1、金太阳新课标资源网 第 1 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 第 1720 课时： 解析几何问题的题型与方法一复习目标：1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方
2、法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3 理解“曲线的方程” 、 “方程的曲线 ”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4掌握圆的标准方程： （r0） ，明确方程中各字母的几何22)()(byax意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程： ，知道该方程表示圆的FEyDx充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程 （ 为参数） ，明确各字母的意义，掌握直线与圆的cosinxry位置关系的判定方法.5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明
3、确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二考试要求：(一)直线和圆的方程1理解直线的斜率的概念，掌握过
4、两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。3了解二元一次不等式表示平面区域。4了解线性规划的意义，并会简单的应用。5了解解析几何的基本思想，了解坐标法。6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。(二) 圆锥曲线方程1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。4了解圆锥曲线的初步应用。三教学过程：（）基础
5、知识详析高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题) ，共计 30 分左右，考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲金太阳新课标资源网 第 2 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。(一)直线的方程1.点斜式： ；2. 截距式： ；)(11xkybkxy3.两点式： ；4. 截距式：
6、 ；22 1a5.一般式： ，其中 A、B 不同时为 0.0CBAx(二)两条直线的位置关系两条直线 ， 有三种位置关系：平行（没有公共点） ；相交（有且只有一个公共点） ；1l2重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线 ： = + ，直线 ： = + ，则ykx1b2ly2kxb 的充要条件是 = ，且 = ； 的充要条件是 =-1.1l2 11l1k2(三)线性规划问题1线性规划问题涉及如下概念：存在一定的限制条件，这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于 x、y 的某个函数
7、（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是 x、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.所有可行解组成的集合，叫做可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.2线性规划问题有以下基本定理： 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. 凸多边形的顶点个数是有限的. 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.3.线性规划问题一般用图解法.(四)圆的有关问题1.圆的标准方程（r 0） ，称为圆的标准方程，其圆心
8、坐标为（a，b） ，半径为 r.22)(byax特别地，当圆心在原点（0，0） ，半径为 r 时，圆的方程为 .22ryx2.圆的一般方程（ 0）称为圆的一般方程，2FEDxFE42其圆心坐标为（ ， ） ，半径为 .2Dr12当 =0 时，方程表示一个点（ ， ） ；42 E当 0 时，方程不表示任何图形.FE3.圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：（ 为参数）22ryxcosinxry（ 为参数）2)()(bacosinxaryb(五)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于1F2金太阳新课标资源网 第 3 页 共 25 页 金
9、太阳新课标资源网 | |这个条件不可忽视 .若这个距离之和小于 | |，则这样的点不存在；若距离之和等1F2 1F2于| |，则动点的轨迹是线段 .122.椭圆的标准方程： （ 0） ， （ 0）.2byaxab12bxyab3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母2x大于 项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.2y4.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(六)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为 （ 0）.12byaxab 范围： -axa，-bxb ，所以椭圆位于直线
10、x= 和 y= 所围成的矩形里. 对称性：分别关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个 （-a ，0） 、 （a，0） （0，-b ） 、 （0，b）.1A21B2线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，a 和 b 分12B2别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁ace平程度.0e 1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义 定义：平面内动点
11、M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e1时，这个动点的轨迹是椭圆.ac 准线：根据椭圆的对称性， （ 0）的准线有两条，它们的方12byaxab程为 .对于椭圆 （ 0）的准线方程，只要把 x 换成 y 就可以cx22y了，即 .ay3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设 （-c ，0） ， （c，0）分别为椭圆 （ 0）的左、右两焦点，1F2 12byaxabM（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为 ， .exMFexaF2椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 = + 、 两个关
12、系，因此确定椭圆的22ca标准方程只需两个独立条件.(七)椭圆的参数方程椭圆 （ 0）的参数方程为 （ 为参数）.12byax osinxyb说明 这里参数 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP 的倾斜角 不同： ；tnt金太阳新课标资源网 第 4 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较12byax 1sinco22而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(八)双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于|1F2|）的动点 的轨迹叫做双曲线 .在这个定义中，要注意条件 2
13、a| |，这一条件1F2M1F2可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| |，则动点的轨迹是两条射线；12若 2a| |，则无轨迹.若 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 时，12F 1M2轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程： 和 （a0，b0）.这里12byax12x，其中| |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 .22acb123.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果项的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于
