1、概率分析 是通过一些复杂的计算将一些出现概率较小的数字组合删除，从而提高中奖机会。比如，通过分析知道某一位有 90%的概率选择 0、2、4 三个数码，那么你买 0、2、4 猜对的机会是你买全 10 个号码 90%。即花了 3/10 的钱却可得到 9/10 的收获。打个比方，你在撒网捕鱼，有 10 个地方可以撒网，通过仔细观测与分析，你发现在三个地方的鱼特别多，而其他七个地方鱼却相当少，我想你一定会在鱼特别多的地方撒网捕鱼。我们将预测号码比做捕鱼，我们先通过概率分析（好比撒网前的观察与分析）了解那些号码出现可能性大（好比寻找鱼出现多的地方） ，然后就将这些可能出现多的号码组合起来（好比在鱼出现多
2、的地方撒网） ，这样中奖的机会会明显增多（好比鱼会捕得多） 。前面讲过，彩票号码的摇出是随机事件，什么叫随机事件呢？随机事件是概率论的一个基本概念，是指在同一组条件下，每次实验可能出现也可能不出现的事件，也叫偶然事件。如每次掷色子，1 点可能出现，也可能不出现，这就是随机事件。同样彩票号码每位可能出现 1，也可能出现 2、3。因此，彩票号码的摇出是随机事件。可能有人说，既然是随机事件，是偶然事件，什么事都可能发生。怎么可能知道结果了。其实这是因为不知道概率的功用的缘故。大家可能不知道，概率的起源就是源于赌博，古代的人为了在掷色子赌博时获得胜利，就研究在掷色子时这些随机事件各种可能出现的大小，形
3、成了古典概率学。在此基础上经过漫漫发展，才形成了现在的概率学。概率学研究的就是随机事件发生的可能。彩票号码的摇出是随机事件，当然可以研究。那么，什么叫概率了？概率的古典定义是：如果某一随机实验结果有限，而且各个结果出现的可能性相等，则某一事件 A 发生的概率为该事件 A 发生的事件数 m 与样本空间所包涵的基本事件数 n 的比值，记为：P（A）=事件 A 所包含的基本事件个数 = m样本空间所包涵的基本事件数 n仍以掷色子为例，如果掷 6 万次色子，那么掷 1 点的次数肯定接近 1 万次，因为掷 1 点的概率为 1/6。掷 2 点概率也为 1/6。同样，在彩票号码中，前六位各位次上出现 1 的
4、概率为1/10，29 的概率也为 1/10。随着概率学的发展，又形成了概率的统计定义。是指在相同条件下随机 n 次，某事件 A 出现 m 次（mn）,则比值 m/n 叫做事件 A 发生的频率，随着 n 的增大，该频率围绕某一常数 p 上下波动，且波动的幅度逐渐减小，趋向稳定，这个频率的稳定值即为该事件的概率，记为：P（A） =m/n=p.概率有三个性质非负性。对任一随机事件 A，有 0 P（A ）1规范性。必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，随机事件的概率是 01。可加性。若 A 与 B 互斥，则这三个性质是最基本的性质，是概率运算的基础，常叫做概率的公理化定义。下面讲一下什么叫条件
5、概率，我们知道，每一个随机实验都是在一定条件下进行的，而条件概率是指当试验结果的部分信息已经知道（即在原随机实验的条件下再加上一些附加信息） ，例如，当某一事件 B 已经发生，求事件 A 发生的概率，记为 由于增加了新的条件，p 举个例子，掷硬币，前五次扔的都是反面，第六次扔的是正面还是反面了，如果把第六次掷硬币作为独立事件，则为反面的概率为 1/2，但是将六次掷硬币作为一次事件，那么六次都扔反面的概率就是 1/64。这个地方就谈到了认为概率分析在彩市分析中有无道理的关键所在，就每一次摇奖而言，由于是回置式抽样（即号球每次都放回）每个数码出现都是独立事件，因此每个号码出现的几率都是 1/10，
6、这就是好多专家认为彩票分析无科学性的王牌根据。但某一位次假如 4这个数码在 10 期中出现了 5 次，只要彩球的出现是随机的。即 09 出现的统计概率是相等的，那么，在后面 10 期中，我们就有 95%的把握认为 4 出现的机会应该相对小一些，所以，有无科学性就看你怎么看，但概率学确实可以应用在彩票分析中。前面讲过，彩票号码的出现是随机分布，但到底怎么分布了？有哪些分布了？先介绍一下随机变量的概念：指在同一组条件下，如果每次实验可能出现这样那样的结果，并把所有结果列举出来，即把 X 的可能值 x1、x2xn 都能列举出来，而且其可能值具有确定的概率 P（x1） 、P （x2） 、P （x3）P
7、（xn） ，则 X 叫 P（x）的随机变量，P（x）叫随机变量 X 的概念函数。由于彩票每个位次上号码的所有取值都可以列举出来，因此，我们叫做离散型随机变量。它有好多种不同的分布形态，与彩票选号最有联系的分布是均匀分布与二项分布。均匀分布均匀分布是每种结果可能都可以列举出来，而且每种结果出现的概率都是相等的，如掷色子。均匀分布是彩票号码分析中最重要的一个分布，它告诉我们这样一个事实，就是如果保证足够的样本容量，每个数码的出现机会是大致相等的。即传统型彩票各个位次上出现某个数码的概率是 1/10,而风采系列每个号球出现的概率是 1/36。二项分布二项分布是离散型随机变量最常见的概率分布之一。那么
8、什么叫二项分布，这里要先讲以下什么叫做贝努里试验。贝努里试验。是指具有下列特征的 n 次独立重复试验 试验中包含了 n 个相同的试验。如传统型电脑体育彩票每个位次上各期号码出现都是在同一种机器中摇出的。 每一次实验只有两个可能的结果， “成功”或“失败”，这里的“成功”或“失败” 是广义的。如传统型电脑体育彩票每个位次上要么“成功”，猜中数码，要么“失败” 猜不中数码。 出现成功的概率 p 每次是相同的,失败的概率 q 也固定不变。如传统型电脑体育彩票每个位次上成功的概率是 1/10， （10 个号码中取 1 个） ，失败的概率是 9/10，且 p q=1。 试验是相互独立的，每次摇完后号球都
