1、第 5 次课 2 学时本次课教学重点： 建立数学模型本次课教学难点： 建立数学模型本次课教学内容：第四章 线性规划在工商管理中的应用第一节 人力资源分配的问题例 1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?解：设 xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x
2、4 + x5 28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0例 2一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作 5 天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？班 次
3、时 间 所 需 人 数 1 6： 00 10： 00 60 2 10： 00 14： 00 70 3 14： 00 18： 00 60 4 18： 00 22： 00 50 5 22： 00 2： 00 20 6 2： 00 6： 00 30 解：设 xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24x4
4、 + x5 + x6 + x7 + x1 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0第二节 生产计划的问题例 3某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？解：设
5、x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。时 间 所 需 售 货 员 人 数 星 期 日 28 星 期 一 15 星 期 二 24 星 期 三 25 星 期 四 19 星 期 五 31 星 期 六 28 甲 乙 丙 资 源 限 制 铸 造 工 时 (小 时 /件 ) 5 10 7 8000 机 加 工 工 时 (小 时 /件 ) 6 4 8 12000 装 配 工 时 (小 时 /件 ) 3 2 2 10000 自 产 铸 件 成 本 (元 /件 ) 3 5 4 外 协 铸 件 成 本 (
6、元 /件 ) 5 6 - 机 加 工 成 本 (元 /件 ) 2 1 3 装 配 成 本 (元 /件 ) 3 2 2 产 品 售 价 (元 /件 ) 23 18 16 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。通过以上分析,可建立如下的数学模型:
7、目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： 5x1 + 10x2 + 7x3 80006x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 120003x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000x1,x2,x3,x4,x5 0例 4永久机械厂生产、三种产品，均要经过 A、B 两 道工序加工。设有两种规格的设备 A1、A 2 能完成 A 工序；有三种规格的设备 B1、B 2、B 3 能完成 B 工序。可在A、B 的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的 A 设备上加工，但对 B 工序，只能在 B1设备上加工；只能在 A2
8、与 B2 设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型:s.t. 5x111 + 10x211 6000 （ 设备 A1 ）7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设备 A2 ）6x121 + 8x221 4000 （ 设备 B1 ）4x122 + 11x322 7000 （ 设备 B2 ）7x123 4000 （ 设备 B3 ）x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 (产品在 A、B 工序加工的数量相等）x211+
9、 x212- x221 = 0 （产品在 A、B 工序加工的数量相等）x312 - x322 = 0 （产品在 A、B 工序加工的数量相等）xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润 = （销售单价 - 原料单价）* 产品件数之和 -（每台时的设备费用*设备实际使用产 品 单 件 工 时 设 备 设 备 的 有 效 台 时 满 负 荷 时 的设 备 费 用 A1 5 10 6000 300 A2 7 9 12 10000 321 B1 6 8 4000 250 B2 4 11 7000 783 B3 7 4000
10、 200 原 料 （ 元 /件 ） 0.25 0.35 0.50 售 价 （ 元 /件 ） 1.25 2.00 2.80 的总台时数）之和。这样得到目标函数：Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).经整理可得：Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.91
11、48x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123第三节 套裁下料问题例 5某工厂要做 100 套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 m,1.5 m 的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解： 共可设计下列 5 种下料方案，见下表设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 1002x3 + 2x4 + x5 1003x1 +
12、x2 + 2x3 + 3x5 100x1,x2,x3,x4,x5 0用“管理运筹学” 软件计算得出最优下料方案：按方案 1 下料 30 根；按方案 2 下料 10 根；按方案 4 下料 50 根。即 x1=30;x2=10；x3=0；x4=50；x5=0；只需 90 根原材料就可制造出 100 套钢架。注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。方 案 1 方 案 2 方 案 3 方 案 4 方 案 5 2.9 0101 m0 0 2 1 .531203合
13、计 7.4 7.3 7. 7.1 6. 剩 余 料 头 000308第四节 配料问题例 6某工厂要用三种原料 1、2、3 混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲： x11，x 12，x 13；对于乙： x21，x 22，x 23；对于丙： x31，x 32，x 33；对于原料 1： x11，x 21，x 31；对于原料 2： x12，x 22，x 32； 对于原料 3： x13，x 23，x 33；目标函数： 利润最大，利润 = 收入
14、 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个；供应量限制 3 个。利润=总收入-总成本= 甲乙丙三种产品的销售单价 *产品数量 -甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有目标函数Max 50（x 11+x12+x13）+35（x 21+x22+x23）+25（x 31+x32+x33）-65 （x 11+x21+x31）-25（x 12+x22+x32）-35（x 13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件：从第 1 个表中有：x110.5( x11+x12+x13)x120.25( x11+x12+x13)x210.2