14、b，因此不能像椭圆那样，y通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(九)双曲线的简单几何性质1.双曲线 的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率 1，离心率 e 越大，12byax ace双曲线的开口越大.2. 双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲2 xaby02by线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式：xnmy0n，其中 k 是一个不为零的常数.nxm223.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于 1 的常数（离心率）的点的
15、轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ，它的焦点坐标是12byax（-c，0 ）和（c，0） ，与它们对应的准线方程分别是 和 .c在双曲线中，a、b、c 、e 四个元素间有 与 的关系，与椭圆一样确e22定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(十)抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点，这条定直线 l 叫抛物线的准线。需强调的是，点 F 不在直线 l 上，否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：、 、 、 .pxypxy2y2pyx2对于以上四种方程：应注意掌握
16、它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。金太阳新课标资源网 第 5 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 3抛物线的几何性质，以标准方程 y2=2px 为例（1）范围：x0；（2）对称轴：对称轴为 y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0） ，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心） ；（4）离心率：e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的；（5）准线方程 ；2px（6）焦半径公式：抛物线上一点 P（x1，y
17、1） ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）：2 21 1:;:2pyxPFypxy（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线 y2=2px（pO）的焦点 F 的弦为 AB，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的倾斜角为 ，则有|AB|=x +x +p12以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式” 来求。（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0，当 a0 时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；2但如果 a=0，则直线是抛物线
18、的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。(十一)轨迹方程 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.（十二）注意事项1 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度.当斜率 k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（aR）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率 k 存在与否，要分别考虑. 直线的截距式是两点式的特例，a、b 分别是直线在 x 轴、y 轴上的截距，因为a0，b0，所以
19、当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.当直线 或 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直1l2在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.2. 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上，还是两种都存在.注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行 a、b、c、e 间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.求双曲线的标准方程 应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法
20、求解.双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲12byaxxay02by金太阳新课标资源网 第 6 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式：xnmy0ny，其中 k 是一个不为零的常数.nxm22双曲线的标准方程有两个 和 （a0，b0）.这里12ba12x，其中| |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.22acb1F2求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数 p 的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐
21、标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.（）范例分析例 1、求与直线 3x+4y+12=0 平行，且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线 l 的方程。分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。解法一：先用“平行” 这个条件设出 l 的方程为 3x+4y+m=0再用“面积” 条件去求m， 直线 l 交 x 轴于 ，交 y 轴于 由 ，得 ，代)0,3(mA)4,0(mB2431m入得所求直线的方程为： 24x解法二：先用面积这个
22、条件列出 l 的方程，设 l 在 x 轴上截距离 a，在 y 轴上截距 b，则有 ，因为 l 的倾角为钝角，所以 a、b 同号，|ab|=ab，l 的截距式为 ，241ab 148ax即 48x+a2y-48a=0又该直线与 3x+4y+2=0 平行， ， 代入得所2483求直线 l 的方程为 0243yx说明：与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可写成 Ax+By+C1=0 的形式；与 Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为 Bx-Ay+C2=0 的形式。例 2、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点，其中 A(-2, 3)，B(3,2)，求实数 m 的取值范围。解：直线 mx
23、+y+2=0 过一定点 C(0, -2)，直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段 AB 有交点，则直线只能落在 ABC 的内部，设 BC、CA 这两条直线的斜率分别为 k1、k 2，则由斜率的定义可知，直线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 kk1或 kk2， A(-2, 3) B(3, 2) 5341k-m 或-m 即 m 或 m3425说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线 mx+y+2=0 的斜率 -m 应为倾角的正切，而当倾角在(0,90)或(90,180)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB 内部
24、变化时，k 应大于或等于 kBC，或者 k 小于或等于 kAC，当 A、 B 两点的坐标变化时，也要能求出 m 的范围。例 3、已知 x、y 满足约束条件x1，x-3y-4，3x+5y30，oxyABC(0,-2)金太阳新课标资源网 第 7 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 x=1O53426y3x+5y-0=4x-y=04:2CAl6B16x+7y=0824OA1821Bl2y=5l求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值 .解：根据 x、y 满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）.作直线 ：2x-y=0，再作一组平行于 的直线 ：0l 0ll2x-y=t，tR.
