机械制图 第4章 截切体与相贯体的投影.doc

1、1第 4 章 截 切 体 与 相 贯 体 的 投 影前 面 提 到 ： 各 种 形 状 的 机 件 虽 然 复 杂 多 样 ， 但 都 是 由 一 些 简 单 的 基 本 体 经 过 叠 加 、切 割 或 相 交 等 形 式 组 合 而 成 的 。 那 么 ， 基 本 体 被 平 面 截 切 后 的 剩 余 部 分 ， 就 称 为 截 切体 。 两 基 本 体 相 交 后 得 到 的 立 体 ， 就 叫 相 贯 体 。 它 们 由 于 被 截 切 或 相 交 ， 会 在 表 面 上产 生 相 应 的 截 交 线 或 相 贯 线 。 了 解 它 们 的 性 质 及 投 影 画 法 ， 将 有 助

2、 于 我 们 对 机 件 形 状结 构 的 正 确 分 析 与 表 达 。4 1 截 切 体4 1 1 截 切 体 的 有 关 概 念 及 性 质如 图 4-1 示 ， 正 六 棱 柱 被 平 面 截 为 两 部 分 ， 其 中 用 来 截 切 立 体 的 平 面 称 为 截 平面 ； 立 体 被 截 切 后 的 部 分 称 为 截 切 体 ； 立 体 被 截 切 后 的 断 面 称 为 截 断 面 ； 截 平 面 与 立体 表 面 的 交 线 称 为 截 交 线 。图 4-1 立 体 的 截 交 线尽 管 立 体 的 形 状 不 尽 相 同 ， 分 为 平 面 立 体 和 曲 面 立 体 ，

3、 截 平 面 与 立 体 表 面 的 相 对位 置 也 各 不 相 同 ， 由 此 产 生 的 截 交 线 的 形 状 也 千 差 万 别 ， 但 所 有 的 截 交 线 都 具 有 以 下基 本 性 质 ：1 共 有 性 截 交 线 是 截 平 面 与 立 体 表 面 的 共 有 线 ， 既 在 截 平 面 上 ， 又 在 立 体 表 面上 ， 是 截 平 面 与 立 体 表 面 共 有 点 的 集 合 。2 封 闭 性 由 于 立 体 表 面 是 有 范 围 的 ， 所 以 截 交 线 一 般 是 封 闭 的 平 面 图 形 （ 平 面多 边 形 或 曲 线 ） 。根 据 截 交 线 的

4、性 质 ， 求 截 交 线 ， 就 是 求 出 截 平 面 与 立 体 表 面 的 一 系 列 共 有 点 ， 然后 依 次 连 接 即 可 。 求 截 交 线 的 方 法 ， 即 可 利 用 投 影 的 积 聚 性 直 接 作 图 ， 也 可 通 过 作 辅助 线 的 方 法 求 出 。4 1 2 平 面 截 切 体由 平 面 立 体 截 切 得 到 的 截 切 体 ， 叫 平 面 截 切 体 。2因 为 平 面 立 体 的 表 面 由 若 干 平 面 围 成 ， 所 以 平 面 与 平 面 立 体 相 交 时 的 截 交 线 是 一个 封 闭 的 平 面 多 边 形 ， 多 边 形 的 顶

5、 点 是 平 面 立 体 的 棱 线 与 截 平 面 的 交 点 ， 多 边 形 的 每条 边 是 平 面 立 体 的 棱 面 与 截 平 面 的 交 线 。 因 此 求 作 平 面 立 体 上 的 截 交 线 ， 可 以 归 纳 为两 种 方 法 ：（ 1） 交 点 法 ： 即 先 求 出 平 面 立 体 的 各 棱 线 与 截 平 面 的 交 点 ， 然 后 将 各 点 依 次 连 接起 来 ， 即 得 截 交 线 。连 接 各 交 点 有 一 定 的 原 则 ： 只 有 两 点 在 同 一 个 表 面 上 时 才 能 连 接 ， 可 见 棱 面 上 的两 点 用 实 线 连 接 ， 不

6、可 见 棱 面 上 的 两 点 用 虚 线 连 接 。（ 2） 交 线 法 ： 即 求 出 平 面 立 体 的 各 表 面 与 截 平 面 的 交 线 。一 般 常 用 交 点 法 求 截 交 线 的 投 影 。 两 种 方 法 不 分 先 后 ， 可 配 合 运 用 。求 平 面 立 体 截 交 线 的 投 影 时 ， 要 先 分 析 平 面 立 体 在 未 截 割 前 的 形 状 是 怎 样 的 ， 它是 怎 样 被 截 割 的 ， 以 及 截 交 线 有 何 特 点 等 ， 然 后 再 进 行 作 图 。具 体 应 用 时 通 常 利 用 投 影 的 积 聚 性 辅 助 作 图 。1 棱

