1、1没有极限概念，如何理解导数的几何意义安徽省阜阳市第三中学 董海涛 236006导数是微积分的核心内容之一，由于它是研究现代科学技术必不可少的工具，也是研究函数性质的有效方法，同时它也是高等数学的内容，所以在历次教材改革中，变动既频繁又较大，既体现了编者对它割舍不下的情怀又充满了不知如何安排的迷茫。本文就北师大版普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-2（以下简称“ 新课程教材 ”）中对这部分内容的安排，提出教学中的困惑，并结 合实践，提出对策，供大家参考。1 新课程教材安排与原人教版全日制普通高级中学教科书数学选修 II（以下简称旧课程教材）相比，新课程教材在教学内容、教学要求上都有很大变化
2、，其中与本文讨论有关的是导数概念的引入，不讲极限概念，而是注重通过实际背景创设丰富的情境，不惜篇幅引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从本质上认识和理解导数概念，在给出导数定义后，又给出了三个具体例子，加深对导数的实际意义的认识，这些都是旧课程教材所没有呈现的。教材的具体安排是：1 变化的快慢与变化率，用了两个实例分析和两个例题，帮助学生实现“平均变化率 ”到“瞬时变化率”的质的飞跃， 为导数概念的引入做好了扎实的铺垫。2导数的概念及其几何意义，由于有了上一节大量生动的背景实例，至此，2抽象出导数定义已是水到渠成。实际教学中，学生对“ 在数学中，称瞬时变化率即为函数 y=f(x)在 x
3、0 点的 导数” 是欣然接受的，相对于旧课程教材，导数定义的给出无疑是成功的，但我们的困惑是：2 没有极限的概念，如何理解导数的几何意义新课程教材在2 中，专门安排了2.2导数的几何意义，教材在描述性地给出了“ 曲线的切线” 定义后， 紧接着就是“该切线的斜率就是函数 y=f(x)在 x0处的导数 ”。学生的困惑是：0()fx不是函数 y=f(x)在点 x0处的瞬时变化率 吗？它反映的不是0()fx割线 AB 在点 x0处的变化快慢吗？它怎么又是 y=f(x)在点 x0处的切线斜率了呢？我们困惑的是：（1）本想弱化形式化的定义，降低学生理解导数的难度，但教材在导数定义后，又“ 通常用符号表示，
4、 记作 ”，这0()fx10000()()()limlixxffffxfA里还是出现了形式化的定义了。 （2）极限定义能回避得了吗？导数定义中无法回避，这是不争的事实，新课程教材在3计算导数中，不仅出 现了极限的符号，而且出现了极限的运算，与其在这里让老师费尽口舌给一头雾水的学生解释半天（事实上学生仍无法理解），既偏离了主题又没有效果，不如干脆增加一节“ 极限的定义” 。33 我们的对策我省是 2006 年秋季进入新课改的，首轮教学中我们循规蹈矩地按教材进行的教学，结果学生只能是生吞活剥地记下结论，由于不理解导数的几何意义，在实际应用中，只能是照搬模仿，根本谈不上灵活二字。在 2007 年开始
5、的二轮教学中，我们对新教程教材作了大胆的尝试，收到了理想的效果，具体地在两处做了调整。31 增加一节极限的定义在选修 2-22变化率与导数的1变化的快慢与变化率之前，增加一节， 课题是 极限的定义， 课时为 一节课，主要介绍极限符号的引入和使用，初步渗透极限思想，具体内容是：首先，通过列举实例，给出“数列极限”的描述性定义：一般地，设a n是一个无穷数列，如果当 n 趋向于无 穷大时，a n 无限地趋向于一个常数 a，则称 a 是数列a n的极限。然后给出形式化的符号表示：即“ 当 ”记作“ ”n时 ,limn然后，将数列极限的初步认识正迁移到“函数极限” ，仍然通过实例列举，只介绍“ 当 时