25、可知，当 在 的右下方时，直线 上的点（x，y）满足 2x-y0，即 t0，而且直线 往右平l移时，t 随之增大.当直线 平移至 的位置时，直线l1经过可行域上的点 B，此时所对应的 t 最大；当 在的左上方时，直线 上的点（x，y）满足 2x-0ly0，即 t0，而且直线 往左平移时，t 随之减小.当直线 平移至 的位置时，直线经l l2过可行域上的点 C，此时所对应的 t 最小. x-3y+4=0，由 解得点 B 的坐标为（5，3） ；3x+5y-30=0，x=1，由 解得点 C 的坐标为（1， ）.5273x+5y-30=0，所以， =25-3=7； =21- = .最 大 值z最 小
26、值z527例 4、某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型卡车，有11 名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次，B 型卡车 7 次；每辆卡车每天的成本费 A 型车350 元，B 型车 400 元.问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？解：设每天派出 A 型车与 B 型车各 x、y 辆，并设公司每天的成本为 z 元.由题意，得x10，y5，x+y11，48x+56y60，x，yN，且 z=350x+400y.x10，y5，即 x+
27、y11，6x+7y55，x，yN，作出可行域，作直线 ：350x+400y=0，即0l7x+8y=0.作出一组平行直线：7x+8y=t 中（t 为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过 6x+7y=60 和 y=5 的交点 A（ ，5） ，由于点 A 的坐标不都是整数，而62x，yN，所以可行域内的点 A（ ，5）不是最优解.为求出最优解，必须进行定量分析.金太阳新课标资源网 第 8 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 因为，7 +8569.2，所以经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）625且与原点最小的直线是 7x+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有
28、 x=10，y=0，所以（10，0）是最优解，即当 通过 B 点时，z=35010+4000=3500 元为最小.l答：每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车，公司所化的成本费最低为 3500 元. 例 5、已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2 、OT=t (0t1)，以 AB 为直腰作直角梯形 ，使 垂直且等于 AT，使 垂直且等于 BT， 交半圆于B B BAP、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线 的方程；（2）计算出点 P、Q 的坐标；（3）证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线通过点 Q. 解: (1 ) 显然 , 于是 tA1 ，
29、tB直线 的方程为 ；Bxy（2）由方程组 解出 ,2t、 ； ),(10P),(221ttQ（3） , .tkPT0 ttttkQT 11202)(由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知，由点 P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通过点 Q.说明：需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例 6、设 P 是圆 M：(x-5) 2+(y-5)2=1 上的动点，它关于 A(9, 0)的对称点为 Q，把 P 绕原点依逆时针方向旋转 90到点 S，求|SQ| 的最值。解：设 P(x, y)，则 Q(18-x, -y)，记 P 点对应的复数为 x+yi，则 S 点
30、对应的复数为：(x+yi)i=-y+xi，即 S(-y, x) 22)()18(| xyxS22 2)9(8136 yxy其 中 可 以 看 作 是 点 P 到 定 点 B(9, -9)的 距 离 ， 共 最 大 值 为x最小值为 ，则153|rMB532|rMB|SQ|的最大值为 ，|SQ| 的最小值为062106例 7、 已知 M： 轴上的动点， QA，QB 分别切M 于xQyx是,)(22A，B 两点， （1）如果 ，求直线 MQ 的方程；34|A（2）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.解:（1）由 ，可得 由2| ,31)2(1)2|(| AB射影定理，得 在 RtMOQ 中，,3
31、|,| QB得金太阳新课标资源网 第 9 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 ，523| 22MOQO故 ，5a或所以直线 AB 方程是 ;0052yxyx或（2）连接 MB，MQ ，设 由),(,aQP点 M，P，Q 在一直线上，得由射影定理得(*),xa |,|2MB即 把（*）及（*）消去 a，(),14222ay并注意到 ，可得).(672yyx说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。例 8、直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于 Al )0(2p两点.（1）求证： ;),(),(21yxB和 214x（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦 CD，直线 l 不是