7、 柱 上 的 截 交 线【 例 4-1】 如 图 4-2a 所 示 ， 求 作 五 棱 柱 被 正 垂 面 Pv 截 断 后 的 投 影 。解 ：（ 1） 分 析截 平 面 与 五 棱 柱 的 五 个 侧 棱 面 均 相 交 ， 与 顶 面 不 相 交 ， 故 截 交 线 为 五 边 形ABCDE。（ 2） 作 图 ， 如 图 4-2a 所 示1） 由 于 截 平 面 为 正 垂 面 ， 故 截 交 线 的 V 面 投 影 a b c d e 已 知 ； 于 是 截 交线 的 H 面 投 影 abcde 亦 确 定 ；2） 运 用 交 点 法 ， 依 据 “主 左 视 图 高 平 齐 ”的 投

8、 影 关 系 ， 作 出 截 交 线 的 W 面 投 影a b c d e ；3） 五 棱 柱 截 去 左 上 角 ， 截 交 线 的 H 和 W 投 影 均 可 见 。 截 去 的 部 分 ， 棱 线 不 再 画 出 ，但 有 侧 棱 线 未 被 截 去 的 一 段 ， 在 W 投 影 中 应 画 为 虚 线 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-2b 所 示 。3abcdeabcdea“b“ c“d“ e“Pva) b)图 4-2 作 五 棱 柱 的 截 交 线2 棱 锥 上 的 截 交 线【 例 4-2】 求 作 正 垂 面 P 截 割 四

9、 棱 锥 S-ABC 所 得 的 截 交 线 。 见 图 4-3a。解 ：（ 1） 分 析1） 截 平 面 P 与 四 棱 锥 的 四 个 棱 面 都 相 交 ， 截 交 线 是 一 个 四 边 形 ；2） 截 平 面 P 是 一 个 正 垂 面 ， 其 正 面 投 影 具 有 积 聚 性 ；3） 截 交 线 的 正 面 投 影 与 截 平 面 的 正 面 投 影 重 合 ， 即 截 交 线 的 正 面 投 影 已 确 定 ， 只需 求 出 水 平 投 影 。（ 2） 作 图 , 如 图 4-3a 所 示1） 因 为 PV 具 有 积 聚 性 ， 所 以 PV 与 s a 、 s b 、 s

10、c 和 s d 的 交 点1 、 2 、 3 和 4 即 为 空 间 点 、 、 和 的 正 面 投 影 ；2)利 用 从 属 关 系 ， 向 下 引 铅 垂 线 求 出 相 应 的 点 1、 2、 3 和 4；3)四 边 形 1234 为 截 交 线 的 水 平 投 影 。 线 段 1 2 3 4 为 截 交 线 的 正 面 投 影 。各 投 影 均 可 见 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-3b 所 示 。4S S“S12342(1) 3(4)Pv 3“4“1“ 2“ab cda“(d“) b“(c“)b(a) c(d)a) b)图 4-

11、3 正 垂 面 P 与 四 棱 锥 S-ABCD 的 截 交 线【 例 4-3】 如 图 4-4a 所 示 ， 求 作 铅 垂 面 Q 截 割 正 三 棱 锥 S-ABC 所 得 的 截 交 线 。解 ：（ 1） 分 析1） 截 平 面 Q 与 正 三 棱 锥 的 三 个 棱 面 、 一 个 底 面 都 相 交 ， 截 交 线 是 一 个 四 边 形 ；2） 截 平 面 Q 是 一 个 铅 垂 面 ， 其 水 平 投 影 具 有 积 聚 性 ；3） 截 交 线 的 水 平 投 影 与 截 平 面 的 水 平 投 影 重 合 ， 即 截 交 线 的 水 平 投 影 已 确 定 ， 只需 求出 正

12、 面 投 影 。（ 2） 作 图 ,如 图 4-4a 所 示1） 因 为 QH 具 有 积 聚 性 ， 所 以 QH 与 ac、 sa、 sb、 和 bc 的 交 点 1、 2、 3 和 4 即 为空 间 点 、 、 和 的 水 平 投 影 。2） 利 用 从 属 关 系 ， 向 上 引 铅 垂 线 求 出 相 应 的 点 1 、 2 、 3 和 4 。3） 连 接 1 2 3 4 ， 四 边 形 1 2 3 4 为 截 交 线 的 正 面 投 影 ， 线 段 1 2不 可 见 ， 画 成 虚 线 ， 线 段 1234 为 截 交 线 的 水 平 投 影 。(3） 检 查 、 整 理 、 描

