程中，使学生对数学知识产生好奇，迫切探索，在操作中亲身经历、感受、理解、掌握和领悟数学思想方法，这样数学思想才能真正注入到学生的大脑中。让学生的思维能力和知识能力共同发展。四、在小学教学中渗透数学思想方法的意义首先，掌握数学思想方法有利于记忆。 “高明的理论不仅是现在用以理解现在的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。 ”数学思想方法作为数学学科
18、的核心内容，在数学学习中是至关重要的，学生掌握了小学数学思想方法后，对于小学数学知识的的记忆是非常有益的。而且能把握问题的本质，解决问题的基本思想。掌握事物或问题之间的逻辑关系。其次，掌握小学数学思想方法有利于数学能力的提高。学生的数学能力主要是在掌握数学概念、定理过程中形成和发展起来的，同时也是在掌握和运用数学知识的过程中形成起来的。在小学数学教学中，培养学生的能力始终是教学目标中的一个重要方面，掌握了数学的思维，灵活的思考，善于抓事物的主要矛盾，能辩证地全面地考虑问题以及分析、抽象、概括能力，都是小学数学教学应该着力培养的。最后，小学数学思想方法是联结小学数学的一条红线。掌握了小学数学的思
19、想方法小学生就能从本质到现象的看待小学数学中涉及到的数学问题。参考文献：1 解恩泽、赵树智 .数学思想方法纵横论M.科学出版社,1987年版.2 寿望斗.逻辑与数学教学M.科学出版社,1979年版.3 顾冷元.数学思想方法M.中央广播出版电视大学出版社,2004年6月第1版.4 王权.中国小学数学教育史M.2001年版.5 单樽.举一反三 M.长春出版社 ,2006年版.6 马云鹏.小学数学教学概论M.延边大学出版社,1993年版.简介：姓名：马丽君出身年月：1973 年2月 1 日性别：女，?民族：汉，籍贯：内蒙古，单位：集宁师范学院数学系，职称：讲师，学历：本科，研究方向：数学教育邮寄地址：内蒙古乌兰察布市集宁区新区市委住宅区一号楼一单元四楼西户，电话：15849446633
