1、或柯西不等式证明：(|x|2y|)2根号(1/2)根号(2x2)根号(4/3)根号(3y2)2(1/24/3)(2x23y2)6(1/24/3)11|x|2y|根号 11x2y|x|2y|根号 111、已知 a,b,c 为正实数，且满足(a2+b2+c2)2=2(a4+b4+C4),证明：a,b,c 一定是某个三角形的边长根本不用柯西不等式经过化简:(a4+b4+c4)-2(a2b2+a2c2+b2c2)0a-b0 求证x2/(y2+z2+yz)+y2/(z2+x2+zx)+z2/(x2+y2+xy)=1证明:x2/(y2+z2+yz)+y2/(z2+x2+zx)+z2/(x2+y2+xy)=
2、x4/(x2y2+x2z2+x2yz)+y4/(y2z2+x2y2+y2zx)+z4/(x2z2+y2z2+z2xy)=(x2+y2+z2)2/(2x2y2+2y2z2+2z2x2+x2yz+y2zx+z2xy)(x2+y2+z2)2=2x2y2+2y2z2+2z2x2+x2yz+y2zx+z2xyx4+y4+z4=x2yz+y2zx+z2xy此式可以利用均值不等式两轮或一轮得到.两轮就留给楼主思考吧,下面给出一轮的一个很美妙的证明:(局部不等式)x4/4+x4/4+y4/4+z4/4=x2yz因 x2+y2+z2-xy-xz-yz=(x-y)2/2+(y-z)2/2+(x-z)2/20即 x
3、2+y2+z2xy+xz+yz（当 x=y=z 时等式成立）xy+xz+yz=(2xy+2xz+2yz)/2=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)/2=x(2-x)+y(2-y)+z(2-z)/2=2x+2y+2z-(x2+y2+z此题不用柯西不等式也可以证明，且较为简洁。证明： x2/(y2+z2+yz)+y2/(z2+x2+zx)+z2/(x2+y2+xy)3(X2+Y2+Z2)/2(X2+Y2+Z2)+XZ+YZ+XY而 X2+Y22XYX2+Z22XZY2+Z22YZ叠加即得 XZ+YZ+XYX2+Y2+Z2原不等式3(X2+Y2+Z2)/2(X2+Y2+Z2+XZ+YZ+XY3(X2+Y2+Z2)/2(X2+Y2+Z2)+X2+Y2+Z2=1二维形式 (a2b2)(c2 + d2)(ac+bd)2 等号成立条件：ad=bc 三角形式 (a2b2)(c2d2)(a-c)2(b-d)2 等号成立条件：ad=bc 注：“”表示平方根，