13、深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-4b 所 示 。以 上 两 题 都 是 利 用 截 平 面 投 影 的 积 聚 性 作 图 。5S S“abca cbs a“(c“) b“1234123 4 1“2“3“4“Qha) b)图 4-4 铅 垂 面 QH 与 正 三 棱 锥 S-ABC 的 截 交 线3 带 缺 口 的 平 面 立 体 的 投 影绘 制 带 缺 口 的 立 体 的 投 影 图 ， 在 工 程 制 图 中 经 常 出 现 ， 这 种 制 图 的 实 质 仍 然 是 求平 面 截 交 立 体 的 问 题 。【 例 4-4】 如 图 4-5a 所 示 ， 已 知 带 有

14、缺 口 的 正 六 棱 柱 的 V 面 投 影 ， 求 其 H 面 和W 面 投 影 。解 ：（ 1） 分 析1） 从 给 出 的 V 面 投 影 可 知 ， 正 六 棱 柱 的 缺 口 是 由 两 个 侧 平 面 和 一 个 水 平 面 截 割正 六 棱 柱 而 形 成 的 。 只 要 分 别 求 出 三 个 平 面 与 正 六 棱 柱 的 截 交 线 以 及 三 个 截 平 面 之 间的 交 线 即 可 。2） 这 些 交 线 的 端 点 的 正 面 投 影 为 已 知 ， 只 需 补 出 其 余 投 影 。3） 、 、 、 四 点 是 左 边 的 侧 平 面 与 立 体 相 交 得 到

15、的 点 ， 、 、 、 是右 边 的 侧 平 面 与 立 体 相 交 得 到 的 点 ， 、 两 点 为 前 后 棱 线 与 水 平 面 相 交 得 到 上 的 点 ，其 中 直 线 、 和 、 又 分 别 是 左 右 两 侧 平 面 与 水 平 面 相 交 所 得 的 交 线 。（ 2） 作 图 ,如 图 4-5a 所 示1） 利 用 棱 柱 各 侧 棱 面 的 积 聚 性 、 点 与 直 线 的 从 属 性 及 “主 左 视 图 高 平 齐 ”的 投 影关 系 依 次 作 出 各 点 的 三 面 投 影 。2） 连 接 各 点 。 将 在 同 一 棱 面 又 在 同 一 截 平 面 上 的

16、 相 邻 点 的 同 面 投 影 相 连 。3） 判 别 可 见 性 。 只 有 7 8 、 9 10 交 线 不 可 见 ， 画 成 虚 线 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-5b 所 示 。61(2)3(4)565(6)7(8) 9(10)1(7) 3(9)2(8)6“ 5“1“(3“)2“(4“)8“(10“)7“(9“)4(10)a) b)图 4-5 带 缺 口 的 正 六 棱 柱 的 投 影4 1 3 曲 面 截 切 体由 曲 面 立 体 截 切 得 到 的 截 切 体 ， 叫 曲 面 截 切 体 。平 面 与 曲 面 立 体 相

17、交 ， 所 得 的 截 交 线 一 般 为 封 闭 的 平 面 曲 线 。 截 交 线 上 的 每 一 点 ，都 是 截 平 面 与 曲 面 立 体 表 面 的 共 有 点 。 求 出 足 够 的 共 有 点 ， 然 后 依 次 连 接 起 来 ， 即 得截 交 线 。 截 交 线 可 以 看 作 截 平 面 与 曲 面 立 体 表 面 上 交 点 的 集 合 。求 曲 面 立 体 截 交 线 的 问 题 实 质 上 是 在 曲 面 上 定 点 的 问 题 ， 基 本 方 法 有 素 线 法 、 纬圆 法 和 辅 助 平 面 法 。 当 截 平 面 为 投 影 面 垂 直 面 时 ， 可 以

18、利 用 投 影 的 积 聚 性 来 求 点 ， 当截 平 面 为 一 般 位 置 平 面 时 ， 需 要 过 所 选 择 的 素 线 或 纬 圆 作 辅 助 平 面 来 求 点 。1 圆 柱 上 的 截 交 线平 面 与 圆 柱 面 相 交 ， 根 据 截 平 面 与 圆 柱 轴 线 相 对 位 置 的 不 同 ， 所 得 的 截 交 线 有 三种 情 况 （ 见 表 4-1） ：(1)当 截 平 面 垂 直 于 圆 柱 的 轴 线 时 ， 截 交 线 为 一 个 圆 ；(2)当 截 平 面 倾 斜 于 圆 柱 的 轴 线 时 ， 截 交 线 为 椭 圆 ， 此 椭 圆 的 短 轴 平 行 与

19、 圆 柱 的 底圆 平 面 ， 它 的 长 度 等 于 圆 柱 的 直 径 ； 椭 圆 长 轴 与 短 轴 的 交 点 （ 椭 圆 中 心 ） ， 落 在 圆 柱的 轴 线 上 ， 长 轴 的 长 度 随 截 平 面 相 对 轴 线 的 倾 角 不 同 而 变 化 ；(3)当 截 平 面 经 过 圆 柱 的 轴 线 或 平 行 于 轴 线 时 ， 截 交 线 为 两 条 素 线 。表 4-1 圆 柱 面 上 的 截 交 线截 平 面的 位 置 截 平 面 与 圆 柱 轴 线 平 行 截 平 面 与 圆 柱 轴 线 倾 斜 截 平 面 与 圆 柱 轴 线 垂 直截交线空 矩 形 椭 圆 圆7间形