32、 CD 的垂直平分线.解: （1）易求得抛物线的焦点 .)0,(PF若 lx 轴，则 l 的方程为 .4221x显 然若 l 不垂直于 x 轴，可设 ,代入抛物线方程整理得 )(ky. ,04)21(212Pk则综上可知 .p（2）设 ，则 CD 的垂直平分线 的方程为dcDcC且),(,2 l42xdcy假设 过 F，则 整理得l )4(02p)(22cp0， . 2dd这时 的方程为 y=0，从而 与抛物线 只相交于原点. 而 l 与抛物线有两个不同l lxy2的交点，因此 与 l 不重合， l 不是 CD 的垂直平分线.说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。例
33、 9、 已知椭圆 ，能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M，使1342yx它到左准线的距离为它到两焦点 F1、F 2 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。解：假设存在满足条件的点，设 M（x 1，y 1）a 2=4，b 2=3，a=2， ，c=1，3b，21e金太阳新课标资源网 第 10 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 ，点 M 到椭圆左准线的距离21211121 4)(| xeaxeaMF， ，4xcd2 )( ,dr 04832511x， 或 ，这与 x1-2，0)相矛盾， 满足条件的点 M 不存在。1x51例 10、已知椭圆中心在原点，焦点
34、在 轴上，焦距为 4，离心率为 ，y3（）求椭圆方程； （）设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M，又点 A 和点 B 在椭圆上，且 M 分有向线段所成的比为 2，求线段 AB 所在直线的方程。AB解：（）设椭圆方程为 由 2c=4 得 c=2 又 12bxa 32ac故 a=3， 所求的椭圆方程为522cb2195yx（）若 k 不存在，则 ，若 k 存在，则设直线 AB 的方程为：y=kx+2 MBA又设 A ),()(21, yxy由 得 952x 025)592kx 1220kK 1229K点 M 坐标为 M（0，2） ),(),( yxMByxA由 得BAB,21 代入 、得 21x2
35、2095kx259xk由、 得 0()95k233线段 AB 所在直线的方程为： 。xy说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。例 11、已知直线 l 与椭圆 有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y)0(12bayx轴分别交于 R、S ，求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程解：从直线 所处的位置,
36、设出直线 的方程,l l金太阳新课标资源网 第 11 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线 l 的方程为 ).0(kmxy代入椭圆方程 得，22bayxb.)(22mkx化简后，得关于 的一元二次方程.0)22ba于是其判别式 ).(4)(4( 2222 bka由已知，得=0即 .bka在直线方程 中，分别令 y=0，x=0，求得xy .,mSR令顶点 P 的坐标为（x，y） ， 由已知，得 ,yxky解 得代入 式并整理，得 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程12ybxa说明：方程 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?2例 12、已知双
37、曲线 的离心率 ，过 的直线到原点12byax32e),0(,bBaA的距离是 （1）求双曲线的方程；.23（2）已知直线 交双曲线于不同的点 C，D 且 C， D 都在以 B 为圆心的)0(5kxy圆上，求 k 的值.解：（1） 原点到直线 AB： 的距离,3ac 1byax,22bcbd故所求双曲线方程为 .13yx（2）把 中消去 y，整理得 .52kxy代 入 0783)1(2kx设 的中点是 ，则CDC),(),(21 ),(0xE.,350 200kxyk kkyBE,0即 7,0,0315315 222 kkk又故所求 k= .7说明：为了求出 的值, 需要通过消元, 想法设法建
38、构 的方程.例 13、过点 作直线 与椭圆 3x2+4y2=12 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，)0(Pl金太阳新课标资源网 第 12 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 yxOABP求OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析：若直接用点斜式设 的方程为 ，则l )3(0xky要求 的斜率一定要存在，但在这里 的斜率有可能不存在，因l此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为 ，这样就包含了斜率不存在时的情形了，3myx从而简化了运算。解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， ：l3myx)(|)|(|2 2121yOPSOB 把 代