9、放回，本期结果不影响下期结果。 试验“成功”或“ 失败”可以记数，即试验结果对应于一个离散型的随机变量。以 X 表示 n 次重复独立试验中事件 A 出现的次数，不难得出 PX=x= x=0,1,2n显然 PX=x0 x=0,1,2n注意到 独正好是二项式（p q）n 的展开式中的第 x 1 项，故我们称随机变量 X 服从二项分布，参数为 n,p，并记做 XB（n,p）.其中 表示从 n 个元素中抽取 x 个元素的集合，计算公式为：传统型的电脑体育彩票的抽样只要不换摇奖机，就完全符合贝努里试验的要求。用二项分布来分析当然有道理。对于乐透型，虽然每次开奖结果不影响下期摇奖，即期与期之间是独立事件，
10、但在同一期内先开出的号球并不放入摇奖机，则其必然会对下面号码的产生有一定的影响。在概率学上称做“无放回” 的抽样，此时，其试验条件就已经不同了，故不能够直接套用二项分布。此种分布也是概率学中一种相当重要的分布，叫做超几何分布其概率计算公式为：考虑到在实际情况下，真正在完全相同条件下进行的实验是相当少的。对于抽样问题来讲，只要满足一定的样本容量，无放回可当作有放回处理。况且， “无放回”的抽样只是在同一期内而言，期与期之间是独立事件，仍然是“无放回”的抽样。所以我们在分析乐透型的中奖号码，仍然以二项分布和均匀分布为主要考虑，兼顾超几何分布的一些特点。怎么运用二项分布呢？以经典的生日聚会为例子，以
11、 1 年 365 天计，你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同，那么需要多少人？大家不难得到结果，366 人，只要人数超过365 人，必然会有人生日相同。但大家想一下，如果一个班有 60 个人，他们中间有人生日相同的概率是多少？，你可能想，大概 20%30%，错！有 90%的可能。下面列出一些具有代表性的值人数 至少有两人生日相同的概率10 0.1220 0.4123 0.5130 0.7057 0.90366 1.0从上表可以看出，要有 100%把握确认至少有两人生日相同需要 366 人，而有 90%把握认为至少有两人生日相同只需要 57 人。大家可能奇怪，怎么会有这样的结果， ，其实，这
12、就是概率分析显示的强大作用。应用在彩市预测中，也同样有效。其具体运用在后面的经典概率分析法中将加以介绍。以上这些都是概率学的一些基本常识，但这些基本常识都是彩票概率分析的基本定律。有好多数学专家认为，从纯数学角度讲，概率低于 1/1000，就可以忽略不计，而彩票中特等的概率是 1/500 万，而 1/500 万的几率须取样 100 万次用概率计算才有机会。所以好多数学专家认为彩票中奖不能够用概率来分析。专家的话是有道理的。中特等奖用概率分析目前确实不太可行，但不要忘记一点，按照彩票的兑奖规则，并不需要你每位都猜中才能得奖，以江苏传统体育彩票为例子，你只要猜对相连 2 位就能得奖，享受中奖的喜悦
13、。而猜对相连 2 位的几率是 5/100，与特等奖的 1/500 万的几率相差整整 250000 倍，而几率是5/100 的随机事件是随时都可以发生的，且其进行概率分析所需要的样本数也相当有限，20次的中奖号码就足够分析了，而江苏传统体育彩票已经开出了 90 期的中奖号码，远多于20 次，进行分析是可以的。当然，这种分析的侧重点是小奖，而不是特等奖。我们前面讲过，小奖=60%运气 40%分析，大奖 =99.9%运气 0.1%分析。如果你用概率分析来分析某个位次的号码，其概率为 1/10，目前的样本数绰绰有余。我们常用的按位选号法中的选少法就是根据均匀分布的分布特征来推测每个位次上各种号码出现的
14、可能。其实，将开奖号码分类别进行组合，如大小组、奇偶组，也各有各的概率分布特点，甚至将各期号码的值相加取其和也会有一定的分布形态。这些分布特征就是我们进行彩票分析的基础。如果我们因为用概率分析无法分析特等奖号码而否定概率分析在彩市预测中奖号码的作用，这就好比一个男人娶不到西施这样的女子，但不能够说明这个男人一辈子娶不到老婆。彩票选号除了概率分析外，规律分析也是一种相当流行的预测方法，它的最基本依据是由于一些不确定因素，如彩球质量不可能绝对相等，角度，摇竿摇动的时间等会使彩球的出现有一定的规律，你先寻找规律，然后验证规律，最后以以前开出的号码为依据，重新排列组合。如常用的选多法就是典型的规律派后
15、面提到的。另外，组合选号法也是规律派常用的方法。这种方法虽然没有什么科学道理在里面，但却因其使用简单，易学易用、趣味强，投资小而得到广泛应用。第九章 排列、组合、二项式定理加法原理和乘法原理北京市东直门中学 吴卫教学目标正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力教学重点和难点重点：加法原理和乘法原理难点：加法原理和乘法原理的准确应用教学用具投影仪教学过程设计（一）引入新课师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分排列、组合、二项式定理它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般虽然份量不多，
16、但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它今天我们先学习两个基本原理（这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础）师：（板书课题）（二）讲授新课1介绍两个基本原理师：请大家先考虑下面的问题（找出片子问题 1） 问题 1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有 4 个班次，汽车有 2 个班次，轮船有 3 个班次那么一天