20、状投影图【 例 4-5】 如 图 4-6a 所 示 ， 求 正 垂 面 与 圆 柱 的 截 交 线 。解 ：（ 1） 分 析1） 圆 柱 轴 线 垂 直 于 H 面 ， 其 水 平 投 影 积 聚 为 圆 。2） 截 平 面 P 为 正 垂 面 ， 与 圆 柱 轴 线 斜 交 ， 交 线 为 椭 圆 。 椭 圆 的 长 轴 平 行 于 V 面 ，短 轴垂 直 于 V 面 。 椭 圆 的 V 面 投 影 成 为 一 条 直 线 ， 与 PV 重 合 。 椭 圆 的 H 面 投 影 ， 落在 圆 柱 面 的 同 面 投 影 上 而 成 为 一 个 圆 ， 故 只 需 作 图 求 出 截 交 线 的

21、 W 面 投 影 。（ 2） 作 图 ,如 图 4-6a 所 示1） 求 特 殊 点 。 这 些 点 包 括 轮 廓 线 上 的 点 、 特 殊 素 线 上 的 点 、 极 限 点 以 及 椭 圆 长 短轴 的 端 点 。最 左 点 （ 也 是 最 低 点 ） 、 最 右 点 （ 也 是 最 高 点 ） ， 最 前 点 和 最 后 点 ， 它们 分 别 是 轮 廓 线 上 的 点 ， 又 是 椭 圆 长 短 轴 的 端 点 ， 可 以 利 用 投 影 关 系 ， 直 接 求 出 其 水平 投 影 和 侧 面 投 影 。2） 求 一 般 点 。 为 了 作 图 准 确 ， 在 截 交 线 上 特

22、 殊 点 之 间 选 取 一 些 一 般 位 置 点 。 图 中选 取 了 、 、 、 四 个 点 ， 由 水 平 投 影 5、 6、 7、 8 和 正 面 投 影 5 、 6 、 7 、 8 ， 求 出 侧 面 投 影 5 、 6 、 7 、 8 。3） 连 点 。 将 所 求 各 点 的 侧 面 投 影 顺 次 光 滑 连 接 ， 即 为 椭 圆 形 截 交 线 的 W 面 投 影 。4） 判 别 可 见 性 。 由 图 中 可 知 截 交 线 的 侧 面 投 影 均 为 可 见 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-6b 所 示 。8123

23、456 7816(5)2(4)7(8)3 3“1“4“ 2“8“ 7“5“6“Pva) b)图 4-6 正 垂 面 与 圆 柱 的 截 交 线从 上 面 例 题 看 出 ， 截 交 线 椭 圆 在 平 行 于 圆 柱 轴 线 但 不 垂 直 于 截 平 面 的 投 影 面 上 的投 影 一 般 仍 是 椭 圆 。 椭 圆 长 、 短 轴 在 该 投 影 面 上 的 投 影 ， 仍 为 椭 圆 投 影 的 长 短 轴 。 当截 平 面 与 圆 柱 轴 线 的 夹 角 小 于 45时 ， 椭 圆 长 轴 的 投 影 ， 变 为 椭 圆 投 影 的 短 轴 。当 =45 时 ， 椭 圆 的 投 影

24、成 为 一 个 与 圆 柱 底 圆 相 等 的 圆 。2 圆 锥 上 的 截 交 线当 平 面 与 圆 锥 截 交 时 ， 根 据 截 平 面 与 圆 锥 轴 线 相 对 位 置 的 不 同 ， 可 产 生 五 种 不 同形 状 的 截 交 线 ， 如 表 4-2 所 示 ：(1)当 截 平 面 垂 直 于 圆 锥 的 轴 线 时 ， 截 交 线 必 为 一 个 圆 ；(2)当 截 平 面 倾 斜 于 圆 锥 的 轴 线 ， 并 与 所 有 素 线 相 交 时 ， 截 交 线 必 为 一 个 椭 圆 ；(3)当 截 平 面 倾 斜 于 圆 锥 的 轴 线 ， 但 与 一 条 素 线 平 行 时