6、，函数 f(x)的极限”，并给出形式0x化的符号表示：“当 时，f(x)a，记作 ”，以 实现数0li()xfa列极限的顺应和同化。这里不介绍“当 时，函数 f(x)的极限”，也不介绍“函数的左、右极限”，以免增加学生理解上的困难，更主要的是避免冲淡主题我们这里只是介绍极限的形式化表示4和极限思想，并不涉及极限的完整定义。实事上，在旧课程教材选修 II 中，学生对“ 时，函数 f(x)的极限 ”的理解要比“函数0x的左、右极限” 容易的多。最后，为了加深对极限符合的认识，我们设计了一组练习：1、请用语言描述下列极限符号的含义（有的教师根据班级学生情况，要求学生探究符合要求的数列a n或函数 f
7、(x)的解析式）：101(1)lim (2)li2 (3)lim (4)li()43nxxxafff2、选择题：正三棱锥 S-ABC 的相邻两个侧面所成的二面角为 ，则 的取 值范围 是（ ）A、（0， ） B、 C、 D、(,)6(,)3(,)3232 调整一段叙述有了极限的符号表示，在1 节例 1 和例 2 中，均可以用极限符号表示“小球在 t=5s 时刻的瞬时速度” 和“合金棒在 x=2 处的线密度” 了，而且将2.2导数的几何意义的叙述 调整为：函数 y=f(x)在区间x 0,x0+x的平均变化率为 ，如图 2-3yxA所示，它是过 A（x0,f(x0)）和 B(x0+x，f(x 0+
8、x)两点的直线的斜率，直线 AB 称 为曲线 y=f(x)在 A 处的一条割线。如图 2-4 所示，设函数 y=f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当点 B(x0+x),f(x0+x)）沿着曲线逐渐向点A(x0,f(x0)靠近时，割 线 AB 将绕着点 A 逐渐移动，当点 B 沿着曲5线无限接近点 A(即x0)时，割线 AB 也无限地逼近一个极限位置直线 AC，直 线 AC 和曲线 y=f(x)在点 A 处给我们“相切”的感觉，称直线 AC 为曲线 y=f(x)在点 A 处的切线。由于割线 AB 和切线 AC 都过点 A，所以割线 AB 无限地趋近切线 AC 也即是 KAB 无限
9、地趋近 KAC。将上述变化过程表示如下：当x0 时， KABK AC，由极限的定 义，即00000()(limlili ()ACABxxxffxyKfA所以函数 y=f(x)在 x0处的导数 就是曲 线在点 A（x0,y0）0f处的切线斜率，这就是导数的几何意义。图 2-3 图 2-44 几点反思41 何谓“适度”的形式化？“ 数学教学不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识。否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里”， “强调本质，注重适度的形式化”（新课标十大基本理念之一）无疑是十分正确的。但“形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要6求”。具
10、体地，导数定义能离开形式化的表达 吗？离开形式化的表达，只能让学生死记导数的几何意义，这与新课标理念背道而弛吧。事实上，高二学生理解极限、 导数的形式化表达并没有什么障碍。42 增加一节极限的定义，是否增加了课时？新课标实施的阵地在课堂，增加一节极限定义，是增加了一个课时，看看以高考为目的的普遍高中的课时安排吧，有几个学校的数学课时是每周四节？搞理论可以走得极端一些，但实践还是以尊重客观实际的好，以我校两个年级的实际教学效果看，增加一节极限定义，无疑是必要的。43 新课标要求实践于一线的广大教师，不仅是教材的执行者，还应是教材完善的参与者和建议者，教材是实现课程目标、实施课堂教学的重要资源，既然是资源就可以开发、利用，一线教师完全可以教学实际与需要，对教材做出合理的整合。参考资料：1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验） .北京:人民教育出M版社.2003.42 严士健、王尚志.普通高中课 程标准实验教科书数学（选修 2-2） .北京：北京师范大学出版社.2008.6