17、中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？师：（启发学生回答后，作补充说明）因为一天中乘火车有 4 种走法，乘汽车有 2 种走法，乘轮船有 3 种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子加法原理）加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法， ，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法那么，完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法（教师放慢速度读一遍加法原理）师：请大家再来考虑下面的问
18、题（打出片子问题 2） 问题 2：由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条（见图 91） ，从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？师：（启发学生回答后加以说明）这里，从 A 村到 B 村，有 3 种不同的走法，按这 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后，再从 B 村到 C 村又各有 2 种不同的走法，因此，从 A村经 B 村去 C 村共有 32=6 种不同的走法一般地，有如下基本原理：（找出片子乘法原理）乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同
19、的方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法（教师要读一遍乘法原理）2浅释两个基本原理师：两个基本原理是干什么用的呢？生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数（如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示）师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢？（学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘 ）两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关师：请看下面的分析是否正确（打出片子题 1，题 2）题 1：找 110 这 10 个数中的所有合数第一类办法是找含因数 2的合数，共有 4 个；第二类办法是找含因数 3 的合数，共有 2 个；第三类办法是找含因数 5 的
20、合数，共有 1 个110 中一共有 N=421=7 个合数题 2：在前面的问题 2 中，步行从 A 村到 B 村的北路需要 8 时，中路需要 4 时，南路需要 6 时，B 村到 C 村的北路需要 5 时，南路需要 3 时，要求步行从 A 村到 C 村的总时数不超过 12 时，共有多少种不同的走法？第一步从 A 村到 B 村有 3 种走法，第二步从 B 村到 C 村有 2 种走法，共有 N=32=6 种不同走法生甲：9-2 中的合数是 4，6， 8，9，10 这五个，其中 6 既含有因数2，也含有因数 3；10 既含有因数 2，也含有因数 5题中的分析是错误的生乙：从 A 村到 C 村总时数不超
21、过 12 时的走法共有 5 种题 2 中从A 村走北路到 B 村后再到 C 村，只有南路这一种走法（此时给出题 1 和题 2 的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力）师：为什么会出现错误呢？生：题 1 的分类可能有问题吧，题 2 都走北路不符合要求师：（教师归纳）进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互
22、独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有 m 种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理也就是说：类类互斥，步步独立（在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质）（三）应用举例师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了请看例题 1 （板书）例 1 书架上放有 3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书（1）若从这些书中任取一本，有多少种
23、不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这 3 个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法）师：（1）从书架上任取一本书，可以有 3 类办法：第一类办法是从3 本不同数学书中任取 1 本，有 3 种方法；第二类办法是从 5 本不同的语文书中任取 1 本，有 5 种方法；第三类办法是从 6 本不同的英语书中任取一本，有 6 种方法根据加法原理，得到的取法种数是Nm1m2m335614故从书架上任取一本书的不同取法有 14 种师：（2）从书架上任取数学