25、 ， 截 交 线 为 抛 物 线 ；(4)当 截 平 面 平 形 于 圆 锥 的 轴 线 ， 或 者 倾 斜 于 圆 锥 的 轴 线 但 与 两 条 素 线 平 行 时 ， 截交 线必 为 双 曲 线 ；(5)当 截 平 面 通 过 圆 锥 的 轴 线 或 锥 顶 时 ， 截 交 线 必 为 两 条 素 线 。表 4-2 圆 锥 面 上 的 截 交 线9平 面 截 割 圆 锥 所 得 的 截 交 线 圆 、 椭 圆 、 抛 物 线 和 双 曲 线 ， 统 称 为 圆 锥 曲 线 。 当 截平 面 倾 斜 于 投 影 面 时 ， 椭 圆 、 抛 物 线 、 双 曲 线 的 投 影 ， 一 般 仍

26、 为 椭 圆 、 抛 物 线 和 双 曲线 ， 但 有 变 形 。 圆 的 投 影 为 椭 圆 ， 椭 圆 的 投 影 亦 可 能 成 为 圆 。【 例 4-6】 如 图 4-7a 所 示 ， 已 知 圆 锥 的 三 面 投 影 和 正 垂 面 P 的 投 影 ， 求 截 交 线的 投 影 及 实 形 。解 ：（ 1） 分 析1） 因 截 平 面 P 是 正 垂 面 ， P 面 与 圆 锥 的 轴 线 倾 斜 并 与 所 有 素 线 相 交 ， 故 截 交 线 为椭 圆 ；2） PV 面 与 圆 锥 最 左 最 右 素 线 的 交 点 ， 即 为 椭 圆 长 轴 的 端 点 、 ， 即 椭 圆

27、 长 轴平 行 于 V 面 ， 椭 圆 短 轴 、 垂 直 于 V 面 ， 且 平 分 、 。3） 截 交 线 的 V 面 投 影 重 合 在 PV 上 ， H 面 投 影 、 W 面 投 影 仍 为 椭 圆 ， 椭 圆 的 长 、短 轴 仍 投 影 为 椭 圆 投 影 的 长 、 短 轴 。（ 2） 作 图 ,如 图 4-7a 所 示1） 求 长 轴 端 点 。 在 V 面 上 ， PV 与 圆 锥 的 投 影 轮 廓 线 的 交 点 ， 即 为 长 轴 端 点 的 V面 投 影 1 、 4 ； 、 的 H 面 投 影 1、 4 在 水 平 中 心 线 上 ， 14 就 是 投 影 椭 圆

28、的 长 轴 ；2） 求 短 轴 端 点 。 椭 圆 短 轴 、 的 投 影 5 (6 )必 积 聚 在 1 、 4 的 中 点 ； 过5 (6 )作 纬 圆 求 出 水 平 投 影 5、 6， 之 后 求 出 5 6 ；截 平面 的位 置截 平 面 过 圆锥 的 锥 顶截 平 面 与 圆 锥轴 线 垂 直截 平 面 与 圆 锥轴 线 倾 斜 （截 平 面 与 圆锥 轴 线 倾 斜截 平 面 与 圆锥 轴 线 平 行 或倾 斜矩 形 椭 圆 圆 截交线空间形状投影图103） 求 最 前 、 最 后 素 线 与 P 面 的 交 点 和 。 在 PV 与 圆 锥 正 面 投 影 的 轴 线 交 点

29、处得 2 、 （ 3 ） ， 向 右 得 到 其 侧 面 投 影 2 、 3 ， 向 下 向 左 得 到 2、 3；4） 求 一 般 点 、 。 先 在 V 面 定 出 点 7 、 （ 8 ） ， 再 用 纬 圆 法 求 出 7、 8， 并进 一 步 求 出 7 、 8 ；5） 连 接 各 点 并 判 别 可 见 性 。 在 H 面 投 影 中 依 次 连 接 各 点 ， 即 得 椭 圆 的 H 面 投 影 ；同 理 得 出 椭 圆 的 W 面 投 影 。6） 求 截 面 的 实 形 （ 略 ） 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-7b 所 示

30、 。12(3)45(6)7(8)178562344“2“3“ 5“6“ 7“8“1“Pva) b)图 4-7 正 垂 面 与 圆 锥 的 截 交 线【 例 4-7】 如 图 4-8a 所 示 ， 求 作 侧 平 面 Q 与 圆 锥 的 截 交 线 。解 ： （ 1） 分 析1） 因 截 平 面 Q 与 圆 锥 轴 线 平 行 ， 故 截 交 线 是 双 曲 线 （ 一 叶 ） ；2） 截 交 线 的 正 面 投 影 和 水 平 投 影 都 因 积 聚 性 重 合 于 Q 的 同 面 投 影 ；3） 截 交 线 的 侧 面 投 影 反 映 实 形 。（ 2） 作 图 ,如 图 4-8a 所 示1