15、5( x21+x22+x23)x220.5( x21+x22+x23)从第 2 个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有(x11+x21+x31)100(x12+x22+x32)100(x13+x23+x33)60通过整理，得到以下模型：目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 产 品 名 称 规 格 要 求 单 价 （ 元 /kg） 甲 原 材 料 1不 少 于 50%， 原 材 料 2不 超 过 25% 50 乙 原 材 料 1不 少 于 25%， 原 材 料 2不 超 过 50% 35 丙 不 限 25
16、 原 材 料 名 称 每 天 最 多 供 应 量 单 价 （ 元 /kg） 1 100 65 2 100 25 3 60 35 约束条件：s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料 1 不少于 50%）-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料 2 不超过 25%）0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料 1 不少于 25%）-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料 2 不超过 50%）x11+ x21 + x31 100 (供应量限制）x12+ x22 + x32 100 (供应量限制 )x13
17、+ x23 + x33 60 (供应量限制）xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3例 7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有 1、2、3、4 种标准汽油，其特性和库存量列于表 4-6 中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为 1，2 的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表 4-7 中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使 2 号汽油满足需求，并使得 1 号汽油产量最高？表 4-6表 4-7解：设 xij 为飞机汽油 i 中所用标准汽油 j
18、的数量(L)。目标函数为飞机汽油 1 的总产量：库存量约束为：产量约束为飞机汽油 2 的产量：13010028.45 10-2108.044081005.6910-287.0326520011.38 10-293.023800007.1110-2107.51库存量(L)蒸汽压力(g/cm 2)辛烷数标准汽油不少于250000不大于9.96 10 -2不小于1002越多越好不大于9.96 10 -2不小于911产量需求蒸汽压力(g/cm 2)辛烷数飞机汽油 12134xx213428065x1232450xx由物理中的分压定律， 可得有关蒸汽压力的约束条件：njjvpPV1同样可得有关辛烷数的约
19、束条件为：综上所述，得该问题的数学模型为：由管理运筹学软件求解得：第五节 投资问题例 8某部门现有资金 200 万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目 A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利 110%；项目 B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利 125%，但规定每年最大投资额121314222.85.4.78.90xx111314260.7.xx1213421321412131422214max508640.8578.906.7xxxx30,(;,)ijxj1213421342324max()93.869.0785.80.967.5xxx不能超过 3
20、0 万元；项目 C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利 140%，但规定最大投资额不能超过 80 万元；项目 D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利 155%，但规定最大投资额不能超过 100 万元。据测定每万元每次投资的风险指数如右表：问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在 330 万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？解：1）确定决策变量：连续投资问题设 xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投资于 A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)
21、项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42C x33 D x242）约束条件：第一年：A 当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年：B 次年末才可收回投资，故第二年年初有资金 1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；第三年：年初有资金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初有资金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.
22、25x22；第五年：年初有资金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32；B、C、D 的投资限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x 33 80，x 24 100 3）目标函数及模型：a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200x21 + x22+ x24 = 1.1x11；x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；x51 = 1.1x41+ 1.25x32；xi2 30 ( i
23、 =1、2、 3、4 ) ，x 33 80，x 24 100 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） b)所设变量与问题 a 相同，目标函数为风险最小，有 Min f =x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 在问题 a 的约束条件中加上“第五年末拥有资金本利在 330 万元”的条件，于是模型如下：Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200x21 + x22+ x24 = 1.1x11；项 目 风 险 指 数 （ 次 /万 元 ） A 1 B 3 C 4 D 5. x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；x51 = 1.1x41+ 1.25x32；xi2 30 ( i =1、2、 3、4 ) ，x 33 80，x 24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）教学组织1、课堂讲授、学生报告2、软件求解演示 作业布置： 1、P57.2，4，6