24、书、语文书、英语书各 1 本，需要分成三个步骤完成，第一步取 1 本数学书，有 3 种方法；第二步取 1 本语文书，有 5 种方法；第三步取 1 本英语书，有 6 种方法根据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m1m2m3=356=90故，从书架上取数学书、语文书、英语书各 1 本，有 90 种不同的方法师：（3）从书架上任取不同科目的书两本，可以有 3 类办法：第一类办法是数学书、语文书各取 1 本，需要分两个步骤，有 35 种方法；第二类办法是数学书、英语书各取 1 本，需要分两个步骤，有 36 种方法；第三类办法是语文书、英语书各取 1 本，有 56 种方法一共得到不同的取法种数是N=35
25、 3656=63 即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有 63 种师：请大家再来分析和解决例题 2（板书）例 2 由数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？师：每一个三位整数是由什么构成的呢？生：三个整数字师：023 是一个三位整数吗？生：不是，百位上不能是 0师：对！百位的数字不能是 0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、个位三位数字组成的，其中最高位不能是 0那么要组成一个三位数需要怎么做呢？生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字；第二步确定十位上的数字；第三步确定个位上的数字师：很好！怎样表述呢？（教师巡视指导、并归纳）解：要组成一个三位
26、数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从 14 这 4 个数字中任选一个数字，有 4 种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有 5 种选法；第三步确定个位上的数字，仍有 5 种选法根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是 N=455=100答：可以组成 100 个三位整数（教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两
27、个基本原理解排列、组合综合题打下基础）（四）归纳小结师：什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理呢？生：分类时用加法原理，分步时用乘法原理师：应用两个基本原理时需要注意什么呢？生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的（五）课堂练习P222：练习 14（对于题 4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）（六）布置作业P222：练习 5，6，7补充题：1在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？（提示：按十位上数字的大小可以分为 9 类，共有 987 21=45 个个位数字小于十位数字的两位数）2某学生填报高考志愿，有 m 个不同的志愿可供选择，若只
28、能按第一、二、三志愿依次填写 3 个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数（提示：需要按三个志愿分成三步，共有 m（m-1 ） （m-2）种填写方式）3在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？（提示：可以用下面方法来求解：（1）， （2）， （3）， （ 1） ， （2） ， （3）类中每类都是 99 种，共有 99+99+99=399=243 个只有两个数字相同的三位数）4某小组有 10 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 8 人会英语，5 人会日语， （ 1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（ 2）从中选出会英语与会日语的各 1 人，有多少种不同的选法？（提示：
29、由于 85=1310，所以 10 人中必有 3 人既会英语又会日语 （1）N=5 23；（2）N=5253 23）课堂教学设计说明两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键所以在教学目标中特别提出要使学生学会准备地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题对
30、于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求类类互斥，步步独立教学过程中的题 1 和题 2，就是为了解决这一问题而提出的分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练教学中给出了例题 1、例题 2这两个题目都是在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯为了帮助学生在今后能正确运用两个基本原理解决其它排列组合问题，特别给出了 4 个补充习题，为下面将要进行的课打下一个基础考虑到这节课无论是两个基本原理，还是例题都是文字较多的，因此特别设计了使用教具投影仪要是有实物投影仪那就更方便了 你的教学对象是 高中的概率 还是高数 2 概率这类教学不一而同 最好在网上找一下相关的课件下载 然后自己融会一下 就 OK 了