31、） 在 QV 与 圆 锥 正 面 投 影 左 边 轮 廓 线 的 交 点 处 ， 得 到 截 交 线 最 高 点 的 投 影3 ， 进 一 步 得 到 3、 3 ；2） 在 QV 与 圆 锥 底 面 正 面 投 影 的 交 点 处 ， 得 到 截 交 线 最 低 点 和 的 投 影1 、 （ 2 ） ， 进 一 步 得 到 1、 2、 1 、 2 ；3） 用 素 线 法 求 出 一 般 点 、 的 各 投 影 ；4） 顺 次 连 接 2 -5 -3 -4 -1 ；115） 各 面 投 影 均 可 见 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-8b 所

32、 示 。1234534(5) 3“5“ 1“2“Qv1(2) 4“a) b)图 4-8 侧 平 面 与 圆 锥 的 截 交 线3 球 上 的 截 交 线球 体 上 的 截 面 不 论 其 角 度 如 何 ， 所 得 截 交 线 的 形 状 都 是 圆 。 截 平 面 距 球 心 的 距 离决 定 截 交 圆 的 大 小 ， 经 过 球 心 的 截 交 圆 是 最 大 的 截 交 圆 。当 截 平 面 与 水 平 投 影 面 平 行 时 ， 其 水 平 投 影 是 圆 ， 反 映 实 形 ， 其 正 面 投 影 和 侧 面投 影 都 积 聚 为 一 条 水 平 直 线 ； 当 截 平 面 与 V

33、 面 （ 或 W 面 ） 平 行 时 ， 则 截 交 线 在 相 应投 影 面 上 的 投 影 是 圆 ， 其 它 两 投 影 是 直 线 ； 如 果 截 平 面 倾 斜 于 投 影 面 ， 则 在 该 投 影 面上 的 投 影 为 椭 圆 ， 如 图 4-9 所 示 ， 其 上 各 点 的 投 影 可 自 行 分 析 。121 234567815(6)4(3)27(8) 1“3“ 4“7“ 8“2“Pv 6“5“a) b)图 4-9 球 体 上 的 截 交 线4 带 缺 口 的 曲 面 立 体 的 投 影【 例 4-8】 如 图 4-10a 所 示 ， 给 出 圆 柱 切 割 体 的 正 面

34、 投 影 和 水 平 投 影 ， 补 画 出 侧面 投 影 。解 ：（ 1） 分 析1） 根 据 截 平 面 的 数 量 、 截 平 面 与 轴 线 的 相 对 位 置 ， 确 定 截 交 线 的 形 状 。切 割 后 的 圆 柱 可 以 看 作 被 两 个 平 面 所 截 的 结 果 。 一 是 正 垂 面 与 轴 线 倾 斜 ， 其 截 交线为 椭 圆 的 一 部 分 ； 二 是 侧 平 面 ， 其 截 交 线 为 两 条 素 线 ， 两 截 平 面 相 交 于 一 直 线 。2） 根 据 截 平 面 与 投 影 面 的 相 对 位 置 ， 确 定 截 交 线 的 投 影 。截 平 面 是

35、 正 垂 面 ， 截 交 线 的 正 面 投 影 积 聚 为 直 线 ， W 面 投 影 为 椭 圆 ， H 面 投 影 为圆 ； 截 平 面 是 侧 平 面 ， 截 交 线 的 侧 面 投 影 为 两 条 素 线 ， 正 面 投 影 重 合 为 一 条 直 线 ， H面 投 影 积 聚 成 两 点 。（ 2） 作 图 ,如 图 4-10a 所 示1） 求 特 殊 点 。 根 据 截 平 面 和 圆 柱 体 的 积 聚 性 ， 截 交 线 的 正 面 投 影 、 水 平 投 影 为 已知 ， 只 需 求 出 截 交 线 的 侧 面 投 影 。 其 中 是 椭 圆 长 轴 的 一 个 端 点 ，

36、 、 是 椭 圆 短 轴的 两 个 端 点 ， 他 们 在 各 轮 廓 线 上 ， 、 是 素 线 和 椭 圆 的 连 接 点 ， 利 用 水 平 投 影 求 出侧 面 投 影 。2） 求 一 般 点 。 、 是 一 般 位 置 的 点 ， 用 素 线 法 求 出 其 水 平 投 影 ， 进 一 步 求 出 侧面 投 影 。3) 判 别 可 见 性 并 连 点 。 所 有 投 影 均 可 见 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-10b 所 示 。13123456712(7)3(6)4(5) 1“2“3“4“5“6“7“a) b)图 4-10 带

37、 切 口 的 圆 柱 体 的 投 影【 例 4-9】 如 图 4-11a 所 示 ， 求 切 割 后 圆 锥 的 投 影 。解 ：（ 1） 分 析1） 根 据 截 平 面 的 数 量 、 截 平 面 与 轴 线 的 相 对 位 置 ， 确 定 截 交 线 的 形 状 。切 割 后 的 圆 锥 可 以 看 作 被 P、 R、 Q 三 个 平 面 所 截 的 结 果 。 P 和 R 两 平 面 都 垂 直 于轴 线 ， 其 截 交 线 为 圆 ； Q 平 面 过 锥 顶 ， 其 截 交 线 为 两 条 素 线 ； R 平 面 垂 直 轴 线 ， 其 截交 线 为 圆 。2） 根 据 截 平 面 与