39、入椭圆方程得： ，即3 04322 ， ，06)4(2my61y31y843)3(18| 222221 xmy )1(449222 31322m ，此时 S 122m36令直线的倾角为 ，则63tg即OAB 面积的最大值为 ，此时直线倾斜角的正切值为 。26例 14、 （2003 年江苏高考题）已知常数 ，向量0a(,)(1,0.cai经过原点 O 以 为方向向量的直线与经过定点 A（0，a）以 为方向向量的直ci c线相交于点 P，其中 试问：是否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，.R求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由.解： =（1，0） ， =（0，a） ，
40、 + =（，a） ， 2 =（1，2a）.i cii因此，直线 OP 和 AP 的方程分别为 和 .xyx2消去参数 ，得点 的坐标满足方程 .),(yx)(整理得 .128a因为 所以得： ,0（i）当 时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；（ii）当 时，方程 表示椭圆，焦点 和 为合2a )2,1(aE)2,1(a金太阳新课标资源网 第 13 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 乎题意的两个定点；（iii）当 时，方程也表示椭圆，焦点 和2a )21(,0aE为合乎题意的两个定点 .)1(,0F说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直
41、线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。例 15、已知椭圆 的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一)0(12bayx点 M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 ，向量 与 是共线向量。1FOM（1）求椭圆的离心率 e；（2）设 Q 是椭圆上任意一点， 、 分别是左、右焦点，求 的取值范围；12 21QF解：（1） ， 。abycxcFM1,),0(则 acbkOM2 是共线向量， ， b=c,故 。ABOabkAB与,2e（2）设 1212,rQFc2 221121114()4cos 0
42、()crcarr当且仅当 时，cos=0 ， 。21 ,0说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。例 16、一条斜率为 1 的直线 与离心率为 的椭圆 C： （ ）l212byax0a交于 P、Q，两点，直线 与 Y 轴交于点 R，且 ， ，求直线 和l 3OQPRl椭圆 C 的方程。 解： 椭圆离心率为 ， ，2ac22b所以椭圆方程为 ，设 方程为： ，1byxlmxy),(
43、),(21yxQ由 消去 得mxyb22 02432bx)3(8)(41622 b2(*)金太阳新课标资源网 第 14 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 （1） （2）mx3421)(321bmx所以OQP2y而 2112121 )()(xy 所以 xx 334342mb所以 （3）又 ， ，9432bm),0(mRRQP从而 （4 ） 由（1） （2）),(),(21y21x（4）得 （5）由（3） （5）解得 ， 适合 ，(*)所以所求直线 方程为： 或 ；椭圆 C 的方程为lxy 362yx说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类
44、问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。例 17、已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1、F 2 在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且 F1PF2 的最大值为 90，直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点， ABF2 的面积最大值为 12（1）求椭圆 C 的离心率；（2）求椭圆 C 的方程解法一：（1）设 , 对 由余弦定理, 得crPF|,|,| 2121211)(44)(4cos 2121212 rcararcP， 解出 0e.e（2）考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况：li) 当 k 存在时，设 l 的方程为 )(cxky椭圆方程为 ,),(1212BAbyax由 得 e2c于是椭圆方程可转化为 0将代入 ，消去 得 ,y)(22cxk整理为 的一元二次方程，得 .x 0)1(412kx则 x1、x 2 是上述方程的两根且，21| kc，21)(| kxABAB 边上的高 ,1|sin| 212kcFBhkcS)(21金太阳新课标资源网 第 15 页 共 25 页 金太阳新课标资源网 2242241| 1.1kkcccckii) 当 k 不存在时，把直线 代入椭圆方程得x2,|,2SABy由知 S 的最大值为 由题意得 =12 所以 2cc226bc1a故当ABF 2 面积最大时椭圆的方程为： .