38、 投 影 面 的 相 对 位 置 ， 确 定 截 交 线 的 投 影 。Pv 与 Rv 面 为 水 平 面 ， 截 交 线 水 平 投 影 为 实 形 圆 ， 其 它 两 个 投 影 积 聚 为 直 线 。 Qv面 为 正 垂 面 ， 截 交 线 正 面 投 影 重 合 为 一 条 直 线 ， 其 它 两 个 投 影 为 三 角 形 ； （ 2） 作 图 ,如 图 4-11a 所 示1） 求 特 殊 点 。 、 、 三 点 为 R 与 圆 锥 表 面 相 交 的 点 ； 、 、 三 点 为 P 与圆 锥 表 面 相 交 的 点 ； 同 时 ， 、 和 、 、 又 分 别 是 为 R 与 Q 和

39、 P 与 Q 相 交 的 点 。根 据 各 点 的 正 面 投 影 先 求 出 其 水 平 投 影 ， 再 求 出 其 侧 面 投 影 。2） 本 题 不 需 要 求 一 般 点 。3） 连 点 并 判 别 可 见 性 。 所 有 点 全 部 可 见 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-11b 所 示 。14PvRvQ12 3(4)5(6)123456 1“5“6“3“4“2“a) b)图 4-11 带 缺 口 的 圆 锥 体 的 投 影【 例 4-10】 如 图 4-12a 所 示 ， 已 知 半 球 体 被 切 割 后 的 正 面 投 影

40、， 画 出 其 水 平 投影 及 侧 面 投 影 。解 ： （ 1） 分 析1） 根 据 截 平 面 的 数 量 、 截 平 面 与 轴 线 的 相 对 位 置 ， 确 定 截 交 线 的 形 状 。 从 立 体 图和 正 面 投 影 可 以 看 出 半 球 体 上 切 去 一 部 分 的 缺 口 是 由 平 面 P、 Q 组 成 的 ， 平 面 Q 为 侧平 面 ， 平 面 P 为 水 平 面 ， 截 交 线 都 是 圆 的 一 部 分 。2） 根 据 截 平 面 与 投 影 面 的 相 对 位 置 ， 确 定 截 交 线 的 投 影 。 断 面 的 投 影 p、 q 反映 实 形 ， p

41、、 q 积 聚 为 直 线 。（ 2） 作 图 ,如 图 4-12a 所 示1） 先 作 P 和 Q 的 水 平 投 影 。 已 知 P 的 水 平 投 影 为 圆 的 一 部 分 ， 需 要 找 出 这 个 圆的 半 径 。 从 正 立 投 影 可 以 看 出 m n 即 为 P 面 圆 弧 的 半 径 。 在 水 平 投 影 中 ， 用m n 为 半 径 画 圆 弧 。 再 将 q 垂 直 延 长 到 水 平 投 影 上 ， 垂 线 与 圆 弧 交 于 1、 2 两 点 ，12 即 为 Q 的 水 平 投 影 ,q， 12 直 线 与 圆 弧 所 围 成 的 弓 形 即 为 P 的 水 平

42、 投 影 p。2） 用 同 样 的 方 法 可 画 出 p 、 q 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-12b 所 示 。15qppqp“q“1(2)121“2“m nkhmk“a) b)图 4-12 带 切 口 的 球 体 的 投 影4 2 相 贯 体4 2 1 相 贯 体 的 有 关 概 念 及 性 质两 立 体 相 交 得 到 的 立 体 ， 叫 相 贯 体 ， 两 立 体 因 相 贯 表 面 产 生 的 交 线 称 为 相 贯 线 。相 贯 线 的 形 状 取 决 于 两 相 交 立 体 的 形 状 、 大 小 及 其 相 对 位 置

43、。 本 节 仅 讨 论 几 种 常 见 的回 转 体 相 贯 的 问 题 。 两 回 转 体 相 交 得 到 的 相 贯 线 ， 具 有 以 下 性 质 ：（ 1） 相 贯 线 是 相 交 两 立 体 表 面 共 有 的 线 ， 是 两 立 体 表 面 一 系 列 共 有 点 的 集 合 ， 同时 也 是 两 立 体 表 面 的 分 界 点 。 。（ 2） 由 于 立 体 占 有 一 定 的 空 间 范 围 ， 所 以 相 贯 线 一 般 是 封 闭 的 空 间 曲 线 。根 据 相 贯 线 的 性 质 ， 求 相 贯 线 ， 可 归 纳 为 求 出 相 交 两 立 体 表 面 上 一 系 共

44、 有 点 的 问题 。 求 相 贯 线 的 方 法 ， 可 用 表 面 取 点 法 。相 贯 线 可 见 性 的 判 断 原 则 是 ： 相 贯 线 同 时 位 于 两 个 立 体 的 可 见 表 面 上 时 ， 其 投 影才 是 可 见 的 ； 否 则 就 不 可 见 。4 2 2 立 体 表 面 的 相 贯 线在 本 书 中 ， 仅 讨 论 两 曲 面 立 体 相 交 的 情 况 。1 两 曲 面 立 体 表 面 的 交 线两 曲 面 立 体 表 面 的 相 贯 线 ， 一 般 是 封 闭 的 空 间 曲 线 ， 特 殊 情 况 下 可 能 为 平 面 曲 线或 直 线 。 组 成 相 贯

45、 线 的 所 有 相 贯 点 ， 均 为 两 曲 面 体 表 面 的 共 有 点 。 因 此 求 相 贯 线 时 ，要 先 求 出 一 系 列 的 共 有 点 ， 然 后 依 次 连 接 各 点 ， 即 得 相 贯 线 。求 相 贯 线 的 方 法 通 常 有 以 下 两 种 ：第 一 种 ： 积 聚 投 影 法 相 交 两 曲 面 体 ， 如 果 有 一 个 表 面 投 影 具 有 积 聚 性 时 ， 就可 利 用 该 曲 面 体 投 影 的 积 聚 性 作 出 两 曲 面 的 一 系 列 共 有 点 ， 然 后 依 次 连 成 相 贯 线 。第 二 种 ： 辅 助 平 面 法 根 据 三

46、面 共 点 原 理 ， 作 辅 助 平 面 与 两 曲 面 相 交 ， 求 出 两辅 助 截 交 线 的 交 点 ， 即 为 相 贯 点 。16选 择 辅 助 平 面 的 原 则 是 ： 辅 助 截 平 面 与 两 个 曲 面 的 截 交 线 （ 辅 助 截 交 线 ） 的 投 影都 应 是 最 简 单 易 画 的 直 线 或 圆 。 因 此 在 实 际 应 用 中 往 往 多 采 用 投 影 面 的 平 行 面 作 为 辅助 截 平 面 。在 解 题 过 程 中 ， 为 了 使 相 贯 线 的 作 图 清 楚 、 准 确 ， 在 求 共 有 点 时 ， 应 先 求 特 殊 点 ，再 求 一

47、般 点 。 相 贯 线 上 的 特 殊 点 包 括 ： 可 见 性 分 界 点 ， 曲 面 投 影 轮 廓 线 上 的 点 ， 极 限位 置 点 （ 最 高 、 最 低 、 最 左 、 最 右 、 最 前 、 最 后 ） 等 。 根 据 这 些 点 不 仅 可 以 掌 握 相 贯线 投 影 的 大 致 范 围 ， 而 且 还 可 以 比 较 恰 当 的 设 立 求 一 般 点 的 辅 助 截 平 面 的 位 置 。【 例 4-11】 如 图 4-13a 所 示 ， 求 作 两 轴 线 正 交 的 圆 柱 体 的 相 贯 线 。解 ：（ 1） 分 析两 圆 柱 相 交 时 ， 根 据 两 轴 线

48、 的 相 对 位 置 关 系 ， 可 分 为 三 种 情 况 ： 正 交 （ 两 轴 线 垂直 相 交 ） 、 斜 交 （ 两 轴 线 倾 斜 相 交 ） 、 侧 交 （ 两 轴 线 垂 直 交 叉 ） 。1） 根 据 两 立 体 轴 线 的 相 对 位 置 ， 确 定 相 贯 线 的 空 间 形 状 。由 图 可 知 ， 两 个 直 径 不 同 的 圆 柱 垂 直 相 交 ， 大 圆 柱 为 铅 垂 位 置 ， 小 圆 柱 为 水 平 位置 ， 由 左 至 右 完 全 贯 入 大 圆 柱 ， 所 得 相 贯 线 为 一 组 封 闭 的 空 间 曲 线 。2） 根 据 两 立 体 与 投 影 面 的 相 对 位 置 确 定 相 贯 线 的 投 影 。相 贯 线 的 水 平 投 影 积 聚 在 大 圆 柱 的 水 平 投 影 上 （ 即 小 圆 柱 水 平 投 影 轮 廓 之 间 的 一段 大 圆 弧 ） ， 相 贯 线 的 侧 面 投 影 积 聚 在 小 圆 柱 的 侧 面 投 影 上 （ 整 个 圆 ） 。 因 此 ， 余 下的 问 题 只 是 根 据 相 贯 线 的 已 知 两 投 影 求 出 它 的 正 面 投 影 。（ 2） 作 图 ,如 图 4-13a 所 示1） 求 特 殊